מאפיינים ושיטות למציאת השורשים של משוואה ריבועית

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

העולם מסודר כך שהפתרון של מספר רב של בעיות מסתכם במציאת השורשים של משוואה ריבועית. שורשי המשוואות חשובים לתיאור תבניות שונות. זה היה ידוע אפילו למודדי בבל העתיקה. גם אסטרונומים ומהנדסים נאלצו לפתור בעיות כאלה. עוד במאה ה-6 לספירה, המדען ההודי Aryabhata פיתח את היסודות למציאת השורשים של משוואה ריבועית. הנוסחאות הושלמו במאה ה-19.

מושגים כלליים

אנו מזמינים אותך להכיר את הסדירות הבסיסית של שוויון ריבועי. באופן כללי, ניתן לכתוב שוויון באופן הבא:

ax2 + bx + c=0, מספר השורשים של משוואה ריבועית יכול להיות שווה לאחד או שניים. ניתן לבצע ניתוח מהיר באמצעות המושג מבחנה:

D=b2 - 4ac

בהתאם לערך המחושב, נקבל:

• כאשר D > 0 יש שני שורשים שונים. הנוסחה הכללית לקביעת השורשים של משוואה ריבועית נראית כמו (-b± √D) / (2a).
• D=0, במקרה זה השורש הוא אחד ומתאים לערך x=-b / (2a)
• D < 0, עבור ערך שלילי של המבחין, אין פתרון למשוואה.

הערה: אם המבחין שלילי, למשוואה אין שורשים רק באזור המספרים הממשיים. אם אלגברה מורחבת למושג שורשים מורכבים, אז למשוואה יש פתרון.

בואו ניתן שרשרת פעולות המאשרת את הנוסחה למציאת שורשים.

מהצורה הכללית של המשוואה, זה נובע:

ax2 + bx=-c

אנחנו מכפילים את החלק הימני והשמאלי ב-4a ומוסיפים b2, נקבל

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

הפוך את הצד השמאלי לריבוע של הפולינום (2ax + b)². נחלץ את השורש הריבועי של שני הצדדים של המשוואה 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), נעביר את המקדם b לצד ימין, נקבל:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

מכאן:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

מה נדרש כדי להציג.

מקרה מיוחד

במקרים מסוימים, ניתן לפשט את פתרון הבעיה. לכן, עבור מקדם אחיד b נקבל נוסחה פשוטה יותר.

סמן k=1/2b, ואז הנוסחה של הצורה הכללית של שורשי המשוואה הריבועית מקבלת את הצורה:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

כאשר D=0, נקבל x=-k / a

מקרה מיוחד נוסף הוא פתרון המשוואה עם a=1.

עבור הצורה x² + bx + c=0 השורשים יהיו x=-k ± √(k^{2 - c) עם מבחין גדול מ-0.במקרה שבו D=0, השורש ייקבע על ידי נוסחה פשוטה: x=-k.}

השתמש בתרשימים

כל אדם, אפילו בלי לדעת זאת, מתמודד כל הזמן עם תופעות פיזיקליות, כימיות, ביולוגיות ואפילו חברתיות שמתוארות היטב על ידי פונקציה ריבועית.

הערה: העקומה הבנויה על בסיס פונקציה ריבועית נקראת פרבולה.

הנה כמה דוגמאות.

1. בעת חישוב מסלול של קליע, נעשה שימוש בתכונת התנועה לאורך פרבולה של גוף שנורה בזווית לאופק.
2. התכונה של פרבולה לפיזור שווה של העומס נמצא בשימוש נרחב בארכיטקטורה.

להבין את החשיבות של הפונקציה הפרבולית, בואו נבין כיצד להשתמש בגרף כדי לחקור את תכונותיו, תוך שימוש במושגים של "מבחנה" ו"שורשים של משוואה ריבועית".

בהתאם לערך של המקדמים a ו-b, יש רק שש אפשרויות למיקום העקומה:

1. האבחנה חיובית, ל-a ו-b יש סימנים שונים. ענפי הפרבולה מסתכלים למעלה, למשוואה הריבועית יש שני פתרונות.
2. האבחנה ומקדם b שווים לאפס, מקדם a גדול מאפס. הגרף נמצא באזור החיובי, למשוואה יש שורש אחד.
3. המבחנה וכל המקדמים חיוביים. למשוואה הריבועית אין פתרון.
4. האבחנה והמקדם a הם שליליים, b גדול מאפס. ענפי הגרף מכוונים כלפי מטה, למשוואה יש שני שורשים.
5. מפלה ומקדם b שווה לאפס, מקדם a שלילי. הפרבולה מסתכלת למטה, למשוואה יש שורש אחד.
6. הערכים של המבחין וכל המקדמים הם שליליים. אין פתרונות, ערכי הפונקציה נמצאים לחלוטין באזור השלילי.

הערה: האפשרות a=0 אינה נחשבת, מכיוון שבמקרה זה הפרבולה מתנוונת לקו ישר.

כל האמור לעיל מומחש היטב באיור למטה.

דוגמאות לפתרון בעיות

תנאי: באמצעות המאפיינים הכלליים, צור משוואה ריבועית ששורשיה שווים זה לזה.

פתרון:

לפי מצב הבעיה x₁ =x₂, או -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). פישוט הסימון:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2א))=0, פתח את הסוגריים ותן מונחים דומים. המשוואה הופכת ל-2√(b² - 4ac)=0. משפט זה נכון כאשר b² - 4ac=0, ומכאן b ^{2=4ac, ואז הערך b=2√(ac) מוחלף במשוואה}

ax² + 2√(ac)x + c=0, בצורה המצומצמת נקבל x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

תשובה:

עבור a לא שווה ל-0 ולכל c, יש רק פתרון אחד אם b=2√(c / a).

למשוואות קוואדריות, על כל פשטותן, יש חשיבות רבה בחישובים הנדסיים. ניתן לתאר כמעט כל תהליך פיזיקלי בקירוב מסוים באמצעותפונקציות כוח של סדר n. המשוואה הריבועית תהיה הקירוב הראשון שכזה.