המושג של תואר במתמטיקה מוצג בכיתה ז' בשיעור אלגברה. ובעתיד, במהלך לימוד המתמטיקה, נעשה שימוש פעיל במושג זה בצורותיו השונות. תארים הם נושא קשה למדי, הדורש שינון ערכים ויכולת לספור נכון ומהיר. לעבודה מהירה וטובה יותר עם תארים במתמטיקה, הם הגיעו למאפיינים של תואר. הם עוזרים לצמצם חישובים גדולים, להמיר דוגמה ענקית למספר בודד במידה מסוימת. אין כל כך הרבה מאפיינים, ואת כולם קל לזכור וליישם בפועל. לכן, המאמר דן במאפיינים העיקריים של התואר, וכן היכן הם חלים.
נכסי תואר
נשקול 12 מאפיינים של מעלות, כולל מאפיינים של מעלות עם אותם בסיסים, וניתן דוגמה לכל מאפיין. כל אחד מהמאפיינים האלה יעזור לך לפתור בעיות עם תארים מהר יותר, כמו גם לחסוך ממך שגיאות חישוב רבות.
נכס ראשון.
a0=1
הרבה פעמים שוכחים מהנכס הזה, כןשגיאות על ידי ייצוג מספר בחזקת אפס כאפס.
נכס שני.
a1=a
נכס שלישי.
a am=a(n+m)
עליך לזכור שניתן להשתמש במאפיין זה רק בעת הכפלת מספרים, הוא לא עובד עם הסכום! ואל תשכח שהמאפיינים האלה והמאפיינים הבאים חלים רק על עצמות עם אותו בסיס.
נכס רביעי.
a/am=a(n-m)
אם המספר במכנה מועלה לחזקה שלילית, אז בעת חיסור, דרגת המכנה נלקחת בסוגריים כדי להחליף נכון את הסימן בחישובים נוספים.
הנכס פועל רק לחלוקה, לא לחיסור!
נכס 5.
(a)m=a(nm)
נכס 6.
a-n=1/a
ניתן להחיל מאפיין זה גם הפוך. יחידה המחולקת במספר במידה מסוימת היא המספר הזה בחזקת שלילית.
נכס 7.
(ab)m=am bm
לא ניתן להחיל את הנכס הזה לסכום והפרש! כאשר מעלים סכום או הפרש לחזקה, משתמשים בנוסחאות כפל מקוצר, לא במאפייני החזקה.
נכס 8.
(a/b)=a/b
נכס 9.
a½=√a
תכונה זו פועלת עבור כל חזקה שברית עם מונה השווה לאחד,הנוסחה תהיה זהה, רק דרגת השורש תשתנה בהתאם למכנה של המעלה.
כמו כן, מאפיין זה משמש לעתים קרובות הפוך. ניתן לייצג את השורש של כל חזקה של מספר כמספר זה בחזקת אחד חלקי בחזקת השורש. מאפיין זה שימושי מאוד במקרים שבהם השורש של המספר אינו חולץ.
נכס 10.
(√a)2=a
הנכס הזה לא עובד רק עם שורשים ריבועיים וחזקות שניות. אם דרגת השורש ומידת ההגבהה של שורש זה זהים, אז התשובה תהיה ביטוי רדיקלי.
נכס 11.
√a=a
עליך להיות מסוגל לראות את הנכס הזה בזמן הפתרון כדי להציל את עצמך מחישובי ענק.
נכס 12.
am/n=√am
כל אחד מהמאפיינים האלה יפגוש אותך יותר מפעם אחת במשימות, זה יכול להינתן בצורה הטהורה שלו, או שהוא עשוי לדרוש כמה טרנספורמציות ושימוש בנוסחאות אחרות. לכן, בשביל הפתרון הנכון, לא מספיק לדעת רק את המאפיינים, צריך לתרגל ולחבר את שאר הידע המתמטי.
שימוש בתארים ובמאפיינים
הם נמצאים בשימוש פעיל באלגברה ובגיאומטריה. לתארים במתמטיקה יש מקום נפרד וחשוב. בעזרתם נפתרים משוואות ואי-שוויון מעריכי, כמו גם כוחות מסבכים לעתים קרובות משוואות ודוגמאות הקשורות לחלקים אחרים במתמטיקה. אקספוננטים עוזרים להימנע מחישובים גדולים וארוכים, קל יותר לצמצם ולחשב את המעריכים. אלא בשבילבעבודה עם כוחות גדולים, או עם כוחות של מספרים גדולים, אתה צריך לדעת לא רק את המאפיינים של התואר, אלא גם לעבוד במיומנות עם הבסיסים, להיות מסוגל לפרק אותם כדי להקל על המשימה שלך. מטעמי נוחות, כדאי לדעת גם את המשמעות של מספרים המועלים לחזקה. זה יקצר את זמן הפתרון על ידי ביטול הצורך בחישובים ארוכים.
מושג התואר ממלא תפקיד מיוחד בלוגריתמים. מכיוון שהלוגריתם, במהותו, הוא החזקה של מספר.
נוסחאות הכפל המופחת הן דוגמה נוספת לשימוש בחזקות. הם לא יכולים להשתמש בתכונות של מעלות, הם מפורקים לפי כללים מיוחדים, אבל בכל נוסחת כפל מקוצרת יש תמיד מעלות.
תארים נמצאים בשימוש פעיל גם בפיזיקה ובמדעי המחשב. כל התרגומים למערכת SI נעשים באמצעות תארים, ובעתיד, בעת פתרון בעיות, מיושמות תכונות התואר. במדעי המחשב נעשה שימוש פעיל בחזקות של שניים, לנוחות הספירה ופישוט תפיסת המספרים. חישובים נוספים על המרה של יחידות מדידה או חישובים של בעיות, ממש כמו בפיזיקה, מתרחשים באמצעות מאפייני התואר.
מעלות שימושיות מאוד גם באסטרונומיה, שבה אתה רואה רק לעתים רחוקות שימוש במאפיינים של תואר, אבל התארים עצמם משמשים באופן פעיל לקיצור רישום של כמויות ומרחקים שונים.
מעלות משמשות גם בחיי היומיום, בעת חישוב שטחים, נפחים, מרחקים.
בעזרת תארים נכתבות כמויות גדולות מאוד וקטנות מאוד בכל תחום מדעי.
משוואות אקספוננציאליות ואי-שוויון
מאפייני התואר תופסים מקום מיוחד דווקא במשוואות אקספוננציאליות ובאי-שוויון. משימות אלו נפוצות מאוד, הן בקורס בית הספר והן בבחינות. את כולם פותרים על ידי יישום תכונות התואר. הלא נודע נמצא תמיד בדרגה עצמה, לכן, בהכרת כל התכונות, לא יהיה קשה לפתור משוואה כזו או אי שוויון.
