פלנימטריה היא ענף בגיאומטריה החוקר את התכונות של דמויות מישוריות. אלה כוללים לא רק משולשים ידועים, ריבועים, מלבנים, אלא גם קווים וזוויות ישרים. בפלנימטריה יש גם מושגים כמו זוויות במעגל: מרכזי וכתובים. אבל למה הם מתכוונים?
מהי הזווית המרכזית?
כדי להבין מהי זווית מרכזית, עליך להגדיר מעגל. מעגל הוא אוסף של כל הנקודות במרחק שווה מנקודה נתונה (מרכז המעגל).
חשוב מאוד להבחין בינו לבין מעגל. יש לזכור שמעגל הוא קו סגור, ומעגל הוא חלק ממישור התחום בו. ניתן לרשום מצולע או זווית במעגל.
זווית מרכזית היא זווית שקודקודה חופף למרכז המעגל ושצלעותיה חותכות את המעגל בשתי נקודות. הקשת, שהזווית מגבילה בנקודות חיתוך, נקראת הקשת שעליה מונחת הזווית הנתונה.
שקול דוגמה 1.
בתמונה, זווית AOB היא מרכזית, מכיוון שקודקוד הזווית ומרכז המעגל הם נקודה אחת O. היא מונחת על הקשת AB, שאינה מכילה את נקודה C.
מה שונה זווית חרוט מזווית מרכזית?
עם זאת, מלבד המרכזיות שבהן, ישנן גם זוויות חרוטות. מה ההבדל ביניהם? בדיוק כמו המרכזית, הזווית הרשומה במעגל מונחת על קשת מסוימת. אבל קודקודו אינו חופף למרכז המעגל, אלא מונח עליו.
בוא ניקח את הדוגמה הבאה.
זווית ACB נקראת זווית הרשומה במעגל שמרכזו בנקודה O. נקודה C שייכת למעגל, כלומר מונחת עליה. הזווית מונחת על הקשת AB.
מהי הזווית המרכזית
כדי להתמודד בהצלחה עם בעיות בגיאומטריה, לא מספיק להיות מסוגל להבחין בין זוויות כתובות למרכזיות. ככלל, כדי לפתור אותם, צריך לדעת בדיוק איך למצוא את הזווית המרכזית במעגל, ולהיות מסוגלים לחשב את ערכה במעלות.
לכן, הזווית המרכזית שווה למידת המעלות של הקשת שהיא מונחת עליה.
בתמונה, הזווית AOB מונחת על הקשת AB השווה ל-66°. אז הזווית AOB שווה גם ל-66°.
לכן, הזוויות המרכזיות המבוססות על קשתות שוות שוות.
באיור, arc DC שווה לקשת AB. אז זווית AOB שווה לזווית DOC.
איך למצוא זווית כתובה
זה אולי נראה שהזווית הרשומה במעגל שווה לזווית המרכזית,שנשענת על אותה קשת. עם זאת, מדובר בטעות גסה. למעשה, אפילו רק להסתכל על הציור ולהשוות את הזוויות הללו ביניהן, אתה יכול לראות שלמדדי המעלות שלהם יהיו ערכים שונים. אז מהי הזווית הרשומה במעגל?
מידת המעלות של זווית חרוטה היא חצי אחד מהקשת שהיא מונחת עליה, או חצי מהזווית המרכזית אם הם מסתמכים על אותה קשת.
בואו נשקול דוגמה. זווית ACB מבוססת על קשת השווה ל-66°.
אז הזווית DIA=66°: 2=33°
בואו נשקול כמה השלכות של המשפט הזה.
- זוויות כתובות, אם הן מבוססות על אותה קשת, אקורד או קשתות שוות, שוות.
- אם הזוויות הכתובות מבוססות על אותו אקורד, אבל הקודקודים שלהן נמצאים בצדדים מנוגדים שלו, סכום מדדי המעלות של זוויות כאלה הוא 180°, מכיוון שבמקרה זה שתי הזוויות מבוססות על קשתות, המידה הכוללת שלה היא 360° (מעגל שלם), 360°: 2=180°
- אם הזווית הרשומה מבוססת על קוטר המעגל הנתון, מידת המעלות שלה היא 90°, מכיוון שהקוטר מושך קשת השווה ל-180°, 180°: 2=90°
- אם הזוויות המרכזיות והזוויות הכתובות במעגל מבוססות על אותה קשת או מיתר, אז הזווית הרשומה שווה למחצית מהמרכזית.
היכן ניתן למצוא בעיות בנושא זה? הסוגים והפתרונות שלהם
מכיוון שהמעגל ותכונותיו הם אחד הקטעים החשובים ביותר של הגיאומטריה, הפלנימטריה בפרט, הזוויות הכתובות והמרכזיות במעגל הן נושא רחב ומפורטלמד בתכנית הלימודים בבית הספר. משימות המוקדשות למאפיינים שלהן נמצאות בבחינת המדינה הראשית (OGE) ובבחינת המדינה המאוחדת (USE). ככלל, כדי לפתור בעיות אלו, עליך למצוא את הזוויות על המעגל במעלות.
זוויות מבוססות על אותה קשת
סוג זה של בעיות הוא אולי מהקלות ביותר, שכן כדי לפתור אותה אתה צריך לדעת רק שתי תכונות פשוטות: אם שתי הזוויות כתובות ונשענות על אותו אקורד, הן שוות, אם אחת מהן היא מרכזי, אז הזווית הכתובה המתאימה שווה למחצית ממנה. עם זאת, כשפותרים אותן, יש להיזהר ביותר: לפעמים קשה להבחין בנכס הזה, וסטודנטים, כשפותרים בעיות פשוטות כאלה, מגיעים למבוי סתום. שקול דוגמה.
בעיה 1
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O. זווית AOB היא 54°. מצא את מידת המעלות של הזווית DIA.
משימה זו נפתרת בשלב אחד. הדבר היחיד שאתה צריך כדי למצוא את התשובה לזה במהירות הוא לשים לב שהקשת שעליה נשענות שתי הפינות היא אחת משותפת. כשתראה זאת, אתה יכול ליישם את הנכס המוכר כבר. זווית ACB היא חצי מהזווית AOB. אז
1) AOB=54°: 2=27°.
תשובה: 54°.
זוויות המבוססות על קשתות שונות של אותו מעגל
לפעמים גודל הקשת עליה נשענת הזווית הנדרשת לא מצוין ישירות בתנאי הבעיה. על מנת לחשב אותו, עליך לנתח את גודל הזוויות הללו ולהשוות ביניהן לתכונות הידועות של המעגל.
בעיה 2
בעיגול שמרכזו ב-O, זווית AOCהוא 120°, והזווית AOB היא 30°. מצא את הפינה שלך.
לכתחילה, כדאי לומר שאפשר לפתור את הבעיה הזו באמצעות תכונות של משולשים שווה שוקיים, אבל זה ידרוש יותר פעולות מתמטיות. לכן, כאן ננתח את הפתרון באמצעות המאפיינים של זוויות מרכזיות וכתובות במעגל.
לכן, הזווית AOC מונחת על קשת AC והיא מרכזית, מה שאומר שהקשת AC שווה לזווית AOC.
AC=120°
באותו אופן, הזווית AOB מונחת על הקשת AB.
AB=30°.
לדעת את זה ואת מידת המעלות של המעגל כולו (360°), תוכל למצוא בקלות את גודל הקשת לפני הספירה.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
קודקוד הזווית CAB, נקודה A, שוכן על המעגל. לפיכך, הזווית CAB רשום ושווה למחצית הקשת CB.
זווית CAB=210°: 2=110°
תשובה: 110°
בעיות המבוססות על יחסי קשת
חלק מהבעיות אינן מכילות נתונים על זוויות כלל, ולכן יש לחפש אותן רק על סמך משפטים ומאפיינים ידועים של מעגל.
בעיה 1
מצא את הזווית הרשומה במעגל הנתמך על ידי אקורד השווה לרדיוס המעגל הנתון.
אם אתה מצייר קווים המחברים את קצוות הקטע עם מרכז המעגל, תקבל משולש. לאחר שבדקנו אותו, ניתן לראות שהקווים הללו הם רדיוסי המעגל, כלומר כל צלעות המשולש שוות. אנחנו יודעים שכל הזוויות של משולש שווה צלעותשווים ל-60°. לפיכך, הקשת AB המכילה את קודקוד המשולש שווה ל-60°. מכאן נמצא את הקשת AB, שעליה מבוססת הזווית הרצויה.
AB=360° - 60°=300°
זווית ABC=300°: 2=150°
תשובה: 150°
בעיה 2
במעגל שמרכזו בנקודה O, הקשתות קשורות ל-3:7. מצא את הזווית הקטנה יותר.
לפתרון, נסמן חלק אחד כ-X, ואז קשת אחת שווה ל-3X, והשנייה, בהתאמה, 7X. בידיעה שמידת המעלות של מעגל היא 360°, נוכל לכתוב משוואה.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
לפי התנאי, אתה צריך למצוא זווית קטנה יותר. ברור שאם ערך הזווית הוא פרופורציונלי ישר לקשת עליה היא מונחת, אז הזווית הנדרשת (הקטנה יותר) מתאימה לקשת השווה ל-3X.
אז הזווית הקטנה יותר היא (36°3): 2=108°: 2=54°
תשובה: 54°
בעיה 3
בעיגול שמרכזו בנקודה O, הזווית AOB היא 60° ואורך הקשת הקטנה יותר הוא 50. חשב את אורך הקשת הגדולה יותר.
כדי לחשב אורך של קשת גדולה יותר, צריך לעשות פרופורציה - איך הקשת הקטנה יותר מתייחסת לגדולה יותר. לשם כך, אנו מחשבים את גודל שתי הקשתות במעלות. הקשת הקטנה יותר שווה לזווית המונחת עליה. מידת המעלות שלו היא 60°. הקשת הגדולה יותר שווה להפרש בין מידת המעלות של המעגל (היא שווה ל-360° ללא קשר לנתונים אחרים) לבין הקשת הקטנה יותר.
הקשת הגדולה היא 360° - 60°=300°.
מאז 300°: 60°=5, הקשת הגדולה יותר היא פי 5 מהקטנה יותר.
קשת גדולה=505=250
תשובה: 250
אז, כמובן, יש אחריםגישות לפתרון בעיות דומות, אבל כולן מבוססות איכשהו על מאפיינים של זוויות מרכזיות וכתובות, משולשים ומעגלים. כדי לפתור אותם בהצלחה, עליך ללמוד היטב את השרטוט ולהשוות אותו עם נתוני הבעיה, כמו גם להיות מסוגל ליישם את הידע התיאורטי שלך בפועל.
