קו ומישור הם שני האלמנטים הגיאומטריים החשובים ביותר שניתן להשתמש בהם כדי לבנות צורות שונות במרחב דו-ממדי ותלת-ממד. שקול כיצד למצוא את המרחק בין קווים מקבילים למישורים מקבילים.
משימות מתמטיקה קו ישר
מקורס גיאומטריה בבית הספר ידוע שבמערכת קואורדינטות מלבנית דו-ממדית ניתן לציין קו בצורה הבאה:
y=kx + b.
כאשר k ו-b הם מספרים (פרמטרים). הצורה הכתובה של ייצוג קו במישור היא מישור המקביל לציר z במרחב התלת מימדי. לאור זאת, במאמר זה, לצורך הקצאה מתמטית של קו ישר, נשתמש בצורה נוחה ואוניברסלית יותר - וקטורית.
נניח שהקו שלנו מקביל לוקטור כלשהו u¯(a,b,c) ועובר דרך הנקודה P(x0, y0, z0). במקרה זה, בצורה וקטורית, המשוואה שלו תוצג באופן הבא:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
כאן λ הוא כל מספר. אם נציג במפורש את הקואורדינטות על ידי הרחבת הביטוי הכתוב, אז נקבל צורה פרמטרית של כתיבת קו ישר.
נוח לעבוד עם משוואה וקטורית בפתרון בעיות שונות שבהן יש צורך לקבוע את המרחק בין קווים מקבילים.
קווים והמרחק ביניהם
הגיוני לדבר על המרחק בין קווים רק כשהם מקבילים (במקרה התלת מימדי, יש גם מרחק שאינו אפס בין קווי הטיה). אם הקווים מצטלבים, אז ברור שהם נמצאים במרחק אפס זה מזה.
המרחק בין ישרים מקבילים הוא אורך האנך המחבר ביניהם. כדי לקבוע מחוון זה, מספיק לבחור נקודה שרירותית על אחד הקווים ולהוריד מאונך ממנה לאחר.
בוא נתאר בקצרה את ההליך למציאת המרחק הרצוי. נניח שאנו מכירים את המשוואות הווקטוריות של שני קווים, המוצגים בצורה הכללית הבאה:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
בנו מקבילית על הקווים האלה כך שאחת הצלעות היא PQ, והשנייה, למשל, u. ברור שגובה הדמות הזו, הנמשכת מהנקודה P, הוא אורך הניצב הנדרש. כדי למצוא אותו, אתה יכול ליישם את הפשוט הבאנוסחה:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
מכיוון שהמרחק בין ישרים הוא אורך הקטע הניצב ביניהם, אז לפי הביטוי הכתוב, מספיק למצוא את המודולוס של המכפלה הווקטורית של PQ¯ ו-u¯ ולחלק את התוצאה ב- אורך הווקטור u¯.
דוגמה למשימה לקביעת המרחק בין קווים ישרים
שני קווים ישרים ניתנים על ידי המשוואות הווקטוריות הבאות:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
מהביטויים הכתובים ברור שיש לנו שני קווים מקבילים. ואכן, אם נכפיל ב-1 את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר הראשון, נקבל את הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר השני, מה שמעיד על ההקבלה שלהן.
המרחק בין קווים ישרים יחושב באמצעות הנוסחה שנכתבה בפסקה הקודמת של המאמר. יש לנו:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
אז אנחנו מקבלים:
|u¯|=√14 ס מ;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 ס"מ.
שים לב שבמקום נקודות P ו-Q, ניתן להשתמש בכל נקודה ששייכת לקווים אלה כדי לפתור את הבעיה. במקרה זה, נקבל את אותו המרחק d.
הגדרת מטוס בגיאומטריה
שאלת המרחק בין השורות נדונה לעיל בהרחבה. כעת נראה כיצד למצוא את המרחק בין מישורים מקבילים.
כולם מייצגים מה זה מטוס. לפי ההגדרה המתמטית, האלמנט הגיאומטרי שצוין הוא אוסף של נקודות. יתרה מכך, אם תרכיב את כל הוקטורים האפשריים באמצעות הנקודות הללו, כולם יהיו מאונכים לוקטור בודד אחד. האחרון נקרא בדרך כלל הנורמלי למטוס.
כדי לציין את המשוואה של מישור במרחב התלת מימדי, לרוב משתמשים בצורה הכללית של המשוואה. זה נראה כך:
Ax + By + Cz + D=0.
כאשר אותיות לטיניות גדולות הן כמה מספרים. נוח להשתמש במשוואת מישור מסוג זה מכיוון שהקואורדינטות של הווקטור הנורמלי ניתנות בה במפורש. הם A, B, C.
קל לראות ששני מישורים מקבילים רק כאשר הנורמלים שלהם מקבילים.
איך למצוא את המרחק בין שני מישורים מקבילים ?
כדי לקבוע את המרחק שצוין, עליך להבין בבירור מה עומד על כף המאזניים. המרחק בין מישורים המקבילים זה לזה מובן כאורך הקטע הניצב אליהם. הקצוות של קטע זה שייכים למטוסים.
האלגוריתם לפתרון בעיות כאלה הוא פשוט. כדי לעשות זאת, אתה צריך למצוא את הקואורדינטות של כל נקודה ששייכת לאחד משני המישורים. לאחר מכן, עליך להשתמש בנוסחה הזו:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
מכיוון שהמרחק הוא ערך חיובי, סימן המודולוס נמצא במונה. הנוסחה הכתובה היא אוניברסלית, מכיוון שהיא מאפשרת לך לחשב את המרחק מהמטוס לכל אלמנט גיאומטרי לחלוטין. מספיק לדעת את הקואורדינטות של נקודה אחת של אלמנט זה.
למען השלמות, נציין שאם הנורמליות של שני מישורים אינם מקבילים זה לזה, אז מישורים כאלה יצטלבו. המרחק ביניהם יהיה אפס.
בעיית קביעת המרחק בין מטוסים
ידוע ששני מישורים ניתנים על ידי הביטויים הבאים:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
יש צורך להוכיח שהמישורים מקבילים, וגם לקבוע את המרחק ביניהם.
כדי לענות על החלק הראשון של הבעיה, עליך להביא את המשוואה הראשונה לצורה כללית. שימו לב שהיא ניתנת בצורה שנקראת של משוואה בקטעים. תכפיל את החלק השמאלי והימני שלו ב-15 והעבר את כל האיברים לצד אחד של המשוואה, נקבל:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
בוא נכתוב את הקואורדינטות של שני וקטורים נורמליים של המישורים:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
ניתן לראות שאם n2¯ מוכפל ב-5, אז נקבל בדיוק את הקואורדינטות n1¯. לפיכך, המטוסים הנחשבים הםמקביל.
כדי לחשב את המרחק בין מישורים מקבילים, בחר נקודה שרירותית מהראשון שבהם והשתמש בנוסחה שלעיל. לדוגמה, ניקח את הנקודה (0, 0, 1) השייכת למישור הראשון. אז נקבל:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 ס מ.
המרחק הרצוי הוא 31 מ מ.
מרחק בין המטוס לקו
הידע התיאורטי הניתן מאפשר לנו גם לפתור את בעיית קביעת המרחק בין קו ישר למישור. כבר הוזכר לעיל שהנוסחה שתקפה לחישובים בין מישורים היא אוניברסלית. זה יכול לשמש גם כדי לפתור את הבעיה. כדי לעשות זאת, פשוט בחר כל נקודה ששייכת לשורה הנתונה.
הבעיה העיקרית בקביעת המרחק בין האלמנטים הגיאומטריים הנחשבים היא הוכחת ההקבלה שלהם (אם לא, אז d=0). קל להוכיח מקביליות אם מחשבים את המכפלה הסקלרית של הנורמלי ואת וקטור הכיוון של הקו. אם האלמנטים הנבחנים מקבילים, אז המוצר הזה יהיה שווה לאפס.
