לוגיקה סימבולית היא ענף של מדע החוקר את צורות ההיגיון הנכונות. הוא ממלא תפקיד בסיסי בפילוסופיה, במתמטיקה ובמדעי המחשב. כמו פילוסופיה ומתמטיקה, ללוגיקה יש שורשים עתיקים. החיבורים המוקדמים ביותר על אופי ההיגיון הנכון נכתבו לפני למעלה מ-2,000 שנה. כמה מהפילוסופים המפורסמים ביותר של יוון העתיקה כתבו על אופי השימור לפני למעלה מ-2,300 שנה. הוגים סינים עתיקים כתבו על פרדוקסים לוגיים בערך באותו זמן. למרות ששורשיו הולכים אחורה, ההיגיון הוא עדיין תחום מחקר תוסס.
לוגיקה סמלית מתמטית
צריך גם להיות מסוגל להבין ולנמק, ולכן הוקדשה תשומת לב מיוחדת למסקנות הגיוניות כשלא היה ציוד מיוחד לניתוח ואבחון תחומי חיים שונים. ההיגיון הסימבולי המודרני צמח מיצירתו של אריסטו (384-322 לפנה ס), הפילוסוף היווני הגדול ואחד מהוגי הדעות המשפיעים בכל הזמנים. הצלחות נוספות היועל ידי הפילוסוף הסטואי היווני כריסיפוס, שפיתח את היסודות של מה שאנו מכנים כיום לוגיקה פרופוזיציונית.
היגיון מתמטי או סימבולי קיבל התפתחות פעילה רק במאה ה-19. יצירותיו של בול, דה מורגן, שרדר הופיעו, שבהן מדענים ביצעו אלגבריזציה של תורתו של אריסטו, ובכך היוו את הבסיס לחישוב ההצעה. לאחר מכן, העבודה של Frege ו-Preece, שבה הוצגו המושגים של משתנים ומכמתים, שהחלו להיות מיושמים בלוגיקה. כך נוצר החישוב של פרדיקטים - הצהרות על הנושא.
ההיגיון מרמז על הוכחה לעובדות שאין עליהן עוררין כאשר לא היה אישור ישיר לאמת. ביטויים לוגיים היו אמורים לשכנע את בן השיח באמיתות.
נוסחאות לוגיות נבנו על עיקרון של הוכחה מתמטית. אז הם שכנעו את בני השיח בדייקנות ובאמינות.
עם זאת, כל צורות הטיעונים נכתבו במילים. לא היו מנגנונים פורמליים שייצרו חשבון ניכוי לוגי. אנשים החלו לפקפק אם המדען מסתתר מאחורי חישובים מתמטיים, מסתיר מאחוריהם את האבסורד של הניחושים שלו, כי כל אחד יכול להציג את הטיעונים שלו לטובת אחרת.
לידה של משמעות: היגיון מוצק במתמטיקה כהוכחה לאמת
לקראת סוף המאה ה-18 הופיע היגיון מתמטי או סימבולי כמדע, שכלל תהליך של לימוד נכונות המסקנות. היו אמורים להיות להם סוף הגיוני וקשר. אבל איך זה היה להוכיחאו להצדיק את נתוני המחקר?
הפילוסוף והמתמטיקאי הגרמני הגדול גוטפריד לייבניץ היה מהראשונים שהבינו את הצורך בפורמליזציה של טיעונים לוגיים. זה היה חלומו של לייבניץ: ליצור שפה פורמלית אוניברסלית של המדע שתצמצם את כל המחלוקות הפילוסופיות לחישוב פשוט, תוך עיבוד מחדש של ההיגיון בדיונים כאלה בשפה זו. היגיון מתמטי או סימבולי הופיע בצורה של נוסחאות שהקלו על משימות ופתרונות בשאלות פילוסופיות. כן, ותחום המדע הזה הפך למשמעותי יותר, כי אז הפך הפטפוט הפילוסופי חסר המשמעות לתחתית שעליה מסתמכת המתמטיקה עצמה!
בתקופתנו, ההיגיון המסורתי הוא אריסטוטלי סמלי, שהוא פשוט ולא יומרני. במאה ה-19 התמודד המדע עם פרדוקס הקבוצות, שהוליד חוסר עקביות באותם פתרונות מפורסמים מאוד של הרצפים הלוגיים של אריסטו. היה צורך לפתור בעיה זו, כי במדע לא יכולות להיות אפילו שגיאות שטחיות.
פורמליות של לואיס קרול - היגיון סימבולי ושלבי השינוי שלו
היגיון פורמלי הוא כעת נושא שנכלל בקורס. עם זאת, הוא חייב את המראה שלו לזה הסמלי, זה שנוצר במקור. לוגיקה סמלית היא שיטה לייצוג ביטויים לוגיים באמצעות סמלים ומשתנים ולא בשפה רגילה. זה מבטל את העמימות המלווה שפות נפוצות כמו רוסית ומקל על הדברים.
ישנן מערכות רבות של היגיון סימבולי, כגון:
- הצעה קלאסית.
- לוגיקה של צו ראשון.
- Modal.
היגיון סימבולי כפי שהבין לואיס קרול יצטרך לציין את ההצהרות האמיתיות והשגויות בשאלה שנשאלה. כל אחד יכול לכלול תווים נפרדים או לא לכלול שימוש בתווים מסוימים. הנה כמה דוגמאות להצהרות שסוגרות את השרשרת ההגיונית של המסקנות:
- כל האנשים שזהים לי הם יצורים שקיימים.
- כל הגיבורים שזהים לבאטמן הם יצורים שקיימים.
- אז (מכיוון שבאטמן ואני מעולם לא נראו באותו מקום), כל האנשים הזהים לי הם גיבורים זהים לבאטמן.
זו אינה צורה חוקית, אבל היא זהה למבנה הבא:
- כל הכלבים הם יונקים.
- כל החתולים הם יונקים.
- לכן כל הכלבים הם חתולים.
זה צריך להיות ברור שהצורה הסמלית לעיל בלוגיקה אינה תקפה. עם זאת, בלוגיקה, צדק מוגדר על ידי ביטוי זה: אם הנחת היסוד הייתה נכונה, אז המסקנה הייתה נכונה. ברור שזה לא נכון. כך גם לגבי דוגמת הגיבור, בעלת אותה צורה. התוקף חל רק על טיעונים דדוקטיביים שנועדו להוכיח את מסקנתם בוודאות, שכן טיעון דדוקטיבי אינו יכול להיות תקף. "תיקונים" אלו מיושמים גם בסטטיסטיקה כאשר יש תוצאה של שגיאת נתונים, והיגיון סימבולי מודרני כמוהרשמיות של נתונים מפושטים עוזרת ברבים מהעניינים האלה.
אינדוקציה בלוגיקה מודרנית
טיעון אינדוקטיבי נועד רק להדגים את מסקנתו בסבירות גבוהה או בהפרכה. טיעונים אינדוקטיביים הם חזקים או חלשים.
כטיעון אינדוקטיבי, הדוגמה של גיבור העל באטמן פשוט חלשה. ספק אם באטמן קיים, אז אחת ההצהרות כבר שגויה בסבירות גבוהה. למרות שמעולם לא ראית אותו באותו מקום כמו מישהו אחר, זה מגוחך לקחת את הביטוי הזה כראיה. כדי להבין את מהות ההיגיון, דמיינו:
- מעולם לא ראיתם באותו מקום כמו יליד גינאה.
- לא סביר שאתה והאדם הגינאי הם אותו אדם.
- עכשיו דמיינו שאתם ואפריקאי מעולם לא נפגשתם באותו מקום. זה לא סביר שאתה ואפריקני הם אותו אדם. אבל הגינאים והאפריקאים הצטלבו, כך שאי אפשר להיות שניהם בו זמנית. הוכחות לכך שאתה אפריקאי או גינאה ירדו באופן משמעותי.
מנקודת מבט זו, עצם הרעיון של לוגיקה סימבולית אינו מרמז על יחס אפריורי למתמטיקה. כל מה שצריך כדי לזהות לוגיקה כסמל הוא השימוש הנרחב בסמלים כדי לייצג פעולות לוגיות.
התיאוריה הלוגית של קרול: הסתבכות או מינימליזם בפילוסופיה מתמטית
קרול למד כמה דרכים יוצאות דופןמה שאילץ אותו לפתור בעיות קשות למדי איתם התמודדו עמיתיו. הדבר מנע ממנו התקדמות משמעותית בשל מורכבות התווים הלוגיים והמערכות שקיבל כתוצאה מעבודתו. סיבת קיומה של ההיגיון הסימבולי של קרול היא בעיית החיסול. כיצד למצוא את המסקנה שיש להסיק ממערכת הנחות לגבי הקשר בין מונחים נתונים? ביטול "מונחים בינוניים".
כדי לפתור את הבעיה המרכזית הזו של לוגיקה באמצע המאה התשע-עשרה הומצאו מכשירים סמליים, דיאגרמטיים, אפילו מכניים. עם זאת, השיטות של קרול לעיבוד "רצפים לוגיים" כאלה (כפי שכינה אותם) לא תמיד נתנו את הפתרון הנכון. מאוחר יותר פרסם הפילוסוף שני מאמרים על השערות, המשתקפות בכתב העת Mind: The Logical Paradox (1894) ומה הצב אמר לאכילס (1895).
ניירות אלו נדונו בהרחבה על ידי לוגיקים של המאות התשע-עשרה והעשרים (פירס, ראסל, רייל, פריור, קווין וכו'). המאמר הראשון מצוטט לעתים קרובות כהמחשה טובה לפרדוקסים של השלכות חומריות, בעוד המאמר השני מוביל למה שמכונה פרדוקס ההסקה.
פשטות הסמלים בלוגיקה
השפה הסמלית של ההיגיון היא תחליף למשפטים ארוכים מעורפלים. נוח, כי ברוסית אפשר להגיד את אותו הדבר על נסיבות שונות, מה שיאפשר להתבלבל, ובמתמטיקה סמלים יחליפו את הזהות של כל משמעות.
- ראשית, הקיצור חשוב ליעילות.ההיגיון הסמלי אינו יכול להסתדר בלי סימנים וייעודים, אחרת הוא יישאר רק פילוסופי, בלי הזכות למשמעות אמיתית.
- שנית, סמלים מקלים על לראות ולנסח אמיתות לוגיות. פריטים 1 ו-2 מעודדים מניפולציה "אלגברית" של נוסחאות לוגיות.
- שלישית, כאשר ההיגיון מבטא אמיתות לוגיות, ניסוח סימבולי מעודד לימוד של מבנה ההיגיון. זה קשור לנקודה הקודמת. לפיכך, הלוגיקה הסימבולית מתאימה ללימוד מתמטי של לוגיקה, שהוא ענף של נושא הלוגיקה המתמטית.
- רביעית, כאשר חוזרים על התשובה, השימוש בסמלים הוא סיוע במניעת עמימות (למשל, ריבוי משמעויות) של שפה רגילה. זה גם עוזר להבטיח שהמשמעות היא ייחודית.
לבסוף, השפה הסמלית של ההיגיון מאפשרת את חשבון הפרדיקט שהציג Frege. במהלך השנים השתכלל והתייעל הסימון הסמלי לחשבון הפרדיקט עצמו, שכן סימון טוב חשוב במתמטיקה ובלוגיקה.
האונטולוגיה של אריסטו של העת העתיקה
מדענים החלו להתעניין בעבודתו של ההוגה כשהחלו להשתמש בשיטות של סלינין בפרשנויות שלהם. הספר מציג תיאוריות של לוגיקה קלאסית ומודאלית. חלק חשוב מהמושג היה ההפחתה ל-CNF בלוגיקה סמלית של נוסחת היגיון ההצעה. פירוש הקיצור הוא צירוף או ניתוק של משתנים.
Slinin Ya. A. הציע שלילות מורכבות, הדורשות הפחתה חוזרת ונשנית של נוסחאות, צריכות להפוך לתת-נוסחה. לפיכך, הוא המיר כמה ערכים למינימליים יותר ופתר בעיות בגרסה מקוצרת. העבודה עם שלילות הצטמצמה לנוסחאותיו של דה מורגן. החוקים הנושאים את שמו של דה מורגן הם צמד משפטים קשורים המאפשרים להפוך הצהרות ונוסחאות לאלטרנטיביות ולרוב נוחות יותר. החוקים הם כדלקמן:
- השלילה (או חוסר העקביות) של ניתוק שווה לאיחוד של שלילת החלופות – p או q אינם שווים ל-p ולא q או באופן סמלי ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- שלילת הצירוף שווה לניתוק השלילה של החיבורים המקוריים, כלומר לא (p ו-q) לא שווה ל-p או לא q, או באופן סמלי ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
הודות לנתונים ראשוניים אלה, מתמטיקאים רבים החלו ליישם נוסחאות כדי לפתור בעיות לוגיות מורכבות. אנשים רבים יודעים שיש קורס של הרצאות שבו לומדים את אזור ההצטלבות של פונקציות. וגם פרשנות המטריצה מבוססת על נוסחאות לוגיות. מהי מהות ההיגיון בחיבור אלגברי? זוהי פונקציה לינארית ברמה, כאשר אתה יכול לשים את מדע המספרים והפילוסופיה על אותה קערה כאזור "חסר נשמה" ולא רווחי של הגיון. למרות שא' קאנט חשב אחרת, בהיותו מתמטיקאי ופילוסוף. הוא ציין שהפילוסופיה היא כלום עד שיוכח אחרת. והראיות חייבות להיות מבוססות מבחינה מדעית. וכך קרה שהפילוסופיה החלה לקבל משמעות בזכותהתאמה לאופי האמיתי של מספרים וחישובים.
יישום ההיגיון במדע ובעולם החומרי של המציאות
פילוסופים בדרך כלל אינם מיישמים את מדע ההיגיון ההגיוני רק לפרויקט שאפתני שלאחר התואר (בדרך כלל עם רמה גבוהה של התמחות, כגון הוספה למדעי החברה, פסיכולוגיה או סיווג אתי). זה פרדוקסלי שהמדע הפילוסופי "הוליד" את שיטת חישוב האמת והשקר, אבל הפילוסופים עצמם אינם משתמשים בה. אז עבור מי נוצרות והתחלפות סילוגיזמים מתמטיים כה ברורים?
- מתכנתים ומהנדסים השתמשו בלוגיקה סמלית (שלא כל כך שונה מהמקור) כדי ליישם תוכניות מחשב ואפילו לוחות עיצוב.
- במקרה של מחשבים, ההיגיון הפך למורכב מספיק כדי להתמודד עם קריאות פונקציות רבות, כמו גם לקדם מתמטיקה ולפתור בעיות מתמטיות. חלק גדול ממנו מבוסס על ידע של פתרון בעיות מתמטי והסתברות בשילוב עם הכללים הלוגיים של חיסול, הרחבה וצמצום.
- לא ניתן להבין בקלות שפות מחשב פועלות בצורה הגיונית בגבולות הידע של מתמטיקה ואף מבצעות פונקציות מיוחדות. חלק ניכר משפת המחשב מוגן בפטנט או מובן רק על ידי מחשבים. מתכנתים מאפשרים כיום למחשבים לבצע משימות לוגיות ולפתור אותן.
במהלך תנאים מוקדמים כאלה, מדענים רבים מניחים ליצור חומר מתקדם לא למען המדע, אלא למעןקלות השימוש במדיה ובטכנולוגיה. אולי בקרוב ההיגיון יחלחל לתחומי הכלכלה, העסקים ואפילו הקוונטים "דו-פרצופיים", שמתנהג גם כמו אטום וגם כמו גל.
לוגיקה קוונטית בפרקטיקה מודרנית של ניתוח מתמטי
לוגיקה קוונטית (QL) פותחה כניסיון לבנות מבנה פרופוזיציוני שיאפשר תיאור אירועים מעניינים במכניקת הקוונטים (QM). QL החליף את המבנה הבוליאני, שלא הספיק כדי לייצג את התחום האטומי, למרות שהוא מתאים לשיח של הפיזיקה הקלאסית.
המבנה המתמטי של שפה פרופוזיציונית לגבי מערכות קלאסיות הוא קבוצה של כוחות, מסודרים בחלקם על ידי קבוצת ההכללה, עם צמד פעולות המייצגות איחוד ודיסjunktion.
אלגברה זו תואמת את השיח של תופעות קלאסיות ויחסיות כאחד, אך אינה מתיישבת בתיאוריה האוסרת, למשל, לתת ערכי אמת בו-זמנית. ההצעה של האבות המייסדים של QL נוצרה להחליף את המבנה הבוליאני של הלוגיקה הקלאסית במבנה חלש יותר שיחליש את המאפיינים ההפצתיים של צירוף ודיסjunktion.
החלשת החדירה הסמלית המבוססת: האם באמת נחוצה אמת במתמטיקה כמדע מדויק
במהלך פיתוחו, הלוגיקה הקוונטית החלה להתייחס לא רק למסורתי, אלא גם לכמה תחומים של מחקר מודרני שניסו להבין את המכניקה מנקודת מבט לוגית. מרובותגישות קוונטיות להצגת אסטרטגיות ובעיות שונות הנדונות בספרות מכניקת הקוונטים. במידת האפשר, נוסחאות מיותרות מבוטלות כדי לתת הבנה אינטואיטיבית של מושגים לפני השגת או הצגת המתמטיקה הקשורה.
שאלה רב-שנתית בפרשנות של מכניקת הקוונטים היא האם קיימים הסברים קלאסיים ביסודו של תופעות מכניות קוונטיות. הלוגיקה הקוונטית מילאה תפקיד גדול בעיצוב וזיקוק הדיון הזה, ובמיוחד אפשרה לנו לדייק למדי לגבי מה שאנו מתכוונים בהסבר קלאסי. כעת ניתן לקבוע בדייקנות אילו תיאוריות יכולות להיחשב אמינות, ואילו מהן הן המסקנה ההגיונית של שיפוטים מתמטיים.
