אחת הדמויות המתרחשות בעת פתרון בעיות גיאומטריות במרחב היא קונוס. זה, שלא כמו polyhedra, שייך למעמד של דמויות של סיבוב. הבה נבחן במאמר למה הכוונה בגיאומטריה, ונחקור את המאפיינים של חלקים שונים של החרוט.
קונוס בגיאומטריה
נניח שיש עיקול כלשהו במטוס. זה יכול להיות פרבולה, עיגול, אליפסה וכן הלאה. קחו נקודה שאינה שייכת למישור שצוין, וחברו אליה את כל נקודות העקומה. המשטח המתקבל נקרא קונוס או פשוט קונוס.
אם העקומה המקורית סגורה, אז ניתן למלא את המשטח החרוט בחומר. הדמות המתקבלת בדרך זו היא גוף תלת מימדי. זה נקרא גם קונוס. כמה קונוסי נייר מוצגים למטה.
המשטח החרוטי נמצא בחיי היומיום. לדוגמה, גביע גלידה או חרוט תנועה מפוספס הם בעלי צורה זו, שנועדה למשוך את תשומת הלב של הנהגים והנהגים.הולכי רגל.
סוגי קונוסים
כפי שאפשר לנחש, הדמויות הנחשבות שונות זו מזו לפי סוג העקומה עליהן הן נוצרות. לדוגמה, יש קונוס עגול או אליפטי. עקומה זו נקראת בסיס האיור. עם זאת, צורת הבסיס אינה התכונה היחידה המאפשרת סיווג של קונוסים.
המאפיין החשוב השני הוא מיקום הגובה ביחס לבסיס. גובהו של חרוט הוא קטע קו ישר, אשר מונמך מראש הדמות למישור הבסיס ומאונך למישור זה. אם הגובה חוצה את הבסיס במרכז הגיאומטרי (לדוגמה, במרכז המעגל), אז החרוט יהיה ישר, אם הקטע הניצב נופל לכל נקודה אחרת של הבסיס או מעבר לו, הדמות תהיה אלכסוני.
בהמשך המאמר נשקול רק חרוט ישר עגול כמייצג בהיר של מעמד הדמויות הנחשב.
שמות גיאומטריים של אלמנטים חרוטים
נאמר למעלה שלקונוס יש בסיס. הוא תחום על ידי מעגל, אשר נקרא מנחה החרוט. הקטעים המחברים את המדריך לנקודה שאינה שוכנת במישור הבסיס נקראים גנרטורים. קבוצת כל הנקודות של הגנרטורים נקראת משטח חרוטי או רוחבי של הדמות. עבור חרוט ימני עגול, לכל הגנרטורים יש אותו אורך.
הנקודה שבה המחוללים מצטלבים נקראת החלק העליון של הדמות. בניגוד לפוליהדרה, לחרוט יש קודקוד בודד ולאedge.
קו ישר העובר בחלק העליון של הדמות ומרכז המעגל נקרא הציר. הציר מכיל גובה של חרוט ישר, ולכן הוא יוצר זווית ישרה עם מישור הבסיס. מידע זה חשוב בעת חישוב השטח של החתך הצירי של החרוט.
חרוט ישר עגול - נתון סיבוב
החרוט הנחשב הוא דמות די סימטרית, שניתן לקבל כתוצאה מסיבוב המשולש. נניח שיש לנו משולש עם זווית ישרה. כדי לקבל חרוט, מספיק לסובב את המשולש הזה סביב אחת הרגליים כפי שמוצג באיור למטה.
ניתן לראות שציר הסיבוב הוא ציר החרוט. אחת הרגליים תהיה שווה לגובה הדמות, והרגל השנייה תהפוך לרדיוס הבסיס. התחתון של משולש כתוצאה מסיבוב יתאר משטח חרוטי. זה יהיה הגנרטריקס של החרוט.
שיטה זו להשגת חרוט ישר עגול נוחה לשימוש כדי ללמוד את הקשר המתמטי בין הפרמטרים הליניאריים של הדמות: הגובה h, רדיוס הבסיס העגול r והמדריך g. הנוסחה המתאימה נובעת מתכונותיו של משולש ישר זווית. זה רשום למטה:
g2=h2+ r2.
מכיוון שיש לנו משוואה אחת ושלושה משתנים, זה אומר שכדי להגדיר באופן ייחודי את הפרמטרים של חרוט עגול, אתה צריך לדעת כל שתי כמויות.
חתכים של חרוט לפי מישור שאינו מכיל את קודקוד הדמות
השאלה של בניית קטעים של דמות היא לאקַטנוּנִי. העובדה היא שצורת החתך של החרוט על ידי פני השטח תלויה במיקום היחסי של הדמות והחתך.
נניח שאנו חותכים את החרוט עם מטוס. מה תהיה התוצאה של פעולה גיאומטרית זו? אפשרויות צורת המקטע מוצגות באיור למטה.
הקטע הוורוד הוא עיגול. הוא נוצר כתוצאה מהצטלבות הדמות עם מישור המקביל לבסיס החרוט. אלו הם קטעים מאונכים לציר הדמות. הדמות שנוצרה מעל מישור החיתוך היא חרוט דומה לזה המקורי, אך בעל עיגול קטן יותר בבסיסו.
הקטע הירוק הוא אליפסה. זה מתקבל אם מישור החיתוך אינו מקביל לבסיס, אלא הוא רק חוצה את פני השטח הרוחביים של החרוט. דמות שנכרתה מעל המטוס נקראת קונוס אלכסוני אליפטי.
הקטע הכחול והכתום הם פרבוליים והיפרבוליים, בהתאמה. כפי שניתן לראות מהאיור, הם מתקבלים אם מישור החיתוך חוצה בו זמנית את משטח הצד ואת בסיס הדמות.
כדי לקבוע את השטחים של קטעי החרוט שנחשבו, יש צורך להשתמש בנוסחאות של הדמות המתאימה במישור. לדוגמה, עבור מעגל, זהו המספר Pi כפול בריבוע הרדיוס, ועבור אליפסה, זהו המכפלה של Pi ואורך הצירים המשניים והמז'וריים:
circle: S=pir2;
אליפסה: S=piab.
קטעים המכילים את החלק העליון של החרוט
עכשיו שקול את האפשרויות לקטעים שעולים אם מישור החיתוך הואלעבור דרך החלק העליון של החרוט. שלושה מקרים אפשריים:
- הקטע הוא נקודה בודדת. לדוגמה, מישור העובר דרך הקודקוד ומקביל לבסיס נותן בדיוק קטע כזה.
- הקטע הוא קו ישר. מצב זה מתרחש כאשר המטוס משיק למשטח חרוטי. הקו הישר של הקטע במקרה זה יהיה הגנרטריקס של החרוט.
- חתך צירי. הוא נוצר כאשר המטוס מכיל לא רק את החלק העליון של הדמות, אלא גם את כל הציר שלה. במקרה זה, המטוס יהיה מאונך לבסיס העגול ויחלק את החרוט לשני חלקים שווים.
כמובן, השטחים של שני סוגי המקטעים הראשונים שווים לאפס. באשר לשטח החתך של החרוט עבור הסוג השלישי, נושא זה נדון ביתר פירוט בפסקה הבאה.
קטע צירי
צוין לעיל שהחתך הצירי של חרוט הוא הדמות שנוצרת כאשר החרוט נחתך על ידי מישור העובר בציר שלו. קל לנחש שקטע זה ייצג את הדמות המוצגת באיור למטה.
זהו משולש שווה שוקיים. קודקוד החתך הצירי של החרוט הוא קודקוד המשולש הזה, שנוצר על ידי מפגש של צלעות זהות. האחרונים שווים לאורך הגנרטריקס של החרוט. בסיס המשולש הוא קוטר בסיס החרוט.
חישוב השטח של החתך הצירי של חרוט מצטמצם למציאת השטח של המשולש שנוצר. אם רדיוס הבסיס r וגובה h של החרוט ידועים בתחילה, אזי השטח S של הקטע הנבדק יהיה:
S=hr.
זההביטוי הוא תוצאה של יישום הנוסחה הסטנדרטית עבור שטח משולש (חצי מכפלת הגובה כפול הבסיס).
שים לב שאם הגנרטריקס של חרוט שווה לקוטר הבסיס העגול שלו, אז החתך הצירי של החרוט הוא משולש שווה צלעות.
קטע משולש נוצר כאשר מישור החיתוך מאונך לבסיס החרוט ועובר בציר שלו. כל מישור אחר המקביל לזה הנקוב ייתן היפרבולה בחתך. עם זאת, אם המישור מכיל את קודקוד החרוט וחוצה את בסיסו שלא דרך הקוטר, אז הקטע שיתקבל יהיה גם משולש שווה שוקיים.
בעיית קביעת הפרמטרים הליניאריים של החרוט
בוא נראה כיצד להשתמש בנוסחה הכתובה עבור שטח החתך הצירי כדי לפתור בעיה גיאומטרית.
ידוע ששטח החתך הצירי של החרוט הוא 100 ס מ2. המשולש המתקבל הוא שווה צלעות. מהו גובה החרוט ורדיוס הבסיס שלו?
מכיוון שהמשולש שווה צלעות, גובהו h קשור לאורך הצלע a באופן הבא:
h=√3/2a.
בהינתן שצלעת המשולש היא פי שניים מרדיוס בסיס החרוט, ובהחלפת ביטוי זה בנוסחה של שטח החתך, נקבל:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
אז גובה החרוט הוא:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
נותר להחליף את ערך השטח ממצב הבעיהוקבל את התשובה:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 ס מ;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 ס מ.
באיזה אזורים חשוב לדעת את הפרמטרים של הקטעים הנחשבים?
הלימוד של סוגים שונים של חתכי חרוט הוא לא רק בעל עניין תיאורטי, אלא יש לו גם יישומים מעשיים.
ראשית, יש לציין את תחום האווירודינמיקה, שבו בעזרת חתכים חרוטיים ניתן ליצור צורות חלקות אידיאליות של גופים מוצקים.
שנית, חתכים חרוטיים הם מסלולים שלאורכם נעים עצמים בחלל בשדות כבידה. איזה סוג ספציפי של חתך מייצג את מסלול התנועה של הגופים הקוסמיים של המערכת נקבע על פי היחס בין המסות שלהם, המהירויות המוחלטות והמרחקים ביניהם.
