קורס הגיאומטריה של בית הספר מחולק לשני חלקים גדולים: פלנימטריה וגיאומטריה מוצקה. סטריאומטריה חוקרת דמויות מרחביות ומאפייניהן. במאמר זה, נבחן מהי פריזמה ישרה וניתן נוסחאות המתארות את תכונותיה כגון אורכים אלכסוניים, נפח ושטח פנים.
מהי פריזמה?
כאשר תלמידי בית ספר מתבקשים לנקוב בהגדרה של פריזמה, הם עונים שהנתון הזה הוא שני מצולעים מקבילים זהים, שצלעותיהם מחוברות באמצעות מקביליות. הגדרה זו כללית ככל האפשר, שכן היא אינה מציבה תנאים לצורתם של מצולעים, לסידורם ההדדי במישורים מקבילים. בנוסף, היא מרמזת על נוכחות של מקביליות מקשרות, שהמעמד שלהן כולל גם ריבוע, מעוין ומלבן. למטה תוכלו לראות מהי פריזמה מרובעת.
אנו רואים שמנסרה היא פולידרון (פוליהדרון) המורכב מ-n + 2צלעות, 2 × n קודקודים ו-3 × n קצוות, כאשר n הוא מספר הצלעות (קודקודים) של אחד המצולעים.
שני המצלעים נקראים בדרך כלל בסיסי הדמות, שאר הפנים הם הצדדים של המנסרה.
המושג של פריזמה ישרה
יש סוגים שונים של פריזמות. אז, הם מדברים על דמויות רגילות ולא סדירות, על מנסרות משולשות, מחומשות ואחרות, יש דמויות קמורות וקעורות, ולבסוף, הן נוטות וישרות. בואו נדבר על האחרון ביתר פירוט.
פריזמה ישרה היא דמות כזו של הכיתה הנלמדת של פולי-הדרות, שלכל מרובע הצדדיים יש זוויות ישרות. ישנם רק שני סוגים של מרובעים כאלה - מלבן וריבוע.
לצורה הנחשבת של הדמות יש תכונה חשובה: גובהה של פריזמה ישרה שווה לאורך הקצה הרוחבי שלה. שימו לב שכל הקצוות הצדדיים של הדמות שווים זה לזה. לגבי פני הצד, במקרה הכללי הם אינם שווים זה לזה. השוויון שלהם אפשרי אם בנוסף לעובדה שהפריזמה ישרה, היא גם תהיה נכונה.
האיור למטה מציג דמות ישרה עם בסיס מחומש. ניתן לראות שכל פני הצד שלו הם מלבנים.
אלכסוני הפריזמה והפרמטרים הליניאריים שלה
המאפיינים הליניאריים העיקריים של כל פריזמה הם הגובה h שלה ואורכי צלעות הבסיס שלה ai, כאשר i=1, …, n. אם הבסיס הוא מצולע רגיל, אז מספיק לדעת את אורך a של צד אחד כדי לתאר את תכונותיו. הכרת הפרמטרים הליניאריים המסומנים מאפשרת לנו באופן חד משמעיהגדירו מאפיינים כאלה של דמות כנפח או פני השטח שלה.
האלכסונים של פריזמה ישרה הם קטעים המחברים כל שני קודקודים לא סמוכים. אלכסונים כאלה יכולים להיות משלושה סוגים:
- שוכב במטוסי הבסיס;
- ממוקם במישורים של מלבני הצד;
- דמויות השייכות לכרך.
יש לקבוע את האורכים של אותם אלכסונים הקשורים לבסיס בהתאם לסוג ה-n-gon.
אלכסונים של מלבני צד מחושבים באמצעות הנוסחה הבאה:
d1i=√(ai2+ h2).
כדי לקבוע אלכסוני נפח, עליך לדעת את הערך של אורך אלכסון הבסיס והגובה המתאימים. אם אלכסון כלשהו של הבסיס מסומן באות d0i, אז אלכסון הנפח d2i מחושב באופן הבא:
d2i=√(d0i2+ h2).
לדוגמה, במקרה של פריזמה מרובעת רגילה, אורך אלכסון הנפח יהיה:
d2=√(2 × a2+ h2).
שים לב שלפריזמה משולשת ישרה יש רק אחד משלושת סוגי האלכסונים הנקראים: אלכסון הצד.
משטח הכיתה הנלמדת של צורות
שטח פני השטח הוא סכום השטחים של כל הפנים של דמות. כדי לדמיין את כל הפנים, עליך לבצע סריקה של המנסרה. כדוגמה, סוויפ כזה עבור דמות מחומשת מוצג להלן.
אנו רואים שמספר דמויות המישור הוא n + 2, ו-n הם מלבנים. כדי לחשב את השטח של כל הסוויפ, הוסף את השטחים של שני בסיסים זהים ואת השטחים של כל המלבנים. אז הנוסחה המתאימה תיראה כך:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
שוויון זה מראה ששטח הפנים לרוחב עבור סוג המנסרות הנחקר שווה למכפלת גובה הדמות והיקף הבסיס שלה.
ניתן לחשב את שטח הבסיס של So על ידי יישום הנוסחה הגיאומטרית המתאימה. לדוגמה, אם הבסיס של פריזמה ישרה הוא משולש ישר זווית, נקבל:
So=a1 × a2 / 2.
היכן ש1 ו2 הן רגלי המשולש.
אם הבסיס הוא n-גון עם זוויות וצלעות שוות, אז הנוסחה הבאה תהיה הוגנת:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Formula Volume
קביעת נפח של פריזמה מכל סוג היא לא משימה קשה אם שטח הבסיס שלה So וגובה h ידועים. מכפלת ערכים אלה יחד, נקבל את נפח V של הדמות, כלומר:
V=So × h.
מכיוון שהפרמטר h של פריזמה ישרה שווה לאורך הקצה הרוחבי, כל הבעיה של חישוב הנפח מסתכמת בחישוב השטח So. מעלינוכבר אמרו כמה מילים ונתנו כמה נוסחאות כדי לקבוע So. כאן נציין רק שבמקרה של בסיס שרירותי, יש לחלק אותו למקטעים פשוטים (משולשים, מלבנים), לחשב את השטח של כל אחד ואז להוסיף את כל השטחים כדי לקבל S o.
