מישור, יחד עם נקודה וקו ישר, הוא אלמנט גיאומטרי בסיסי. עם השימוש בו, נבנות דמויות רבות בגיאומטריה מרחבית. במאמר זה נשקול ביתר פירוט את השאלה כיצד למצוא זווית בין שני מישורים.
קונספט
לפני שמדברים על הזווית בין שני מישורים, כדאי להבין היטב על איזה יסוד בגיאומטריה אנחנו מדברים. בואו נבין את הטרמינולוגיה. מישור הוא אוסף אינסופי של נקודות במרחב, המחברים אותן אנו מקבלים וקטורים. האחרון יהיה מאונך לוקטור אחד. בדרך כלל קוראים לזה הנורמלי למטוס.
האיור שלמעלה מציג מישור ושני וקטורים נורמליים אליו. ניתן לראות ששני הוקטורים שוכנים על אותו קו ישר. הזווית ביניהם היא 180o.
משוואות
ניתן לקבוע את הזווית בין שני מישורים אם ידועה המשוואה המתמטית של האלמנט הגיאומטרי הנחשב. ישנם מספר סוגים של משוואות כאלה,ששמותיו מופיעים למטה:
- סוג כללי;
- vector;
- במקטעים.
שלושת הסוגים האלה הם הנוחים ביותר לפתרון בעיות מסוגים שונים, ולכן הם משמשים לרוב.
משוואה כללית נראית כך:
Ax + By + Cz + D=0.
כאן x, y, z הן הקואורדינטות של נקודה שרירותית השייכת למישור הנתון. הפרמטרים A, B, C ו-D הם מספרים. הנוחות של סימון זה טמונה בעובדה שהמספרים A, B, C הם הקואורדינטות של וקטור נורמלי למישור.
ניתן לייצג את הצורה הווקטורית של המישור באופן הבא:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, b2, c2).
כאן (a2, b2, c2) ו-(a 1, b1, c1) - פרמטרים של שני וקטורי קואורדינטות השייכים למישור הנחשב. הנקודה (x0, y0, z0) נמצאת גם היא במישור הזה. הפרמטרים α ו-β יכולים לקבל ערכים בלתי תלויים ושרירותיים.
לבסוף, משוואת המישור בקטעים מיוצגת בצורה המתמטית הבאה:
x/p + y/q + z/l=1.
כאן p, q, l הם מספרים ספציפיים (כולל שליליים). משוואה מסוג זה שימושית כאשר יש צורך לתאר מישור במערכת קואורדינטות מלבנית, שכן המספרים p, q, l מציגים את נקודות החיתוך עם צירי x, y ו-zמטוס.
שים לב שניתן להמיר כל סוג של משוואה לכל סוג אחר באמצעות פעולות מתמטיות פשוטות.
נוסחה לזווית בין שני מישורים
עכשיו שקול את הניואנס הבא. במרחב התלת מימדי ניתן לאתר שני מישורים בשתי דרכים בלבד. או להצטלב או להיות מקבילים. בין שני מישורים, הזווית היא מה שנמצא בין וקטורי המדריך שלהם (רגיל). מצטלבים, 2 וקטורים יוצרים 2 זוויות (חריפה וקהה במקרה הכללי). הזווית בין המישורים נחשבת לחדה. שקול את המשוואה.
הנוסחה לזווית בין שני מישורים היא:
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
קל לנחש שביטוי זה הוא תוצאה ישירה של המכפלה הסקלרית של הוקטורים הנורמליים n1¯ ו-n2 ¯ עבור המטוסים הנחשבים. המודולוס של מכפלת הנקודה במונה מציין שהזווית θ תיקח רק ערכים מ-0o ל-90o. מכפלת המודולים של וקטורים נורמליים במכנה פירושה מכפלה של אורכם.
שימו לב, אם (n1¯n2¯)=0, אז המטוסים מצטלבים בזווית ישרה.
בעיה לדוגמה
לאחר שהבנו מה נקרא הזווית בין שני מישורים, נפתור את הבעיה הבאה. לדוגמא. לכן, יש צורך לחשב את הזווית בין מישורים כאלה:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
כדי לפתור את הבעיה, עליך לדעת את וקטורי הכיוון של המטוסים. עבור המישור הראשון, הווקטור הנורמלי הוא: n1¯=(2, -3, 0). כדי למצוא את הווקטור הנורמלי של המישור השני, יש להכפיל את הוקטורים אחרי הפרמטרים α ו-β. התוצאה היא וקטור: n2¯=(5, -3, 2).
כדי לקבוע את הזווית θ, אנו משתמשים בנוסחה מהפסקה הקודמת. אנחנו מקבלים:
θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=0.5455 rad.
הזווית המחושבת ברדיאנים מתאימה ל-31.26o. לפיכך, המטוסים ממצב הבעיה מצטלבים בזווית של 31, 26o.
