איך למצוא את המכפלה של מטריצות. כפל מטריצה. תוצר סקלרי של מטריצות. תוצר של שלוש מטריצות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

ניתן להשתמש במטריצות (טבלאות עם אלמנטים מספריים) לחישובים שונים. חלקם הם הכפלה במספר, וקטור, מטריצה אחרת, מספר מטריצות. המוצר לפעמים שגוי. תוצאה שגויה היא תוצאה של אי ידיעה של הכללים לביצוע פעולות חישוביות. בואו להבין איך עושים כפל.

מטריקס ומספר

בוא נתחיל בדבר הפשוט ביותר - הכפלת טבלה עם מספרים בערך ספציפי. לדוגמה, יש לנו מטריצה A עם האלמנטים a_ij (i הם מספרי השורות ו-j הם מספרי העמודות) והמספר e. המכפלה של המטריצה במספר e תהיה המטריצה B עם האלמנטים b_ij, שנמצאים לפי הנוסחה:

b_ij=e × a_ij.

T. ה. כדי לקבל את האלמנט b₁₁, עליך לקחת את האלמנט a₁₁ ולהכפיל אותו במספר הרצוי, כדי לקבל b₁₂ נדרש למצוא את המכפלה של האלמנט a₁₂ ואת המספר e וכו'.

בואו נפתור את הבעיה מספר 1 המוצגת בתמונה. כדי לקבל מטריצה B, פשוט הכפל את האלמנטים מ-A ב-3:

1. a₁₁ × 3=18. נכתוב ערך זה לתוך מטריצה B במקום שבו עמודה מס' 1 ושורה מס' 1 מצטלבות.
2. a₂₁ × 3=15. קיבלנו את הרכיב b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. קיבלנו את הרכיב b₁₂. נכתוב אותו למטריצה B במקום שבו עמודה 2 ושורה 1 מצטלבות.
4. a₂₂ × 3=9. תוצאה זו היא רכיב b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. הזן את המספר הזה לתוך המטריצה במקום האלמנט b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. המספר האחרון שהתקבל הוא רכיב b₂₃.

לכן, קיבלנו מערך מלבני עם אלמנטים מספריים.

18	–6	12
15	9	–3

וקטורים והתנאי לקיומו של מכפלה של מטריצות

במקצועות מתמטיים, יש דבר כזה "וקטור". מונח זה מתייחס למערכת מסודרת של ערכים מ-a₁ ל- . הן נקראות קואורדינטות מרחב וקטורי ונכתבות כעמודה. יש גם את המונח "וקטור שעבר טרנספוזיציה". מרכיביו מסודרים כמחרוזת.

ניתן לקרוא לוקטורים מטריצות:

• column vector הוא מטריצה הבנויה מעמודה אחת;
• וקטור שורה הוא מטריצה הכוללת שורה אחת בלבד.

כשתסייםעל פני מטריצות של פעולות כפל, חשוב לזכור שיש תנאי לקיומו של מכפלה. הפעולה החישובית A × B יכולה להתבצע רק כאשר מספר העמודות בטבלה A שווה למספר השורות בטבלה B. המטריצה המתקבלת הנובעת מהחישוב כוללת תמיד את מספר השורות בטבלה A ומספר העמודות בטבלה B.

בעת הכפלה, לא מומלץ לסדר מחדש מטריצות (מכפילים). המכפלה שלהם בדרך כלל לא תואמת את חוק הכפל הקומוטטיבי (העקירה), כלומר התוצאה של הפעולה A × B אינה שווה לתוצאה של הפעולה B × A. תכונה זו נקראת אי-קומוטטיביות של המכפלה של מטריצות. במקרים מסוימים, תוצאת הכפל A × B שווה לתוצאה של הכפל B × A, כלומר, המכפלה היא קומוטטיבית. מטריצות שעבורן מתקיים השוויון A × B=B × A נקראות מטריצות תמורה. ראה דוגמאות לטבלאות כאלה להלן.

כפל באמצעות וקטור עמודה

כאשר מכפילים מטריצה בווקטור עמודה, עלינו לקחת בחשבון את התנאי לקיום המכפלה. מספר העמודות (n) בטבלה חייב להתאים למספר הקואורדינטות המרכיבות את הווקטור. תוצאת החישוב היא הווקטור שעבר טרנספורמציה. מספר הקואורדינטות שלו שווה למספר הקווים (מ') מהטבלה.

איך מחושבות הקואורדינטות של הווקטור y אם יש מטריצה A ו-X? לחישובים שנוצרו נוסחאות:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

כאשר x₁, …, x הן קואורדינטות מווקטור x, m הוא מספר השורות במטריצה והמספר של הקואורדינטות בווקטור ה-y החדש, n הוא מספר העמודות במטריצה ומספר הקואורדינטות בווקטור x, a₁₁, a_{12, …, a}mn– רכיבים של מטריצה A.

לפיכך, כדי לקבל את הרכיב ה-i של הווקטור החדש, מבוצע המוצר הסקלרי. וקטור השורה ה-i נלקח מהמטריצה A, והוא מוכפל בווקטור הזמין x.

בוא נפתור בעיה מס' 2. אתה יכול למצוא את המכפלה של מטריצה ווקטור כי ל-A יש 3 עמודות ו-x מורכב מ-3 קואורדינטות. כתוצאה מכך, עלינו לקבל וקטור עמודה עם 4 קואורדינטות. בואו נשתמש בנוסחאות שלמעלה:

1. חשב את y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). הערך הסופי הוא 2.
2. חשב את y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). בעת החישוב, נקבל 0.
3. חשב את y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). סכום התוצרים של הגורמים המצוינים הוא 6.
4. חשב את y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). הקואורדינטה היא -8.

כפל וקטור-מטריצה בשורה

לא ניתן להכפיל מטריצה עם עמודות מרובות בוקטור שורה. במקרים כאלה לא מתקיים התנאי לקיומה של העבודה. אבל הכפלה של וקטור שורה במטריצה אפשרית. זֶהפעולת החישוב מתבצעת כאשר מספר הקואורדינטות בווקטור ומספר השורות בטבלה תואמים. התוצאה של המכפלה של וקטור ומטריצה היא וקטור שורה חדשה. מספר הקואורדינטות שלו חייב להיות שווה למספר העמודות במטריצה.

חישוב הקואורדינטה הראשונה של וקטור חדש כרוך בהכפלת וקטור השורה ווקטור העמודה הראשונה מהטבלה. הקואורדינטה השנייה מחושבת באופן דומה, אך במקום וקטור העמודה הראשונה נלקח וקטור העמודה השנייה. הנה הנוסחה הכללית לחישוב קואורדינטות:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, כאשר y_k היא קואורדינטה מווקטור y, (k הוא בין 1 ל-n), m הוא מספר השורות במטריצה ומספר הקואורדינטות בוקטור x, n הוא מספר העמודות במטריצה ומספר הקואורדינטות בוקטור y, a עם אינדקסים אלפאנומריים הם המרכיבים של המטריצה A.

מוצר של מטריצות מלבניות

החישוב הזה עשוי להיראות מסובך. עם זאת, הכפל נעשה בקלות. נתחיל בהגדרה. המכפלה של מטריצה A עם m שורות ו-n עמודות ומטריצה B עם n שורות ועמודות p היא מטריצה C עם m שורות ו-p עמודות, שבה האלמנט c_ij הוא סכום המכפלה של האלמנטים i- שורה מטבלה A ו-j-עמודה מטבלה B. במונחים פשוטים יותר, האלמנט c_ij הוא המכפלה הסקלרית של השורה ה-i- וקטור מטבלה A והוקטור ה-j של העמודה מטבלה B.

עכשיו בואו נבין בפועל איך למצוא את המכפלה של מטריצות מלבניות. נפתור בשביל זה בעיה מס' 3. מתקיים התנאי לקיומו של מוצר. בואו נתחיל לחשב את האלמנטים c_ij:

1. למטריקס C יהיו 2 שורות ו-3 עמודות.
2. חשב רכיב c₁₁. לשם כך, נבצע את המכפלה הסקלרית של שורה מס' 1 ממטריצה A ועמודה מס' 1 ממטריצה B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. לאחר מכן אנו ממשיכים בצורה דומה, משנים רק שורות, עמודות (בהתאם לאינדקס האלמנטים).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

האלמנטים מחושבים. כעת נותר רק ליצור בלוק מלבני של המספרים שהתקבלו.

16	12	9
31	18	36

כפל של שלוש מטריצות: החלק התיאורטי

האם אתה יכול למצוא את המכפלה של שלוש מטריצות? פעולה חישובית זו ניתנת לביצוע. את התוצאה ניתן להשיג בכמה דרכים. לדוגמה, יש 3 טבלאות מרובעות (באותו סדר) - A, B ו-C. כדי לחשב את המוצר, ניתן:

1. תחילה תכפיל את A ו-B. לאחר מכן הכפל את התוצאה ב-C.
2. תחילה מצא את המכפלה של B ו-C. לאחר מכן הכפל את המטריצה A בתוצאה.

אם אתה צריך להכפיל מטריצות מלבניות, תחילה עליך לוודא שהפעולה החישובית הזו אפשרית. צריךקיימים מוצרים A × B ו-B × C.

כפל מצטבר אינו טעות. יש דבר כזה "אסוציאטיביות של כפל מטריצה". מונח זה מתייחס לשוויון (A × B) × C=A × (B × C).

תרגול כפל שלוש מטריצות

מטריצות מרובעות

התחל בהכפלת מטריצות מרובעות קטנות. האיור שלהלן מציג את הבעיה מספר 4, שעלינו לפתור.

נשתמש במאפיין האסוציאטיביות. ראשית נכפיל או A ו-B, או B ו-C. אנו זוכרים רק דבר אחד: אי אפשר להחליף גורמים, כלומר, אי אפשר להכפיל B × A או C × B. עם הכפל הזה, נקבל תוצאה שגויה.

התקדמות ההחלטה.

שלב ראשון. כדי למצוא את המכפלה המשותפת, נכפיל תחילה את A ב-B. כאשר מכפילים שתי מטריצות, ננחה אותנו לפי הכללים שפורטו לעיל. לכן, התוצאה של הכפלת A ו-B תהיה מטריצה D עם 2 שורות ו-2 עמודות, כלומר מערך מלבני יכלול 4 אלמנטים. בוא נמצא אותם על ידי ביצוע החישוב:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

תוצאת ביניים מוכנה.

30	10
15	16

שלב שני. כעת נכפיל את מטריצה D במטריצה C. התוצאה צריכה להיות מטריצה מרובעת G עם 2 שורות ו-2 עמודות. חשב רכיבים:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

לכן, התוצאה של המכפלה של מטריצות מרובעות היא טבלה G עם אלמנטים מחושבים.

250	180
136	123

מטריצות מלבניות

האיור למטה מציג בעיה מספר 5. יש צורך להכפיל מטריצות מלבניות ולמצוא פתרון.

בואו נבדוק האם מתקיים התנאי לקיומם של מוצרים A × B ו-B × C. סדרי המטריצות המצוינות מאפשרות לנו לבצע כפל. בואו נתחיל לפתור את הבעיה.

התקדמות ההחלטה.

שלב ראשון. הכפל B ב-C כדי לקבל D. למטריצה B יש 3 שורות ו-4 עמודות, ולמטריקס C יש 4 שורות ו-2 עמודות. זה אומר שנקבל מטריצה D עם 3 שורות ו-2 עמודות. בואו לחשב את האלמנטים. להלן 2 דוגמאות חישוב:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

אנחנו ממשיכים לפתור את הבעיה. כתוצאה מחישובים נוספים, אנו מוצאים את הערכים d₂₁, d₂ 2, d₃₁ ו-d₃₂. אלמנטים אלה הם 0, 19, 1 ו-11 בהתאמה. בוא נכתוב את הערכים שנמצאו במערך מלבני.

0	7
0	19
1	11

שלב שני. הכפל את A ב-D כדי לקבל את המטריצה הסופית F. יהיו לה 2 שורות ו-2 עמודות. חשב רכיבים:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

חבר מערך מלבני, שהוא התוצאה הסופית של הכפלת שלוש מטריצות.

1	139
3	52

מבוא לעבודה ישירה

חומר די קשה להבנה הוא תוצר הקרונקר של מטריצות. יש לזה גם שם נוסף - יצירה ישירה. מה הכוונה במונח הזה? נניח שיש לנו טבלה A בסדר m × n וטבלה B בסדר p × q. המכפלה הישיר של מטריצה A ומטריצה B היא מטריצה בסדר mp × nq.

יש לנו 2 מטריצות מרובעות A,B, שמוצגות בתמונה. לראשון יש 2 עמודות ו-2 שורות, ולשני יש 3 עמודות ו-3 שורות. אנו רואים שהמטריקס הנובע מהמכפלה הישיר מורכבת מ-6 שורות ומאותו מספר עמודות בדיוק.

איך מחושבים רכיבים של מטריצה חדשה במוצר ישיר? קל מאוד למצוא את התשובה לשאלה זו אם מנתחים את התמונה. תחילה מלא את השורה הראשונה. קח את האלמנט הראשון מהשורה העליונה של טבלה א' והכפיל ברצף באלמנטים של השורה הראשונהמטבלה B. לאחר מכן, קח את האלמנט השני בשורה הראשונה של טבלה A והכפיל ברצף ברכיבים של השורה הראשונה של טבלה B. כדי למלא את השורה השנייה, קח שוב את האלמנט הראשון מהשורה הראשונה של טבלה A ו הכפל אותו ביסודות השורה השנייה בטבלה B.

המטריצה הסופית המתקבלת על ידי תוצר ישיר נקראת מטריצת בלוק. אם ננתח שוב את הדמות, נוכל לראות שהתוצאה שלנו מורכבת מ-4 בלוקים. כולם כוללים אלמנטים של מטריצה B. בנוסף, רכיב של כל בלוק מוכפל ברכיב ספציפי של מטריצה A. בבלוק הראשון, כל האלמנטים מוכפלים ב-₁₁, ב- שני - על ידי a_{12, בשלישי - על a}21_{, ברביעי - על a}22.

מוצר קובע

כאשר בוחנים את הנושא של כפל מטריצה, כדאי לשקול מונח כזה כמו "הקובע של מכפלת המטריצות". מהו גורם קובע? זהו מאפיין חשוב של מטריצה מרובעת, ערך מסוים שמוקצה למטריצה זו. הכינוי המילולי של הקובע הוא det.

עבור מטריצה A המורכבת משתי עמודות ושתי שורות, קל למצוא את הקובע. יש נוסחה קטנה שהיא ההבדל בין התוצרים של אלמנטים ספציפיים:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

בואו נשקול דוגמה לחישוב הקובע לטבלה מסדר שני. יש מטריצה A שבה a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 ו-a22_{=1. כדי לחשב את הקובע, השתמש בנוסחה:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

עבור 3 × 3 מטריצות, הקובע מחושב באמצעות נוסחה מורכבת יותר. הוא מוצג להלן עבור מטריצה A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

כדי לזכור את הנוסחה, הגענו לכלל המשולש, המודגם בתמונה. ראשית, מרכיבי האלכסון הראשי מוכפלים. התוצרים של אותם אלמנטים המצוינים בזוויות של משולשים עם צלעות אדומות מתווספים לערך המתקבל. לאחר מכן, מכפלת האלמנטים של האלכסון המשני מופחתת ומופחתת המכפלה של אותם יסודות המצוינים בפינות של משולשים עם צלעות כחולות.

עכשיו בואו נדבר על הקובע של מכפלת המטריצות. ישנו משפט שאומר שהאינדיקטור הזה שווה למכפלת הקובעים של טבלאות המכפילים. בואו נוודא זאת באמצעות דוגמה. יש לנו מטריצה A עם הערכים a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 ו-a22_{=1 ומטריצה B עם ערכים b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 ו-b}22_{=2. מצא את הקובעים עבור המטריצות A ו-B, המכפלה A × B והדטרמיננטה של מכפלה זה.}

התקדמות ההחלטה.

שלב ראשון. חשב את הקובע עבור A: det A=2 × 1 - 3 × 1=-1. לאחר מכן, חשב את הקובע עבור B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

שלב שני. בוא נמצאמוצר A × B. סמן את המטריצה החדשה באות C. חשב את המרכיבים שלה:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

שלב שלישי. חשב את הקובע עבור C: det C=11 × 7 - 16 × 5=-3. השווה עם הערך שניתן לקבל על ידי הכפלת הקובעים של המטריצות המקוריות. המספרים זהים. המשפט שלמעלה נכון.

דירוג המוצר

הדרגה של מטריצה היא מאפיין המשקף את המספר המרבי של שורות או עמודות עצמאיות באופן ליניארי. כדי לחשב את הדרגה, מבוצעות טרנספורמציות יסודיות של המטריצה:

• סידור מחדש של שתי שורות מקבילות;
• הכפלת כל הרכיבים של שורה מסוימת מהטבלה במספר שאינו אפס;
• הוספת לרכיבים של שורה אחת של אלמנטים משורה אחרת, כפול מספר מסוים.

לאחר טרנספורמציות יסודיות, הסתכלו על מספר המחרוזות שאינן מאפס. מספרם הוא דרגת המטריצה. שקול את הדוגמה הקודמת. הוא הציג 2 מטריצות: A עם הרכיבים a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 ו a₂₂ =1 ו-B עם הרכיבים b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 ו-b}22_{=2. נשתמש גם במטריצה C המתקבלת כתוצאה מכפל. אם נבצע טרנספורמציות יסודיות, אז לא יהיו אפס שורות במטריצות הפשוטות. זה אומר שגם הדרגה של טבלה א', וגם הדרגה של טבלה ב', וגם הדרגהטבלה C היא 2.}

עכשיו בואו נשים לב במיוחד לדרגת המכפלה של מטריצות. ישנו משפט שאומר שדרגת מכפלה של טבלאות המכילות אלמנטים מספריים אינה עולה על הדרגה של אף אחד מהגורמים. ניתן להוכיח זאת. תן ל-A להיות מטריצה k × s ו-B להיות מטריצה s × m. המכפלה של A ו-B שווה ל-C.

בואו נלמד את התמונה למעלה. הוא מראה את העמודה הראשונה של מטריצה C והסימונים הפשוטים שלה. עמודה זו היא שילוב ליניארי של העמודות הנכללות במטריצה A. באופן דומה, ניתן לומר על כל עמודה אחרת מהמערך המלבני C. לפיכך, תת המרחב שנוצר על ידי וקטורי העמודות של טבלה C נמצא בתת המרחב שנוצר על ידי ה- וקטורי עמודות של טבלה A. לפיכך, הממד של תת-מרחב מס' 1 אינו עולה על הממד של תת-מרחב מס' 2. זה מרמז שהדירוג בעמודות של טבלה C אינו עולה על הדרגה בעמודות של טבלה A, כלומר, r(C) ≦ r(A). אם נתווכח בצורה דומה, אז נוכל לוודא שהשורות של מטריצה C הן צירופים ליניאריים של שורות המטריצה B. זה מרמז על אי השוויון r(C) ≦ r(B).

איך למצוא את המכפלה של מטריצות הוא נושא מסובך למדי. ניתן לשלוט בו בקלות, אבל כדי להשיג תוצאה כזו, תצטרך להשקיע זמן רב בשינון כל הכללים והמשפטים הקיימים.