מטריצות: שיטת גאוס. חישוב מטריצת גאוס: דוגמאות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

אלגברה לינארית, הנלמדת באוניברסיטאות בהתמחויות שונות, משלבת נושאים מורכבים רבים. חלקם קשורים למטריצות, וכן לפתרון מערכות משוואות ליניאריות בשיטות גאוס וגאוס-ירדן. לא כל התלמידים מצליחים להבין את הנושאים הללו, אלגוריתמים לפתרון בעיות שונות. בואו נבין יחד את המטריצות והשיטות של גאוס וגאוס-ירדן.

מושגים בסיסיים

מטריקס באלגברה לינארית היא מערך מלבני של אלמנטים (טבלה). להלן קבוצות של אלמנטים סגורים בסוגריים. אלו מטריצות. מהדוגמה לעיל, ניתן לראות שהאלמנטים במערכים מלבניים הם לא רק מספרים. המטריצה יכולה להיות מורכבת מפונקציות מתמטיות, סמלים אלגבריים.

כדי להבין כמה מושגים, בואו נעשה מטריצה A מהאלמנטים a_ij. אינדקסים הם לא רק אותיות: i הוא מספר השורה בטבלה, ו-j הוא מספר העמודה, באזור הצומת שבו נמצא האלמנטa_ij. אז, אנו רואים שיש לנו מטריצה של אלמנטים כגון a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ וכן הלאה האות n מציינת את מספר העמודות, והאות m מציינת את מספר השורות. הסמל m × n מציין את מימד המטריצה. זהו המושג שמגדיר את מספר השורות והעמודות במערך מלבני של אלמנטים.

אופציונלי, המטריצה חייבת לכלול מספר עמודות ושורות. עם ממד של 1 × n, מערך האלמנטים הוא חד-שורה, ובמימד של m × 1, זהו מערך של עמודה אחת. כאשר מספר השורות ומספר העמודות שווים, המטריצה נקראת ריבוע. לכל מטריצה מרובעת יש דטרמיננט (det A). מונח זה מתייחס למספר המוקצה למטריצה A.

עוד כמה מושגים חשובים שכדאי לזכור כדי לפתור בהצלחה מטריצות הם האלכסונים הראשיים והמשניים. האלכסון הראשי של מטריצה הוא האלכסון שיורד לפינה הימנית של הטבלה מהפינה השמאלית העליונה. האלכסון הצדדי הולך לפינה הימנית למעלה מהפינה השמאלית מלמטה.

תצוגת מטריצה מדורגת

הסתכל בתמונה למטה. עליו תראה מטריצה ותרשים. בוא נתמודד תחילה עם המטריצה. באלגברה לינארית, מטריצה מסוג זה נקראת מטריצת צעדים. יש לו תכונה אחת: אם a_ij הוא הרכיב הראשון שאינו אפס בשורה ה-i, אז כל שאר הרכיבים מהמטריצה מתחת ומשמאל ל-a_ij , הם אפס (כלומר, כל אותם אלמנטים שניתן לתת להם את האות ציון a_kl, כאשר k>i ו-l<j).

עכשיו שקול את הדיאגרמה. זה משקף את הצורה המדורגת של המטריצה. הסכימה מציגה 3 סוגי תאים. כל סוג מציין אלמנטים מסוימים:

• תאים ריקים - אפס רכיבים של המטריצה;
• תאים מוצללים הם אלמנטים שרירותיים שיכולים להיות גם אפס וגם לא אפס;
• ריבועים שחורים הם אלמנטים שאינם אפס, הנקראים אלמנטים פינתיים, "צעדים" (במטריקס המוצג לידם, אלמנטים כאלה הם המספרים –1, 5, 3, 8).

כשפותרים מטריצות, לפעמים התוצאה היא ש"אורך" הצעד גדול מ-1. זה מותר. רק "גובה" המדרגות קובע. במטריצת צעדים, פרמטר זה חייב להיות תמיד שווה לאחד.

הפחתת מטריקס לטופס הצעד

ניתן להמיר כל מטריצה מלבנית לצורה מדורגת. זה נעשה באמצעות טרנספורמציות יסודיות. הם כוללים:

• סידור מחדש של מחרוזות;
• הוספת שורה נוספת לשורה אחת, במידת הצורך כפול מספר כלשהו (ניתן גם לבצע פעולת חיסור).

בואו נשקול טרנספורמציות יסודיות בפתרון בעיה ספציפית. האיור שלהלן מציג את המטריצה A, אותה יש לצמצם לצורה מדורגת.

כדי לפתור את הבעיה, נפעל לפי האלגוריתם:

• זה נוח לבצע טרנספורמציות על מטריצה עםהאלמנט הראשון בפינה השמאלית העליונה (כלומר, האלמנט "המוביל") הוא 1 או -1. במקרה שלנו, האלמנט הראשון בשורה העליונה הוא 2, אז בואו נחליף את השורה הראשונה והשנייה.
• בואו נבצע פעולות חיסור, המשפיעות על שורות 2, 3 ו-4. אנחנו אמורים לקבל אפסים בעמודה הראשונה מתחת לאלמנט "מוביל". כדי להשיג תוצאה זו: מהאלמנטים של קו מס' 2, אנו מפחיתים ברצף את האלמנטים של קו מס' 1, כפול 2; מהאלמנטים של ישר מס' 3 נחסר ברצף את האלמנטים של שורה מס' 1, כפול 4; מהאלמנטים של שורה מס' 4 נחסר ברצף את האלמנטים של שורה מס' 1.
• לאחר מכן, נעבוד עם מטריצה קטומה (ללא עמודה 1 וללא שורה 1). האלמנט ה"מוביל" החדש, הניצב בהצטלבות העמודה השנייה והשורה השנייה, שווה ל-1. אין צורך לסדר מחדש את השורות, לכן אנו כותבים מחדש את העמודה הראשונה ואת השורה הראשונה והשנייה ללא שינויים. בוא נבצע פעולות חיסור על מנת לקבל אפסים בעמודה השנייה מתחת לאלמנט ה"מוביל": מהאלמנטים של השורה השלישית נחסר ברצף את האלמנטים של השורה השנייה, כפול 3; להחסיר את המרכיבים של השורה השנייה כפול 2 מהאלמנטים של השורה הרביעית.
• נותר לשנות את השורה האחרונה. מהאלמנטים שלו אנו מחסירים ברציפות את האלמנטים של השורה השלישית. לפיכך, קיבלנו מטריצה מדורגת.

הפחתת מטריצות לצורת צעד משמשת בפתרון מערכות של משוואות לינאריות (SLE) בשיטת גאוס. לפני שנסתכל על שיטה זו, בואו נבין כמה מהמונחים הקשורים ל-SLN.

מטריצות ומערכות של משוואות לינאריות

מטריצות משמשות במדעים שונים. באמצעות טבלאות מספרים, ניתן, למשל, לפתור משוואות ליניאריות המשולבות למערכת בשיטת גאוס. ראשית, בואו נכיר כמה מונחים והגדרותיהם, וגם נראה כיצד נוצרת מטריצה ממערכת המשלבת מספר משוואות לינאריות.

SLU – מספר משוואות אלגבריות משולבות עם חזקה ראשונה לא ידועים וללא מונחי מוצר.

פתרון SLE – נמצאו ערכים של לא ידועים, המחליפים אותם המשוואות במערכת הופכות לזהויות.

SLE משותף היא מערכת של משוואות שיש לה לפחות פתרון אחד.

Inconsistent SLE היא מערכת של משוואות שאין לה פתרונות.

איך נוצרת מטריצה המבוססת על מערכת המשלבת משוואות לינאריות? ישנם מושגים כמו המטריצות הראשיות והמורחבות של המערכת. על מנת לקבל את המטריצה הראשית של המערכת, יש צורך לשים בטבלה את כל המקדמים עבור הלא ידועים. המטריצה המורחבת מושגת על ידי הוספת עמודה של מונחים חופשיים למטריצה הראשית (היא כוללת אלמנטים ידועים שאליהם משווים כל משוואה במערכת). אתה יכול להבין את כל התהליך הזה על ידי לימוד התמונה למטה.

הדבר הראשון שאנו רואים בתמונה הוא מערכת הכוללת משוואות ליניאריות. המרכיבים שלו: a_ij – מקדמים מספריים, x_j – ערכים לא ידועים, b_i – איברים קבועים (כאשר i=1, 2, …, m, ו-j=1, 2, …, n). האלמנט השני בתמונה הוא המטריצה העיקרית של מקדמים. מכל משוואה נכתבים המקדמים בשורה. כתוצאה מכך, ישנן שורות רבות במטריצה כמו שיש משוואות במערכת. מספר העמודות שווה למספר המקדמים הגדול ביותר בכל משוואה. האלמנט השלישי בתמונה הוא מטריצה מוגברת עם עמודה של מונחים חופשיים.

מידע כללי על שיטת גאוס

באלגברה לינארית, שיטת גאוס היא הדרך הקלאסית לפתרון SLE. הוא נושא את שמו של קרל פרידריך גאוס, שחי במאות ה-18-19. זהו אחד המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים. המהות של שיטת גאוס היא לבצע טרנספורמציות יסודיות על מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות. בעזרת טרנספורמציות, ה-SLE מצטמצם למערכת מקבילה של צורה משולשת (מדורגת), ממנה ניתן למצוא את כל המשתנים.

ראוי לציין שקרל פרידריך גאוס אינו מגלה השיטה הקלאסית לפתרון מערכת משוואות לינאריות. השיטה הומצאה הרבה קודם. התיאור הראשון שלו נמצא באנציקלופדיית הידע של מתמטיקאים סיניים עתיקים, המכונה "מתמטיקה בתשעה ספרים".

דוגמה לפתרון ה-SLE בשיטת גאוס

בואו נשקול את הפתרון של מערכות בשיטת גאוס על דוגמה ספציפית. אנו נעבוד עם ה-SLU המוצג בתמונה.

אלגוריתם פתרון:

1. אנחנו נצמצם את המערכת לצורת צעד על ידי המהלך הישיר של שיטת גאוס, אבל קודםנרכיב מטריצה מורחבת של מקדמים מספריים ואיברים חופשיים.
2. כדי לפתור את המטריצה בשיטת גאוס (כלומר להביא אותה לצורה מדורגת), מהאלמנטים של השורה השנייה והשלישית, אנו מפחיתים ברצף את האלמנטים של השורה הראשונה. אנו מקבלים אפסים בעמודה הראשונה תחת האלמנט "מוביל". לאחר מכן, נשנה את השורות השניות והשלישיות במקומות מטעמי נוחות. לאלמנטים של השורה האחרונה, הוסף ברצף את הרכיבים של השורה השנייה, כפול 3.
3. כתוצאה לחישוב המטריצה בשיטת גאוס, קיבלנו מערך מדורג של אלמנטים. על סמך זה נרכיב מערכת חדשה של משוואות לינאריות. בדרך ההפוך של שיטת גאוס, אנו מוצאים את ערכי המונחים הלא ידועים. ניתן לראות מהמשוואה הליניארית האחרונה ש-x₃ שווה ל-1. נחליף את הערך הזה בשורה השנייה של המערכת. אתה מקבל את המשוואה x₂ – 4=–4. מכאן נובע ש-x₂ שווה ל-0. החלף את x₂ ו-x₃ במשוואה הראשונה של המערכת: x1 _{+ 0 +3=2. המונח הלא ידוע הוא -1.}

תשובה: באמצעות המטריצה, שיטת גאוס, מצאנו את ערכי הלא ידועים; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

שיטת גאוס-ירדן

באלגברה לינארית יש גם דבר כזה כמו שיטת גאוס-ירדן. זה נחשב לשינוי של שיטת גאוס ומשמש למציאת המטריצה ההפוכה, לחשב מונחים לא ידועים של מערכות ריבועיות של משוואות ליניאריות אלגבריות. שיטת גאוס-ירדן נוחה בכך שהיא מאפשרת לפתור את ה-SLE בשלב אחד (ללא שימוש ישיר והיפוךמהלכים).

בוא נתחיל עם המונח "מטריקס הפוך". נניח שיש לנו מטריצה A. ההופכי עבורה יהיה המטריצה A^-1, בעוד שהתנאי מתקיים בהכרח: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, כלומר המכפלה של מטריצות אלו שווה למטריצת הזהות (מרכיבי האלכסון הראשי של מטריצת הזהות הם אחדים, והרכיבים הנותרים הם אפס).}

ניואנס חשוב: באלגברה לינארית ישנו משפט על קיומה של מטריצה הפוכה. תנאי מספיק והכרחי לקיומה של המטריצה A^-1 הוא שמטריצה A אינה יחידה.

צעדים בסיסיים שעליהם מבוססת שיטת גאוס-ירדן:

1. הסתכל על השורה הראשונה של מטריצה מסוימת. ניתן להתחיל את שיטת גאוס-ירדן אם הערך הראשון אינו שווה לאפס. אם המקום הראשון הוא 0, אז החליפו את השורות כך שלאלמנט הראשון יהיה ערך שאינו אפס (רצוי שהמספר יהיה קרוב יותר לאחד).
2. חלק את כל הרכיבים בשורה הראשונה במספר הראשון. תסיים עם מחרוזת שמתחילה באחד.
3. מהשורה השנייה, החסר את השורה הראשונה כפול האלמנט הראשון של השורה השנייה, כלומר בסוף תקבל קו שמתחיל מאפס. עשה את אותו הדבר עבור שאר השורות. חלקו כל שורה ביסוד הראשון שאינו אפס כדי לקבל 1 באלכסון.
4. כתוצאה מכך, תקבל את המטריצה המשולשת העליונה בשיטת גאוס - ג'ורדן. בו, האלכסון הראשי מיוצג על ידי יחידות. הפינה התחתונה מלאה באפסים, ופינה עליונה - ערכים שונים.
5. מהשורה הלפני אחרונה, הורידו את השורה האחרונה כפול המקדם הנדרש. אתה אמור לקבל מחרוזת עם אפסים ואחד. בשאר השורות, חזור על אותה פעולה. לאחר כל התמורות, תתקבל מטריצת הזהות.

דוגמה למציאת המטריצה ההפוכה בשיטת גאוס-ירדן

כדי לחשב את המטריצה ההפוכה, עליך לכתוב את המטריצה המוגדלת A|E ולבצע את ההמרות הנדרשות. הבה נבחן דוגמה פשוטה. האיור שלהלן מציג את המטריצה A.

פתרון:

1. ראשית, בוא נמצא את הקובע המטריצה בשיטת גאוס (det A). אם פרמטר זה אינו שווה לאפס, המטריצה תיחשב ללא יחיד. זה יאפשר לנו להסיק של-A בהחלט יש A^-1. כדי לחשב את הקובע, אנו הופכים את המטריצה לצורה שלבים על ידי טרנספורמציות יסודיות. נספור את המספר K שווה למספר תמורות השורה. שינינו את השורות רק פעם אחת. בוא נחשב את הקובע. ערכו יהיה שווה למכפלת מרכיבי האלכסון הראשי, כפול (–1)^K. תוצאת חישוב: det A=2.
2. חבר את המטריצה המוגדלת על ידי הוספת מטריצת הזהות למטריצה המקורית. מערך האלמנטים המתקבל ישמש למציאת המטריצה ההפוכה בשיטת גאוס-ירדן.
3. הרכיב הראשון בשורה הראשונה שווה לאחד. זה מתאים לנו, כי אין צורך לסדר מחדש את השורות ולחלק את השורה הנתונה במספר כלשהו. בואו נתחיל לעבודעם השורה השנייה והשלישית. כדי להפוך את האלמנט הראשון בשורה השנייה ל-0, החסר את השורה הראשונה כפול 3 מהשורה השנייה. החסר את השורה הראשונה מהשורה השלישית (אין צורך בכפל).
4. במטריקס המתקבל, האלמנט השני בשורה השנייה הוא -4, והאלמנט השני בשורה השלישית הוא -1. בואו נחליף את השורות לנוחיותכם. מהשורה השלישית מחסירים את השורה השנייה כפול 4. מחלקים את השורה השנייה ב-1 ואת השורה השלישית ב-2. נקבל את המטריצה המשולשת העליונה.
5. בוא נחסר את השורה האחרונה כפול 4 מהשורה השנייה, ואת השורה האחרונה כפול 5 מהשורה הראשונה. לאחר מכן, נחסר את השורה השנייה כפול 2 מהשורה הראשונה. בצד שמאל קיבלנו מטריצת הזהות. מימין נמצאת המטריצה ההפוכה.

דוגמה לפתרון SLE בשיטת גאוס-ירדן

האיור מציג מערכת של משוואות לינאריות. נדרש למצוא ערכים של משתנים לא ידועים באמצעות מטריצה, שיטת גאוס-ירדן.

פתרון:

1. בואו ניצור מטריצה מוגברת. לשם כך, נשים את המקדמים והמונחים החופשיים בטבלה.
2. פתרו את המטריצה בשיטת גאוס-ירדן. משורה מס' 2 נחסר את שורה מס' 1. משורה מס' 3 נחסר את שורה מס' 1, המוכפל קודם לכן ב-2.
3. החלף שורות 2 ו-3.
4. משורה 3 הפחיתו שורה 2 כפול 2. חלקו את השורה השלישית שנוצרה ב-1.
5. הפחת שורה 3 משורה 2.
6. הפחת שורה מס' 1 משורה מס' 12 פעמים -1. בצד, קיבלנו עמודה המורכבת מהמספרים 0, 1 ו-1. מכאן אנו מסיקים ש-x₁=0, x₂=1 ו-x₃ =–1.

אם תרצה, תוכל לבדוק את נכונות הפתרון על ידי החלפת הערכים המחושבים במשוואות:

• 0 – 1=–1, הזהות הראשונה מהמערכת נכונה;
• 0 + 1 + (–1)=0, הזהות השנייה מהמערכת נכונה;
• 0 – 1 + (–1)=–2, הזהות השלישית מהמערכת נכונה.

מסקנה: בשיטת גאוס-ירדן, מצאנו את הפתרון הנכון למערכת ריבועית המשלבת משוואות אלגבריות ליניאריות.

מחשבונים מקוונים

חיי הנוער של ימינו הלומדים באוניברסיטאות ולומדים אלגברה ליניארית פשטו מאוד. לפני מספר שנים נאלצנו למצוא לבד פתרונות למערכות בשיטת גאוס וגאוס-ירדן. חלק מהתלמידים התמודדו בהצלחה עם המשימות, בעוד שאחרים התבלבלו בפתרון, עשו טעויות, ביקשו עזרה מחברים לכיתה. כיום, אתה יכול להשתמש במחשבונים מקוונים בעת הכנת שיעורי בית. כדי לפתור מערכות של משוואות לינאריות, חפשו מטריצות הפוכות, נכתבו תוכניות המדגימות לא רק את התשובות הנכונות, אלא גם מציגות את ההתקדמות של פתרון בעיה מסוימת.

יש הרבה משאבים באינטרנט עם מחשבונים מקוונים מובנים. מטריצות גאוסיות, מערכות משוואות נפתרות על ידי תוכניות אלו תוך מספר שניות. התלמידים צריכים רק לציין את הפרמטרים הנדרשים (לדוגמה, מספר המשוואות,מספר משתנים).