הופעתו של מושג האינטגרל נבעה מהצורך למצוא את הפונקציה האנטי-נגזרת לפי הנגזרת שלו, כמו גם לקבוע את כמות העבודה, שטח הדמויות המורכבות, המרחק שעבר, עם פרמטרים המתוארים על ידי עקומות המתוארות על ידי נוסחאות לא ליניאריות.
מהקורס
והפיסיקה יודעת שעבודה שווה למכפלת הכוח והמרחק. אם כל התנועה מתרחשת במהירות קבועה או שהמרחק מתגבר עם הפעלת אותו כוח, אז הכל ברור, אתה רק צריך להכפיל אותם. מהו אינטגרל של קבוע? זוהי פונקציה לינארית בצורה y=kx+c.
אבל הכוח במהלך העבודה יכול להשתנות, ובאיזושהי תלות טבעית. אותו מצב מתרחש עם חישוב המרחק שנסע אם המהירות אינה קבועה.
אז, ברור למה מיועד האינטגרל. הגדרתו כסכום התוצרים של ערכי פונקציה בתוספת אינסופית של הטיעון מתארת במלואה את המשמעות העיקרית של מושג זה כשטח של דמות התחום מלמעלה על ידי קו הפונקציה, וב- הקצוות לפי גבולות ההגדרה.
ז'אן גסטון דרבו, מתמטיקאי צרפתי, במחצית השנייה של ה-19המאה הסביר בצורה מאוד ברורה מהו אינטגרל. הוא הבהיר כל כך שבאופן כללי לא יהיה קשה אפילו לתלמיד חטיבת ביניים להבין את הנושא הזה.
בוא נגיד שיש פונקציה של כל צורה מורכבת. ציר ה-y, עליו משורטטים ערכי הטיעון, מחולק למרווחים קטנים, באופן אידיאלי הם קטנים לאין שיעור, אך מכיוון שמושג האינסוף הוא די מופשט, מספיק לדמיין רק קטעים קטנים, הערך מתוכם מסומן בדרך כלל באות היוונית Δ (דלתא).
התברר שהפונקציה "חתוכה" ללבנים קטנות.
כל ערך ארגומנט מתאים לנקודה על ציר ה-y, שעליה משורטטים ערכי הפונקציה המתאימים. אבל מכיוון שלאזור הנבחר יש שני גבולות, יהיו גם שני ערכים של הפונקציה, יותר ופחות.
סכום התוצרים של ערכים גדולים יותר בתוספת Δ נקרא סכום Darboux הגדול, והוא מסומן כ-S. בהתאם, הערכים הקטנים יותר בשטח מוגבל, כפול Δ, כולם ביחד יוצרים סכום Darboux קטן s. הקטע עצמו דומה לטרפז מלבני, שכן ניתן להזניח את העקמומיות של קו הפונקציה עם התוספת האינסופית שלו. הדרך הקלה ביותר למצוא את השטח של דמות גיאומטרית כזו היא להוסיף את המכפלה של הערך הגדול והקטן של הפונקציה בתוספת Δ ולחלק בשניים, כלומר לקבוע אותו כממוצע האריתמטי.
זהו האינטגרל של Darboux:
s=Σf(x) Δ הוא כמות קטנה;
S=Σf(x+Δ)Δ הוא סכום גדול.
אז מה זה אינטגרל? השטח התחום על ידי קו הפונקציה וגבולות ההגדרה יהיה:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
כלומר, הממוצע האריתמטי של סכומי Darboux גדולים וקטנים.c הוא ערך קבוע שמוגדר לאפס במהלך ההבחנה.
בהתבסס על הביטוי הגיאומטרי של מושג זה, המשמעות הפיזית של האינטגרל מתבררת. שטח הדמות, המתואר על ידי פונקציית המהירות, ומוגבל על ידי מרווח הזמן לאורך ציר האבשיסה, יהיה אורך הנתיב שעבר.
L=∫f(x)dx במרווח מ-t1 עד t2, Where
f(x) – פונקציית מהירות, כלומר הנוסחה שלפיה היא משתנה לאורך זמן;
L – אורך נתיב;
t1 – שעת התחלה;
t2 - שעת סיום המסע.
בדיוק לפי אותו עיקרון, כמות העבודה נקבעת, רק המרחק ישורטט לאורך האבססיס, וכמות הכוח המופעלת בכל נקודה מסויימת תשורטט לאורך הסמטה.
