Prism היא דמות תלת-ממדית גיאומטרית פשוטה למדי. עם זאת, לחלק מתלמידי בית הספר יש בעיות בקביעת המאפיינים העיקריים שלה, שהסיבה לה, ככלל, קשורה למינוחים בשימוש שגוי. במאמר זה נשקול מהן מנסרות, איך הן נקראות, וגם נתאר בפירוט את המנסרה המרובעת הנכונה.
פריזמה בגיאומטריה
הלימוד של דמויות תלת מימדיות הוא משימה של סטריאומטריה - חלק חשוב מהגיאומטריה המרחבית. בסטריאומטריה, מנסרה מובנת כדמות כזו, שנוצרת על ידי תרגום מקביל של מצולע שטוח שרירותי במרחק מסוים במרחב. תרגום מקביל מרמז על תנועה שבה סיבוב סביב ציר מאונך למישור המצולע אינו נכלל לחלוטין.
כתוצאה מהשיטה המתוארת להשגת פריזמה, נוצרת דמות, מוגבלת בשנייםמצולעים בעלי אותם ממדים, השוכנים במישורים מקבילים, ומספר מסוים של מקביליות. מספרם עולה בקנה אחד עם מספר הצלעות (קודקודים) של המצולע. מצולעים זהים נקראים בסיסי הפריזמה, ושטח הפנים שלהם הוא שטח הבסיסים. מקביליות המחברים שני בסיסים יוצרות משטח צדדי.
יסודות פריזמה ומשפט אוילר
מכיוון שהדמות התלת מימדית הנחשבת היא פולידרון, כלומר נוצרת על ידי קבוצה של מישורים מצטלבים, היא מאופיינת במספר מסוים של קודקודים, קצוות ופנים. כולם אלמנטים של פריזמה.
באמצע המאה ה-18, המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר יצר קשר בין מספר היסודות הבסיסיים של פולידרון. קשר זה נכתב בנוסחה הפשוטה הבאה:
מספר הקצוות=מספר הקודקודים + מספר הפנים - 2
עבור כל פריזמה, השוויון הזה נכון. בואו ניתן דוגמה לשימוש בו. נניח שיש פריזמה מרובעת רגילה. היא בתמונה למטה.
ניתן לראות שמספר הקודקודים עבורו הוא 8 (4 לכל בסיס מרובע). מספר הצלעות או הפרצופים הוא 6 (2 בסיסים ו-4 מלבני צד). אז מספר הקצוות עבורו יהיה:
מספר צלעות=8 + 6 - 2=12
ניתן לספור את כולם אם אתה מתייחס לאותה תמונה. שמונה קצוות נמצאים בבסיסים, וארבעה קצוות מאונכים לבסיסים אלה.
סיווג מלא של פריזמות
חשוב להבין את הסיווג הזה כדי שלא תתבלבלו בטרמינולוגיה מאוחר יותר ותשתמשו בנוסחאות הנכונות כדי לחשב, למשל, את שטח הפנים או הנפח של דמויות.
לכל פריזמה בעלת צורה שרירותית, ניתן להבחין ב-4 תכונות שיאפיינו אותה. בואו נרשום אותם:
- לפי מספר הפינות של המצולע בבסיס: משולש, מחומש, מתומן וכן הלאה.
- סוג מצולע. יכול להיות שזה נכון או לא נכון. לדוגמה, משולש ישר זווית אינו סדיר, אך משולש שווה צלעות נכון.
- לפי סוג קמורות המצולע. זה יכול להיות קעור או קמור. מנסרות קמורות הן הנפוצות ביותר.
- בזוויות שבין הבסיסים למקביליות הצלעות. אם כל הזוויות האלה שוות ל-90o, אז הם מדברים על פריזמה ישרה, אם לא כולן ישרות, אז נתון כזה נקרא אלכסוני.
מכל הנקודות הללו, ברצוני להתעכב על האחרונה. פריזמה ישרה נקראת גם פריזמה מלבנית. זה נובע מהעובדה שעבורו מקביליות הן מלבנים במקרה הכללי (במקרים מסוימים הם יכולים להיות ריבועים).
לדוגמה, האיור שלמעלה מציג דמות מלבנית או ישרה קעורה מחומשת.
פריזמה מרובעת רגילה
בסיס הפריזמה הזו הוא מרובע רגיל, כלומר ריבוע. האיור שלמעלה כבר הראה איך נראית הפריזמה הזו. בנוסף לשני הריבועים שהיאהגבלת למעלה ולמטה, זה כולל גם 4 מלבנים.
בואו נסמן את צלע הבסיס של פריזמה מרובעת רגילה באות a, אורך הקצה הרוחבי שלה יסומן באות c. אורך זה הוא גם גובה הדמות. ואז השטח של כל פני השטח של פריזמה זו מבוטא בנוסחה:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
כאן האיבר הראשון משקף את תרומת הבסיסים לשטח הכולל, האיבר השני הוא שטח משטח הצד.
בהתחשב בכינויים שהוכנסו לאורכי הצלעות, אנו כותבים את הנוסחה לנפח הדמות המדוברת:
V=a2c
כלומר, הנפח מחושב כמכפלה של שטח הבסיס המרובע ואורך קצה הצד.
צורת קובייה
כולם מכירים את הדמות התלת-ממדית האידיאלית הזו, אבל מעטים חשבו שמדובר בפריזמה מרובעת רגילה, שצלעתה שווה לאורך הצלע של הבסיס הריבועי, כלומר c=a.
עבור קובייה, הנוסחאות עבור שטח הפנים והנפח הכולל יהיו בצורה:
S=6a2
V=a3
מכיוון שקוביה היא פריזמה המורכבת מ-6 ריבועים זהים, כל זוג מקביל שלהם יכול להיחשב כבסיס.
קוביה היא דמות סימטרית ביותר, שבטבע מתממשת בצורה של סריגי קריסטל מחומרים מתכתיים רבים וגבישים יוניים. למשל, סריג של זהב, כסף, נחושת ושולחןהמלחים הם מעוקבים.
