נפח ושטח פנים הם שני מאפיינים חשובים של כל גוף שיש לו ממדים סופיים במרחב תלת מימדי. במאמר זה, אנו רואים מחלקה ידועה של polyhedra - מנסרות. בפרט, תתגלה השאלה כיצד למצוא את שטח הפנים של פריזמה ישרה.
מהי פריזמה?
פריזמה היא כל רב-הדרון התחום על ידי מספר מקביליות ושני מצולעים זהים הממוקמים במישורים מקבילים. מצולעים אלו נחשבים לבסיסי הדמות, והמקביליות שלה הן הצלעות. מספר הצדדים (פינות) של הבסיס קובע את שם הדמות. לדוגמה, האיור שלהלן מציג פריזמה מחומשת.
המרחק בין הבסיסים נקרא גובה הדמות. אם הגובה שווה לאורך של כל קצה צדדי, אז פריזמה כזו תהיה ישרה. התכונה השנייה המספיקה למנסרה ישרה היא שכל צלעותיה הן מלבנים או ריבועים. אם, בכל זאתאם צד אחד הוא מקבילית כללית, הדמות תהיה נוטה. להלן ניתן לראות כיצד הפריזמות הישרות והאלכסוניות נבדלות ויזואלית בדוגמה של דמויות מרובעות.
שטח פני השטח של פריזמה ישרה
אם לדמות גיאומטרית יש בסיס n-גונאלי, אז היא מורכבת מ-n+2 פרצופים, n מהם מלבנים. נסמן את אורכי צלעות הבסיס כi, כאשר i=1, 2, …, n, ונסמן את גובה הדמות, השווה לאורך ה- קצה צד, כמו ח. כדי לקבוע את השטח (S) של פני השטח של כל הפנים, הוסף את השטח So של כל אחד מהבסיסים ואת כל שטחי הצלעות (מלבנים). לפיכך, ניתן לכתוב את הנוסחה ל-S בצורה כללית באופן הבא:
S=2So+ Sb
היכן שb הוא שטח הפנים לרוחב.
מכיוון שהבסיס של פריזמה ישרה יכול להיות כל מצולע שטוח לחלוטין, אז לא ניתן לתת נוסחה יחידה לחישוב So, וכדי לקבוע ערך זה, באופן כללי במקרה, יש לבצע ניתוח גיאומטרי. לדוגמה, אם הבסיס הוא n-גון רגיל עם הצלע a, אז השטח שלו מחושב לפי הנוסחה:
So=n/4ctg(pi/n)a2
באשר לערך של Sb, ניתן לתת את הביטוי לחישוב שלו. שטח הפנים לרוחב של פריזמה ישרה הוא:
Sb=h∑i=1(ai)
כלומר, הערךSb מחושב כמכפלה של גובה הדמות והיקף הבסיס שלה.
דוגמה לפתרון בעיות
בואו ניישם את הידע הנרכש כדי לפתור את הבעיה הגאומטרית הבאה. בהינתן פריזמה, שבסיסה הוא משולש ישר זווית עם צלעות בזווית ישרה של 5 ס"מ ו-7 ס"מ. גובה הדמות הוא 10 ס"מ. יש צורך למצוא את שטח הפנים של פריזמה משולשת ישרה.
ראשית, בוא נחשב את גובה המשולש. זה יהיה שווה ל:
c=√(52+ 72)=8.6 ס מ
עכשיו בואו נעשה עוד פעולה מתמטית הכנה אחת - לחשב את היקף הבסיס. זה יהיה:
P=5 + 7 + 8.6=20.6 ס מ
שטח המשטח הרוחבי של האיור מחושב כמכפלת הערך P והגובה h=10 ס"מ, כלומר, Sb=206 ס"מ 2.
כדי למצוא את שטח המשטח כולו, יש להוסיף שני אזורי בסיס לערך שנמצא. מכיוון ששטח משולש ישר זווית נקבע על ידי מחצית מכפלת הרגליים, נקבל:
2So=257/2=35cm2
אז נקבל ששטח הפנים של פריזמה משולשת ישרה הוא 35 + 206=241 ס מ2.
