מרובע רשום במעגל. מרובע ABCD רשום במעגל

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

עם חלוקת המתמטיקה לאלגברה וגיאומטריה, החומר הלימודי הופך לקשה יותר. מופיעות דמויות חדשות והמקרים המיוחדים שלהן. על מנת להבין היטב את החומר, יש צורך ללמוד את המושגים, המאפיינים של עצמים ומשפטים קשורים.

מושגים כלליים

מרובע פירושו דמות גיאומטרית. זה מורכב מ-4 נקודות. יתר על כן, 3 מהם אינם ממוקמים על אותו קו ישר. ישנם קטעים המחברים את הנקודות שצוינו בסדרה.

כל המרובעים שנלמדו בקורס גיאומטריה בבית הספר מוצגים בתרשים הבא. מסקנה: לכל אובייקט מהדמות המוצגת יש את המאפיינים של הדמות הקודמת.

מרובע יכול להיות מהסוגים הבאים:

• מקבילה. ההקבלה של צלעותיו הנגדיות מוכחת על ידי המשפטים התואמים.
• טרפז. מרובע עם בסיסים מקבילים. שתי המפלגות האחרות לא.
• מלבן. דמות שיש לה את כל 4 הפינות=90º.
• מעוין. דמות שכל הצדדים שוות.
• ריבוע. משלב את המאפיינים של שתי הדמויות האחרונות. יש לו כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות.

ההגדרה העיקרית של נושא זה היא מרובע רשום במעגל. זה מורכב מהדברים הבאים. זוהי דמות שסביבה מתואר עיגול. הוא חייב לעבור דרך כל הקודקודים. הזוויות הפנימיות של מרובע הכתובות במעגל מסתכמות ב-360º.

לא ניתן לרשום כל מרובע. זה נובע מהעובדה שהחצויים הניצבים של 4 הצלעות עשויים שלא להצטלב בנקודה אחת. זה יאפשר למצוא את מרכז המעגל המקיף 4-גוון.

מקרים מיוחדים

יש חריגים לכל כלל. אז בנושא זה יש גם מקרים מיוחדים:

• מקבילית, ככזו, אינה ניתנת לרישום במעגל. רק המקרה המיוחד שלו. זה מלבן.
• אם כל הקודקודים של מעוין נמצאים על הקו המקיף, אז זה ריבוע.
• כל הקודקודים של הטרפז נמצאים על גבול המעגל. במקרה זה, הם מדברים על דמות שווה שוקיים.

מאפיינים של מרובע רשום במעגל

לפני פתרון בעיות פשוטות ומורכבות בנושא נתון, עליך לאמת את הידע שלך. בלי ללמוד את החומר החינוכי, אי אפשר לפתור דוגמה אחת.

משפט 1

סכום הזוויות ההפוכות של מרובע הכתוב במעגל הוא 180º.

Proof

נתון: מרובע ABCD רשום במעגל. המרכז שלו הוא נקודה O. עלינו להוכיח ש-_<A + _<C=180º ו-_< B + _<D=180º.

צריך לשקול את הנתונים המוצגים.

1. _{<A רשום במעגל שמרכזו בנקודה O. הוא נמדד דרך ½ BCD (חצי קשת).}
2. _{<C רשום באותו עיגול. הוא נמדד דרך ½ BAD (חצי קשת).}
3. BAD ו-BCD יוצרים מעגל שלם, כלומר גודלם הוא 360º.
4. _<A + _{<C שווים למחצית הסכום של חצאי הקשתות המיוצגות.}
5. לכן _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

באופן דומה, ההוכחה ל-_<B ו-_{<D. עם זאת, יש פתרון שני לבעיה.}

1. ידוע שסכום הזוויות הפנימיות של מרובע הוא 360º.
2. Because _<A + _<C=180º. בהתאם, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

משפט 2

(זה נקרא לעתים קרובות הפוך) אם במרובע _<A + _<C=180º ו-_{<B +} <_{D=180º (אם הם מנוגדים), אז ניתן לתאר עיגול סביב דמות כזו.}

Proof

נתון סכום הזוויות ההפוכות של מרובע ABCD השווה ל-180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. עלינו להוכיח שניתן לתחום מעגל סביב ABCD.}

מהמסלול הגיאומטרי ידוע שניתן לצייר עיגול דרך 3 נקודות של מרובע. לדוגמה, ניתן להשתמש בנקודות A, B, C. היכן תמוקם נקודה D? יש 3 ניחושים:

1. היא מסתיימת בתוך המעגל. במקרה זה, D לא נוגע בקו.
2. מחוץ למעגל. היא צועדת הרבה מעבר לקו המתאר.
3. זה מסתבר על עיגול.

יש להניח ש-D נמצא בתוך המעגל. את מקומו של הקודקוד המצוין תופסת D´. מסתבר שמרובע ABCD´.

התוצאה היא:_<B + _<D´=2d.

אם נמשיך את AD´ לצומת עם המעגל הקיים במרכזו בנקודה E ונחבר את E ו-C, נקבל מרובע ABCE רשום. מהמשפט הראשון עולה השוויון:

לפי חוקי הגיאומטריה, הביטוי אינו תקף כי _<D´ הוא הפינה החיצונית של המשולש CD´E. בהתאם, זה צריך להיות יותר מ-_{<E. מכאן נוכל להסיק ש-D חייב להיות על המעגל או מחוצה לו.}

באופן דומה, ניתן להוכיח את ההנחה השלישית כשגויה כאשר D´´ עובר את הגבול של הדמות המתוארת.

משתי השערות מגיעה היחידה הנכונה. קודקוד D ממוקם על קו המעגל. במילים אחרות, D חופף ל-E. מכאן נובע שכל הנקודות של המרובע ממוקמות על הקו המתואר.

מן אלהשני משפטים, המסקנה הבאה:

ניתן לרשום כל מלבן במעגל. יש תוצאה נוספת. ניתן לתחום מעגל סביב כל מלבן

ניתן לרשום טרפז עם ירכיים שוות במעגל. במילים אחרות, זה נשמע כך: ניתן לתאר עיגול סביב טרפז בעל קצוות שווים

מספר דוגמאות

בעיה 1. מרובע ABCD רשום במעגל. _<ABC=105º, _<CAD=35º. צריך למצוא _{<ABD. יש לכתוב את התשובה במעלות.}

החלטה. בהתחלה, אולי נראה שקשה למצוא את התשובה.

1. אתה צריך לזכור את המאפיינים מהנושא הזה. כלומר: סכום הזוויות ההפוכות=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

בגיאומטריה, עדיף להיצמד לעיקרון: מצא כל מה שאתה יכול. שימושי מאוחר יותר.

2. השלב הבא: השתמש במשפט סכום המשולש.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD ו-_{<ACD רשומים. לפי תנאי, הם מסתמכים על קשת אחת. בהתאם, יש להם ערכים שווים:}

_<ABD=_<ACD=70º

תשובה: _<ABD=70º.

בעיה 2. BCDE הוא מרובע רשום במעגל. _<B=69º, _<C=84º. מרכז המעגל הוא נקודה E. מצא - _<E.

החלטה.

1. Need to find _{<E לפי משפט 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

תשובה: _{< E=96º.}

בעיה 3. נתון מרובע רשום במעגל. הנתונים מוצגים באיור. יש צורך למצוא ערכים לא ידועים של x, y, z.

פתרון:

z=180º – 93º=87º (לפי משפט 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (לפי משפט 1)

תשובה: z=87º, x=82º, y=98º.

בעיה 4. יש מרובע רשום במעגל. הערכים מוצגים באיור. מצא את x, y.

פתרון:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

תשובה: x=100º, y=109º.

בעיות לפתרון עצמאי

דוגמה 1. נתון מעגל. המרכז שלו הוא נקודה O. AC ו-BD הם קטרים. _<ACB=38º. צריך למצוא _{<AOD. יש לתת את התשובה במעלות.}

דוגמה 2. נתון מרובע ABCD ומעגל מוקף סביבו. _<ABC=110º, _<ABD=70º. מצא _{<CAD. כתוב את התשובה שלך במעלות.}

דוגמה 3. נתון מעגל ומרובע רשום ABCD. שתי הזוויות שלו הן 82º ו58º. עליך למצוא את הגדולה מבין הזוויות הנותרות ולכתוב את התשובה במעלות.

דוגמה 4. נתון מרובע ABCD. זוויות A, B, C ניתנות ביחס 1:2:3. יש צורך למצוא את הזווית D אם ניתן לרשום את המרובע שצוין במעגל. יש לתת את התשובה במעלות.

דוגמה 5. נתון מרובע ABCD. צלעותיו יוצרות קשתות של המעגל המוקף. ערכי מעלות AB, BC, CD ו-AD, בהתאמה, הם: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. עליך למצוא את _{<מהמרובע הנתון ולכתוב את התשובה במעלות.}