פריזמה משושה והמאפיינים העיקריים שלה

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

גיאומטריה מרחבית היא חקר המנסרות. המאפיינים החשובים שלהם הם הנפח הכלול בהם, שטח הפנים ומספר האלמנטים המרכיבים. במאמר, נשקול את כל המאפיינים הללו עבור פריזמה משושה.

על איזו פריזמה אנחנו מדברים?

פריזמה משושה היא דמות שנוצרה על ידי שני מצולעים בעלי שש צלעות ושש זוויות, ושש מקביליות המחברים את המשושים המסומנים לתצורה גיאומטרית אחת.

האיור מציג דוגמה של פריזמה זו.

המשושה המסומן באדום נקרא בסיס הדמות. ברור שמספר הבסיסים שלו שווה לשניים, ושניהם זהים. הפנים הצהובים-ירקרקים של מנסרה נקראים הצדדים שלה. באיור הם מיוצגים על ידי ריבועים, אבל באופן כללי הם מקבילים.

הפריזמה המשושה יכולה להיות משופעת וישרה. במקרה הראשון, הזוויות בין הבסיס לצלעות אינן ישרות, במקרה השני הן שוות ל-90o. כמו כן, פריזמה זו יכולה להיות נכונה ולא נכונה. משושה רגילהמנסרה חייבת להיות ישרה ובעלת משושה רגילה בבסיסה. הפריזמה שלעיל באיור עונה על הדרישות הללו, ולכן היא נקראת נכונה. בהמשך המאמר נלמד רק את תכונותיו, כמקרה כללי.

Elements

לכל פריזמה האלמנטים העיקריים שלה הם קצוות, פנים וקודקודים. המנסרה המשושה אינה יוצאת דופן. האיור שלמעלה מאפשר לך לספור את מספר האלמנטים הללו. אז, נקבל 8 פנים או צלעות (שני בסיסים ושש מקביליות לרוחב), מספר הקודקודים הוא 12 (6 קודקודים לכל בסיס), מספר הקצוות של מנסרה משושה הוא 18 (שישה לרוחב ו-12 לבסיסים).

בשנות ה-1750, לאונרד אוילר (מתמטיקאי שוויצרי) קבע לכל הפוליהדרות, הכוללות פריזמה, קשר מתמטי בין המספרים של היסודות המצוינים. מערכת היחסים הזו נראית כך:

מספר הקצוות=מספר הפנים + מספר הקודקודים - 2.

הנתונים לעיל עומדים בנוסחה זו.

אלכסוני פריזמה

ניתן לחלק את כל האלכסונים של פריזמה משושה לשני סוגים:

• אלו השוכבים במישורי פניו;
• אלה השייכים לכל הכרך של הדמות.

התמונה למטה מציגה את כל האלכסונים האלה.

ניתן לראות ש-D₁ הוא אלכסון הצד, D₂ ו-D₃ הם האלכסונים כל המנסרה, D₄ ו-D_{5 - האלכסונים של הבסיס.}

אורכים של אלכסוני הצלעות שווים זה לזה.קל לחשב אותם באמצעות משפט פיתגורס הידוע. תן a להיות אורך הצלע של המשושה, b אורך קצה הצד. אז לאלכסון יש אורך:

D₁=√(a² + b^2).

קל לקבוע גם

אלכסון D₄. אם נזכור שמשושה רגיל מתאים למעגל בעל רדיוס a, אז D_{4 הוא הקוטר של מעגל זה, כלומר, נקבל את הנוסחה הבאה:}

D_4=2a.

אלכסון D₅בסיסים קצת יותר קשה למצוא. לשם כך, שקול משולש שווה צלעות ABC (ראה איור). עבורו AB=BC=a, הזווית ABC היא 120^{o. אם נוריד את הגובה מהזווית הזו (זה יהיה גם החציון והחציון), אז מחצית מבסיס ה-AC יהיה שווה ל:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

צד AC הוא האלכסון של D_{5, אז אנחנו מקבלים:}

D_5=AC=√3a.

עכשיו נותר למצוא את האלכסונים D₂ו-D_{3של פריזמה משושה רגילה. כדי לעשות זאת, אתה צריך לראות שהם התחתונים של המשולשים הישרים המתאימים. באמצעות משפט פיתגורס, נקבל:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

לכן, האלכסון הגדול ביותר עבור כל ערכים של a ו-b הואD_2.

שטח פני השטח

כדי להבין מה עומד על כף המאזניים, הדרך הקלה ביותר היא לשקול את פיתוח הפריזמה הזו. זה מוצג בתמונה.

ניתן לראות שכדי לקבוע את השטח של כל הצדדים של הדמות הנבדקת, יש צורך לחשב את שטח המרובע ושטח המשושה בנפרד, ואז להכפיל אותם לפי המספרים השלמים המתאימים השווים למספר של כל n-גון בפריזמה, ומוסיפים את התוצאות. משושים 2, מלבנים 6.

עבור שטח של מלבן נקבל:

S_1=ab.

אז שטח הפנים לרוחב הוא:

S_2=6ab.

כדי לקבוע את שטחו של משושה, הדרך הקלה ביותר היא להשתמש בנוסחה המתאימה, שנראית כך:

S=n/4a2ctg(pi/n).

החלפת המספר n שווה ל-6 בביטוי זה, נקבל את השטח של משושה אחד:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

יש להכפיל את הביטוי הזה בשניים כדי לקבל את שטח הבסיסים של המנסרה:

S_os=3√3a^2.

נותר להוסיף S_os ו-S_{2 כדי לקבל את שטח הפנים הכולל של הדמות:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

נפח פריזמה

אחרי הנוסחה עבורשטח של בסיס משושה, חישוב הנפח הכלול בפריזמה המדוברת קל כמו הפגזת אגסים. כדי לעשות זאת, אתה רק צריך להכפיל את שטח בסיס העצם (משושה) בגובה הדמות, שאורכה שווה לאורכו של קצה הצד. אנו מקבלים את הנוסחה:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

שים לב שהמכפלה של הבסיס והגובה נותן את הערך של נפח של כל פריזמה לחלוטין, כולל זו האלכסונית. עם זאת, במקרה האחרון, חישוב הגובה הוא מסובך, שכן הוא כבר לא יהיה שווה לאורך הצלע הצדדית. באשר למנסרה משושה רגילה, ערך הנפח שלה הוא פונקציה של שני משתנים: הצלעות a ו-b.