כדי להקל על הקורא לדמיין מהו היפרבולואיד - עצם תלת מימדי - תחילה עליך לשקול את ההיפרבולה המעוקלת באותו השם, אשר מתאימה למרחב דו-ממדי.
להיפרבולה יש שני צירים: האמיתי, שבאיור זה חופף לציר האבססיס, והדמיוני, עם ציר ה-y. אם אתה מתחיל מנטלית להפוך את המשוואה של היפרבולה סביב הציר הדמיוני שלה, אז המשטח "שנראה" על ידי העקומה יהיה היפרבולואיד בעל גיליון אחד.
עם זאת,
אם נתחיל לסובב את ההיפרבולה סביב הציר האמיתי שלה בדרך זו, אז כל אחד משני ה"חציים" של העקומה יהוו משטח נפרד משלו, ויחד הוא ייקרא שני- היפרבולואיד עם גיליון.
שהושגו על ידי סיבוב עקומת המישור המתאימה, הם נקראים בהתאמה היפרבולואידים של סיבוב. יש להם פרמטרים בכל הכיוונים המאונכים לציר הסיבוב,השייך לעקומה המסובבת. באופן כללי, זה לא המקרה.
משוואה היפרבולואידית
באופן כללי, ניתן להגדיר משטח באמצעות המשוואות הבאות בקואורדינטות קרטזיות(x, y, z):
במקרה של היפרבולואיד של מהפכה, הסימטריה שלו על הציר שסביבו הוא הסתובב מתבטאת בשוויון המקדמים a=b.
מאפיינים היפרבולואידים
יש לו טריק. אנו יודעים שלעקומות במישור יש מוקדים - במקרה של היפרבולה, למשל, המודול של הפרש המרחקים מנקודה שרירותית על היפרבולה למוקד אחד והשני קבוע בהגדרה, למעשה, של מוקד. נקודות.
כאשר עוברים למרחב תלת-ממדי, ההגדרה למעשה לא משתנה: מוקדים הם שוב שתי נקודות, וההבדל במרחקים מהם לנקודה שרירותית השייכת למשטח ההיפרבולואיד הוא קבוע. כפי שאתה יכול לראות, רק הקואורדינטה השלישית הופיעה מהשינויים עבור כל הנקודות האפשריות, כי כעת הן מוגדרות במרחב. באופן כללי, הגדרת מוקד שווה ערך לזיהוי סוג העקומה או המשטח: על ידי דיבור על איך נקודות המשטח ממוקמות ביחס למוקדים, אנחנו בעצם עונים על השאלה מהו היפרבולואיד ואיך הוא נראה.
כדאי לזכור שלהיפרבולה יש אסימפטוטות - קווים ישרים, שאליהם נוטים הענפים שלה לאינסוף. אם כשבונים היפרבולואיד של מהפכה, מסובבים מנטלית את האסימפטוטים יחד עם ההיפרבולה, אז בנוסף להיפרבולואיד, תקבל גם חרוט שנקרא אסימפטוטי. החרוט האסימפטוטי הואעבור היפרבולואידים בעלי גיליון אחד ושני גיליונות.
מאפיין חשוב נוסף שיש רק להיפרבולואיד בעל גיליון אחד הוא מחוללים ישרים. כפי שהשם מרמז, אלו הם קווים, והם מונחים לחלוטין על משטח נתון. שני גנרטורים ישרים עוברים דרך כל נקודה של היפרבולואיד בעל גיליון אחד. הם שייכים בהתאמה לשתי משפחות של קווים, המתוארות במערכות המשוואות הבאות:
לפיכך, היפרבולואיד בעל גיליון אחד יכול להיות מורכב כולו ממספר אינסופי של קווים ישרים של שתי משפחות, וכל קו של אחת מהן יצטלב עם כל הקווים של השנייה. משטחים התואמים למאפיינים כאלה נקראים שולטים; ניתן לבנות אותם באמצעות סיבוב של קו ישר אחד. הגדרה באמצעות סידור הדדי של קווים (מחוללים ישרים) במרחב יכולה לשמש גם כינוי חד משמעי של מהו היפרבולואיד.
מאפיינים מעניינים של היפרבולואיד
עקומות מסדר שני ומשטחי המהפכה התואמים להן, לכל אחת מהן תכונות אופטיות מעניינות הקשורות למוקדים. במקרה של היפרבולואיד, זה מנוסח באופן הבא: אם קרן נורה ממוקד אחד, אז לאחר השתקפות מ"הקיר" הקרוב, היא תיקח כיוון כאילו הגיעה מהמוקד השני.
היפרבולואידים בחיים
ככל הנראה, רוב הקוראים החלו את ההיכרות שלהם עם גיאומטריה אנליטית ומשטחים מסדר שני מרומן מדע בדיוני מאת אלכסיי טולסטוי"מהנדס היפרבולואידים גארין". עם זאת, הכותב עצמו לא ידע היטב מהו היפרבולואיד, או שהקריב דיוק למען האומנות: ההמצאה המתוארת, מבחינת מאפיינים פיזיקליים, היא דווקא פרבולואיד שאוסף את כל הקרניים במוקד אחד (בעוד שה תכונות אופטיות של ההיפרבולואיד קשורות לפיזור של קרניים).
המבנים הנקראים ההיפרבולואידים פופולריים מאוד באדריכלות: אלו הם מבנים בעלי צורה של היפרבולואיד חד-יריעה או פרבולואיד היפרבולי. העובדה היא שרק למשטחי המהפכה הללו מהסדר השני יש גנרטורים ישרים: לפיכך, ניתן לבנות מבנה מעוקל רק מקורות ישרות. היתרונות של מבנים כאלה הם ביכולת לעמוד בעומסים כבדים, למשל, מהרוח: הצורה ההיפרבולואידית משמשת בבניית מבנים גבוהים, למשל, מגדלי טלוויזיה.
