שטח המשטח הרוחבי של פירמידה מרובעת רגילה: נוסחאות ודוגמאות לבעיות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

בעיות גיאומטריות אופייניות במישור ובמרחב התלת מימדי הן הבעיות של קביעת שטחי הפנים של צורות שונות. במאמר זה, אנו מציגים את הנוסחה עבור שטח פני השטח לרוחב של פירמידה מרובעת רגילה.

מהי פירמידה?

בוא ניתן הגדרה גיאומטרית קפדנית של פירמידה. נניח שיש איזה מצולע עם n צלעות ו-n פינות. נבחר נקודה שרירותית במרחב שלא תהיה במישור ה-n-גון שצוין, ונחבר אותה לכל קודקוד של המצולע. נקבל דמות בעלת נפח כלשהו, הנקראת פירמידה n-gonal. לדוגמה, בואו נראה באיור למטה איך נראית פירמידה מחומשת.

שני אלמנטים חשובים של כל פירמידה הם הבסיס (n-גון) והחלק העליון שלה. אלמנטים אלו מחוברים זה לזה באמצעות n משולשים, שבאופן כללי אינם שווים זה לזה. מאונך ירד ממלמעלה למטה נקרא גובה הדמות. אם הוא חוצה את הבסיס במרכז הגיאומטרי (חופף למרכז המסה של המצולע), אז פירמידה כזו נקראת קו ישר. אם, בנוסף למצב זה, הבסיס הוא מצולע רגיל, אז הפירמידה כולה נקראת רגילה. האיור שלהלן מראה כיצד נראות פירמידות רגילות עם בסיסים משולשים, מרובעים, מחומשים ומשושים.

משטח פירמידה

לפני שנפנה לשאלת שטח המשטח הרוחבי של פירמידה מרובעת רגילה, עלינו להתעכב על מושג המשטח עצמו.

כפי שהוזכר לעיל ומוצג באיורים, כל פירמידה נוצרת על ידי קבוצה של פרצופים או צדדים. צד אחד הוא הבסיס ו-n צלעות הן משולשים. פני השטח של כל הדמות הם סכום השטחים של כל אחת מהצלעות שלה.

נוח ללמוד את פני השטח בדוגמה של דמות שנפרשת. סריקה לפירמידה מרובעת רגילה מוצגת באיורים למטה.

אנו רואים ששטח הפנים שלו שווה לסכום של ארבעה שטחים של משולשים שווה שוקיים זהים ושטח של ריבוע.

השטח הכולל של כל המשולשים היוצרים את צלעות הדמות נקרא שטח פני הצד. לאחר מכן, נראה כיצד לחשב אותו עבור פירמידה מרובעת רגילה.

שטח המשטח הרוחבי של פירמידה רגילה מרובעת

לחשב את שטח הצדפני השטח של הדמות שצוינה, אנו פונים שוב לסריקה לעיל. נניח שאנו יודעים את הצלע של הבסיס הריבועי. נסמן את זה בסמל א. ניתן לראות שלכל אחד מארבעת המשולשים הזהים יש בסיס באורך a. כדי לחשב את השטח הכולל שלהם, אתה צריך לדעת את הערך הזה עבור משולש אחד. מהמסלול הגיאומטרי ידוע ששטחו של משולש S_{t שווה למכפלת הבסיס והגובה, שיש לחלקו לשניים. כלומר:}

S_t=1/2h_ba.

כאשר h_b הוא גובהו של משולש שווה שוקיים הנמשך לבסיס a. עבור פירמידה, הגובה הזה הוא התפיסה. כעת נותר להכפיל את הביטוי המתקבל ב-4 כדי לקבל את השטח S_{b של המשטח הרוחבי עבור הפירמידה המדוברת:}

S_b=4S_t=2h_ba.

נוסחה זו מכילה שני פרמטרים: האפוטם והצד של הבסיס. אם האחרון ידוע ברוב תנאי הבעיות, אז יש לחשב את הראשון תוך ידיעת כמויות אחרות. להלן הנוסחאות לחישוב אפוטמה h_{b עבור שני מקרים:}

כאשר אורך הצלע הצדדית ידוע;
כאשר גובה הפירמידה ידוע.

אם נסמן את אורך הקצה הרוחבי (הצלע של משולש שווה שוקיים) בסמל L, אזי האפוטמה h_{b נקבעת לפי הנוסחה:}

h_b=√(L² - a^2/4).

ביטוי זה הוא תוצאה של יישום משפט פיתגורס עבור משולש פני השטח לרוחב.

אם ידועאת גובה h של הפירמידה, אז ניתן לחשב את האפוטמה h_{b באופן הבא:}

h_b=√(h² + a^2/4).

קבלת הביטוי הזה גם לא קשה אם ניקח בחשבון בתוך הפירמידה משולש ישר זווית שנוצר על ידי הרגליים h ו-a/2 והתחתון h_b.

בוא נראה כיצד ליישם את הנוסחאות האלה על ידי פתרון שתי בעיות מעניינות.

בעיה עם שטח פנים ידוע

ידוע ששטח הפנים לרוחב של פירמידה מרובעת רגילה הוא 108 ס"מ². יש צורך לחשב את ערך אורך המילה שלה h_{b, אם גובה הפירמידה הוא 7 ס"מ.}

בוא נכתוב את הנוסחה עבור השטח S_{b של המשטח הרוחבי דרך הגובה. יש לנו:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

כאן רק החלפנו את נוסחת האפוטמה המתאימה בביטוי S_{b. בוא נריבוע את שני הצדדים של המשוואה:}

S_b²=4a²h² + a^4.

כדי למצוא את הערך של a, בוא נעשה שינוי של משתנים:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

אנו מחליפים כעת את הערכים הידועים ונפתור את המשוואה הריבועית:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

כתבנו רק את השורש החיובי של המשוואה הזו. אז הצדדים של בסיס הפירמידה יהיו:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 ס מ.

כדי לקבל את אורך האפוטמה,פשוט השתמש בנוסחה:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7) ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 see}

משטח הצד של פירמידת צ'אופס

קבע את הערך של שטח הפנים לרוחב עבור הפירמידה המצרית הגדולה ביותר. ידוע שבבסיסו שוכן ריבוע שאורך הצלע הוא 230.363 מטר. גובה המבנה היה במקור 146.5 מטר. החלף את המספרים האלה בנוסחה המתאימה עבור S_{b, נקבל:}