הפרדוקס של ברטרנד הוא בעיה בפרשנות הקלאסית של תורת ההסתברות. יוסף הציג זאת בעבודתו Calcul des probabilités (1889) כדוגמה לכך שלא ניתן להגדיר היטב הסתברויות אם מנגנון או שיטה מייצרים משתנה אקראי.
הצהרת בעיה
הפרדוקס של ברטרנד הוא כדלקמן.
ראשית, שקול משולש שווה צלעות החרוט במעגל. במקרה זה, הקוטר נבחר באופן אקראי. מה ההסתברות שהוא ארוך מצלע המשולש?
ברטרנד העלה שלושה טיעונים, שכולם נראים נכונים, אך נותנים תוצאות שונות.
שיטת נקודת קצה אקראית
עליך לבחור שני מקומות במעגל ולצייר קשת המחברת ביניהם. לצורך החישוב, נלקח בחשבון פרדוקס ההסתברות של ברטרנד. יש צורך לדמיין שהמשולש מסובב כך שקודקודו חופף לאחת מנקודות הקצה של האקורד. שווה לשלםשימו לב שאם החלק השני נמצא על קשת בין שני מקומות, המעגל ארוך מצלע המשולש. אורך הקשת הוא שליש מהמעגל, כך שההסתברות שאקורד אקראי ארוך יותר היא 1/3.
שיטת הבחירה
יש צורך לבחור את רדיוס המעגל ונקודה עליו. לאחר מכן, אתה צריך לבנות אקורד דרך המקום הזה, בניצב לקוטר. כדי לחשב את הפרדוקס הנחשב של ברטרנד בתורת ההסתברות, יש לדמיין שהמשולש מסובב כך שהצלע מאונך לרדיוס. האקורד ארוך יותר מהרגל אם הנקודה שנבחרה קרובה יותר למרכז המעגל. ובמקרה זה, הצלע של המשולש חוצה את הרדיוס. לכן, ההסתברות שהאקורד ארוך מהצד של הדמות הרשומה היא 1/2.
אקורדים אקראיים
שיטת נקודת אמצע. יש צורך לבחור מקום על המעגל וליצור אקורד עם אמצע נתון. הציר ארוך מקצה המשולש הכתוב, אם המיקום הנבחר נמצא במעגל קונצנטרי של רדיוס 1/2. שטח המעגל הקטן יותר הוא רבע מהדמות הגדולה יותר. לכן, ההסתברות לאקורד אקראי ארוך מהצלע של המשולש הכתוב ושווה ל-1/4.
כפי שהוצג לעיל, שיטות הבחירה שונות במשקל שהן נותנות לאקורדים מסוימים, שהם קטרים. בשיטה 1, ניתן לבחור כל אקורד בצורה אחת בדיוק, בין אם מדובר בקוטר ובין אם לאו.
בשיטה 2, ניתן לבחור כל קו ישר בשתי דרכים. ואילו כל אקורד אחר ייבחררק אחת מהאפשרויות.
בשיטה 3, לכל בחירת נקודת אמצע יש פרמטר בודד. מלבד מרכז המעגל, שהוא נקודת האמצע של כל הקטרים. ניתן להימנע מבעיות אלו על ידי "הזמנה" של כל השאלות כדי לא לכלול פרמטרים מבלי להשפיע על ההסתברויות המתקבלות.
ניתן להמחיש שיטות נבחרות גם באופן הבא. אקורד שאינו קוטר מזוהה באופן ייחודי לפי נקודת האמצע שלו. כל אחת משלוש שיטות הבחירה שהוצגו לעיל מייצרת התפלגות שונה של האמצע. ואפשרויות 1 ו-2 מספקות שתי מחיצות שונות לא אחידות, בעוד שיטה 3 נותנת התפלגות אחידה.
הפרדוקס הקלאסי של פתרון הבעיה של ברטרנד תלוי בשיטה שבה האקורד נבחר "באקראי". מסתבר שאם מוגדרת מראש שיטת בחירה אקראית, לבעיה יש פתרון מוגדר היטב. הסיבה לכך היא שלכל שיטה בנפרד יש חלוקת אקורדים משלה. שלושת הפסוקים שהציג ברטרנד תואמים אופני בחירה שונים ובהיעדר מידע נוסף, אין סיבה להעדיף אחד על פני השני. בהתאם, לבעיה המוצהרת אין פתרון אחד.
דוגמה להפיכת תשובה כללית לייחודית היא לציין שנקודות הקצה של האקורד מרווחות באופן שווה בין 0 ל-c, כאשר c הוא היקף המעגל. התפלגות זו זהה לטענה הראשונה של ברטרנד וההסתברות הייחודית שתתקבל תהיה 1/3.
פרדוקס ברטרנד ראסל הזה וייחודיות אחרים של הקלאסיפרשנויות של אפשרות מצדיקות ניסוחים קפדניים יותר. כולל תדירות הסתברות ותיאוריה בייסיאנית סובייקטיביסטית.
מה עומד בבסיס הפרדוקס של ברטרנד
במאמרו "The Well-posed Problem" משנת 1973, אדווין ג'יינס הציע את הפתרון הייחודי שלו. הוא ציין כי הפרדוקס של ברטרנד מבוסס על הנחת יסוד המבוססת על העיקרון של "בורות מרבית". המשמעות היא שאסור להשתמש במידע שאינו מסופק בהצהרת הבעיה. ג'יינס ציין שהבעיה של ברטרנד אינה קובעת את מיקומו או גודלו של המעגל. וטען כי לכן כל החלטה מוגדרת ואובייקטיבית חייבת להיות "אדישה" לגודל ולמיקום.
למטרות המחשה
בהנחה שכל האקורדים ממוקמים באופן אקראי על עיגול של 2 ס מ, עכשיו צריך לזרוק עליו קשיות מרחוק.
אז אתה צריך לקחת עיגול נוסף בקוטר קטן יותר (לדוגמה, 1 סנטימטר), שמתאים לדמות גדולה יותר. אז התפלגות האקורדים על המעגל הקטן יותר הזה צריכה להיות זהה לזו המקסימלית. אם גם הנתון השני נע בתוך הראשון, ההסתברות, באופן עקרוני, לא אמורה להשתנות. קל מאוד לראות שבשיטה 3 יתרחש השינוי הבא: התפלגות האקורדים על העיגול האדום הקטן תהיה שונה מבחינה איכותית מההתפלגות על העיגול הגדול.
אותו דבר קורה לשיטה 1. למרות שקשה יותר לראות את זה בתצוגה הגרפית.
שיטה 2 היא היחידהשמסתבר שהוא גם סולם וגם משתנה תרגום.
נראה שהשיטה מספר 3 ניתנת להרחבה.
שיטה 1 אינה אף אחת מהן.
עם זאת, ג'ינס לא השתמשה באינוריאנטים בקלות כדי לקבל או לדחות את השיטות הללו. זה ישאיר את האפשרות שיש עוד שיטה לא מתוארת שתתאים להיבטי המשמעות הסבירה שלה. ג'יינס יישם משוואות אינטגרליות המתארות אי-ווריאציות. כדי לקבוע ישירות את התפלגות ההסתברות. בבעיה שלו, למשוואות האינטגרליות אכן יש פתרון ייחודי, וזה בדיוק מה שנקרא לעיל שיטת הרדיוס האקראי השני.
במאמר מ-2015, אלון דרורי טוען שהעיקרון של ג'יינס יכול להניב גם שני פתרונות נוספים של ברטרנד. המחבר מבטיח שהיישום המתמטי של המאפיינים של השונות לעיל אינו ייחודי, אלא תלוי בהליך הבחירה האקראי הבסיסי שבו אדם מחליט להשתמש. הוא מראה שניתן להשיג כל אחד משלושת הפתרונות של ברטרנד באמצעות סיבובי, קנה מידה ואינווריאנטיות תרגום. יחד עם זאת, מסקנה שעקרון ג'יינס נתון לפרשנות בדיוק כמו אופן האדישות עצמו.
ניסויים פיזיים
שיטה 2 היא הפתרון היחיד שעונה על אינוריאנטי הטרנספורמציה הקיימים במושגים פיזיולוגיים ספציפיים כמו מכניקה סטטיסטית ומבנה גזים. גם בהצעתהניסוי של ג'ינס בזריקת קשיות מעיגול קטן.
עם זאת, ניתן לתכנן ניסויים מעשיים אחרים המספקים תשובות לפי שיטות אחרות. לדוגמה, כדי להגיע לפתרון לשיטת נקודת הקצה האקראית הראשונה, ניתן לצרף מונה למרכז השטח. ותנו לתוצאות של שני סיבובים עצמאיים להדגיש את המקומות האחרונים של האקורד. כדי להגיע לפתרון לשיטה השלישית, אפשר לכסות את העיגול במולסה, למשל, ולסמן את הנקודה הראשונה עליה נוחת הזבוב כאקורד האמצעי. כמה מהרהרים יצרו מחקרים כדי להסיק מסקנות שונות ואישרו את התוצאות באופן אמפירי.
אירועים אחרונים
במאמרו "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle" משנת 2007, ניקולס שאקל טוען כי יותר ממאה שנה לאחר מכן, הבעיה עדיין לא נפתרה. היא ממשיכה להפריך את עקרון האדישות. יתר על כן, במאמרו משנת 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", דארל ר. רובוטום מראה שלכל הפסוקים המוצעים אין שום קשר לשאלתו שלו. אז התברר שהפרדוקס יהיה הרבה יותר קשה לפתרון ממה שחשבו קודם לכן.
שקל מדגיש שעד כה הרבה מדענים ואנשים רחוקים מהמדע ניסו לפתור את הפרדוקס של ברטרנד. זה עדיין מתגבר בעזרת שתי גישות שונות.
אלה שבהם נשקל ההבדל בין בעיות לא שוות, לבין אלה שבהן הבעיה תמיד נחשבה כנכונה. שאקל מצטט את לואי בספריומרינוף (כמעריך טיפוסי של אסטרטגיית הדיפרנציאציה) ואדווין ג'יינס (כמחבר של תיאוריה מחושבת היטב).
עם זאת, בעבודתם האחרונה Solving a Complex Problem, Diederik Aerts ומסימיליאנו ססולי דה ביאנקי מאמינים שכדי לפתור את פרדוקס ברטרנד, יש לחפש את הנחות היסוד באסטרטגיה מעורבת. לדברי המחברים הללו, הצעד הראשון הוא לתקן את הבעיה על ידי הצהרה ברורה של אופי הישות המחולקת באקראי. ורק לאחר שהדבר נעשה, כל בעיה יכולה להיחשב כנכונה. זה מה שג'ינס חושבת.
לכן ניתן להשתמש בעקרון הבורות המקסימלית כדי לפתור אותה. לשם כך, ומכיוון שהבעיה אינה מפרטת כיצד יש לבחור אקורד, העיקרון מיושם לא ברמת האפשרויות השונות, אלא בהרבה יותר עמוק.
מבחר חלקים
חלק זה של הבעיה דורש חישוב של מטה-ממוצע על פני כל הדרכים האפשריות, שהמחברים מכנים הממוצע האוניברסלי. כדי להתמודד עם זה, הם משתמשים בשיטת הדיסקרטיזציה. בהשראת הנעשה בהגדרת חוק ההסתברות בתהליכי וינר. התוצאה שלהם עולה בקנה אחד עם התוצאה המספרית של ג'יינס, למרות שהבעיה המנוסחת שלהם שונה מזו של המחבר המקורי.
בכלכלה ומסחר, פרדוקס ברטרנד, הקרוי על שם יוצרו ג'וזף ברטרנד, מתאר מצב בו שני שחקנים (פירמות) מגיעים לשיווי משקל נאש. כאשר שתי החברות קובעות מחיר השווה לעלות השולית(MS).
הפרדוקס של ברטרנד מבוסס על הנחת יסוד. היא נעוצה בעובדה שבמודלים כמו תחרות Cournot, עלייה במספר הפירמות קשורה בהתכנסות המחירים לעלויות שוליות. במודלים חלופיים אלה, הפרדוקס של ברטרנד הוא באוליגופול של מספר קטן של חברות שמרוויחות רווחים חיוביים על ידי גביית מחירים מעל העלות.
לכתחילה, כדאי להניח ששתי חברות A ו-B מוכרות מוצר הומוגני, שלכל אחת מהן אותה עלות ייצור והפצה. מכאן נובע שהקונים בוחרים מוצר רק על בסיס המחיר. זה אומר שהביקוש הוא גמיש לאין שיעור. לא א' ולא ב' יקבעו מחיר גבוה יותר מהאחרים, כי זה יגרום לכל פרדוקס ברטרנד לקרוס. אחד ממשתתפי השוק ייכנע למתחרה שלו. אם יקבעו את אותו המחיר, החברות יחלקו ברווחים.
מצד שני, אם חברה כלשהי תוריד את מחירה אפילו במעט, היא תקבל את כל השוק ותשואה גבוהה משמעותית. מכיוון ש-A ו-B יודעים זאת, כל אחד מהם ינסה להפחית את המתחרה עד שהמוצר יימכר ברווח כלכלי אפס.
עבודה אחרונה הראתה שייתכן שיווי משקל נוסף בפרדוקס האסטרטגיה המעורבת של ברטרנד, עם רווחים כלכליים חיוביים, בתנאי שסכום המונופול הוא אינסופי. במקרה של רווח סופי, הוכח כי עלייה חיובית תחת תחרות מחירים בלתי אפשרית בשיווי משקל מעורב ואפילו במקרה הכללי יותרמערכות מתואמות.
למעשה, הפרדוקס של ברטרנד בכלכלה נדיר לראות בפועל, כי מוצרים אמיתיים כמעט תמיד מובחנים בדרך כלשהי מלבד המחיר (למשל, תשלום יתר על תווית). לחברות יש מגבלות על היכולת שלהן לייצר ולהפיץ. זו הסיבה שרק לעתים נדירות יש את אותן עלויות לשני עסקים.
התוצאה של ברטרנד היא פרדוקסלית מכיוון שאם מספר הפירמות גדל מאחת לשתיים, המחיר יורד ממונופול לתחרותי ונשאר באותה רמה כמו מספר הפירמות שגדלות לאחר מכן. זה לא מאוד ריאלי, כי במציאות, שווקים עם מעט חברות בעלות כוח שוק נוטים לגבות מחירים מעל לעלות השולית. ניתוח אמפירי מראה שרוב התעשיות עם שני מתחרים מניבות רווחים חיוביים.
בעולם המודרני, מדענים מנסים למצוא פתרונות לפרדוקס העולים בקנה אחד עם מודל התחרות של Cournot. כאשר שתי חברות בשוק מרוויחות רווחים חיוביים שנמצאים איפשהו בין רמות תחרותיות ומונופוליות.
כמה סיבות לכך שהפרדוקס של ברטרנד אינו קשור ישירות לכלכלה:
- מגבלות קיבולת. לפעמים לחברות אין מספיק יכולת לעמוד בכל הביקוש. נקודה זו הועלתה לראשונה על ידי פרנסיס אדג'וורת' והולידה את מודל ברטרנד-אדג'וורת'.
- מחירים שלמים. מחירים מעל ה-MC אינם נכללים מכיוון שפירמה אחת יכולה לחתוך אחרת באקראי.כמות קטנה. אם המחירים הם בדידים (לדוגמה, הם חייבים לקחת ערכים שלמים), אז חברה אחת חייבת לחתוך את השנייה לפחות ברובל אחד. זה מרמז שערך המטבע הקטנוני הוא מעל ה-MC. אם חברה אחרת קובעת את המחיר עבורו גבוה יותר, חברה אחרת יכולה להוריד אותו ולכבוש את כל השוק, הפרדוקס של ברטרנד מורכב בדיוק מכך. זה לא יביא לה שום רווח. עסק זה יעדיף לחלוק מכירות 50/50 עם חברה אחרת ולקבל הכנסה חיובית בלבד.
- בידול מוצר. אם המוצרים של חברות שונות שונים זה מזה, ייתכן שהצרכנים לא יעברו לחלוטין למוצרים עם מחיר נמוך יותר.
- תחרות דינמית. אינטראקציה חוזרת או תחרות חוזרת על מחירים יכולה להוביל לאיזון ערך.
- פריטים נוספים בסכום גבוה יותר. זה נובע מאינטראקציה חוזרת ונשנית. אם חברה אחת תקבע את המחיר שלה קצת יותר גבוה, היא עדיין תקבל בערך את אותו מספר רכישות, אבל יותר רווח לכל פריט. לכן החברה השנייה תגדיל את הסימון שלה וכו' (רק בשידורים חוזרים, אחרת הדינמיקה הולכת לכיוון השני).
אוליגופולי
אם שתי חברות יכולות להסכים על מחיר, זה האינטרס שלהן לטווח ארוך לקיים את ההסכם: ההכנסות מהפחתת ערך הן פחות מפי שניים מההכנסה מעמידה בהסכם ונמשכות רק עד שהחברה השנייה חותכת מחירים משלו.
תיאוריההסתברויות (כמו שאר המתמטיקה) היא למעשה המצאה עדכנית. והפיתוח לא היה חלק. הניסיונות הראשונים לפורמליזציה של חשבון ההסתברות נעשו על ידי המרקיז דה לפלס, שהציע להגדיר את המושג כיחס בין מספר האירועים המובילים לתוצאה.
זה, כמובן, הגיוני רק אם מספר כל האירועים האפשריים הוא סופי. וחוץ מזה, כל האירועים סבירים באותה מידה.
לכן, בזמנו, נראה היה שלמושגים הללו אין בסיס מוצק. ניסיונות להרחיב את ההגדרה למקרה של מספר אינסופי של אירועים הובילו לקשיים גדולים עוד יותר. הפרדוקס של ברטרנד הוא תגלית כזו שגרמה למתמטיקאים להזהר מכל מושג ההסתברות.
