מאמר זה יסביר את נוסחת Black-Scholes במילים פשוטות. מודל Black-Scholes הוא מודל מתמטי של הדינמיקה של שוק פיננסי המכיל מכשירי השקעה נגזרים.
מתוך המשוואה הדיפרנציאלית החלקית במודל (המכונה משוואת Black-Scholes), ניתן לגזור את נוסחת Black-Scholes. היא נותנת מחיר אופציה תיאורטי בסגנון אירופאי ומראה שלאופציה יש מחיר ייחודי ללא קשר לסיכון של נייר הערך ולתשואה הצפויה שלו (במקום להחליף את התשואה הצפויה של נייר הערך בשער ניטרלי סיכון).
הנוסחה הובילה לפריחה במסחר באופציות ונתנה לגיטימציה מתמטית לבורסת האופציות של שיקגו ולשווקי אופציות אחרים ברחבי העולם. הוא נמצא בשימוש נרחב, אם כי לעתים קרובות עם התאמות ותיקונים, על ידי משתתפי שוק האופציות. בתמונות במאמר זה ניתן לראות דוגמאות לנוסחת Black-Scholes.
היסטוריה ומהות
מבוסס על עבודה שפותחה בעבר על ידי חוקרים ומתרגליםשווקים כגון לואי באצ'לייר, שין קאסוף ואד ת'ורפ, פישר בלאק ומיירון סקולס בסוף שנות ה-60 הוכיחו שתיקון תיק דינמי ביטלה את התשואה הצפויה של האבטחה.
בשנת 1970, לאחר שניסו ליישם את הנוסחה בשווקים ונגרמו להפסדים כספיים עקב היעדר ניהול סיכונים במקצועותיהם, הם החליטו להתמקד בתחומם, באקדמיה. לאחר שלוש שנים של מאמץ, הנוסחה, שנקראה על שם פרסומן, פורסמה לבסוף ב-1973 במאמר שכותרתו "תמחור אופציות ואג"ח תאגידיות" בכתב העת Journal of Political Economy. רוברט ס. מרטון היה הראשון שפרסם מאמר שהרחיב את ההבנה המתמטית של מודל תמחור האופציות וטבע את המונח "מודל התמחור של Black-Scholes".
על עבודתם, קיבלו מרטון וסקולס את פרס נובל לזיכרון בכלכלה לשנת 1997, תוך שהם מציינים את גילוים של תיקון דינמי בלתי תלוי בסיכון כפריצת דרך המנתקת את האפשרות מהסיכון הביטחוני הבסיסי. למרות שלא קיבל את הפרס עקב מותו ב-1995, בלאק הוזכר על ידי אקדמאי שוודי כמשתתף. בתמונה למטה ניתן לראות נוסחה טיפוסית של Black-Scholes.
Options
הרעיון העיקרי של מודל זה הוא לגדר אופציה על ידי קנייה ומכירה נכונה של נכס הבסיס וכתוצאה מכך, ביטול הסיכון. סוג גידור זה נקרא "גידור דלתא מתעדכן כל הזמן". הואמהווה בסיס לאסטרטגיות מורכבות יותר, כמו אלו המשמשות בנקי השקעות וקרנות גידור.
ניהול סיכונים
הנחות המודל הורפו והוכללו לכיוונים רבים, וכתוצאה מכך מגוון מודלים המשמשים כיום בתמחור נגזרים וניהול סיכונים. ההבנה של המודל, כפי שמוצגת בנוסחת Black-Scholes, היא המשמשת לעתים קרובות את המשתתפים בשוק, בניגוד למחירים בפועל. פרטים אלה אינם כוללים מגבלות ארביטראז' ותמחור ניטרלי בסיכון (עקב סקירה מתמדת). בנוסף, משוואת Black-Scholes, המשוואה הדיפרנציאלית החלקית הקובעת את מחירה של אופציה, מאפשרת קביעת מחירים באופן מספרי כאשר לא מתאפשרת נוסחה מפורשת.
Volatility
לנוסחת Black-Scholes יש רק פרמטר אחד שלא ניתן לצפות בו ישירות בשוק: התנודתיות העתידית הממוצעת של נכס הבסיס, אם כי ניתן למצוא אותה במחיר של אופציות אחרות. ככל שהערך של פרמטר (בין אם הוא מונח או קורא) עולה בפרמטר זה, ניתן להפוך אותו כדי לייצר "משטח תנודתיות" אשר משמש לאחר מכן לכייל דפוסים אחרים כגון נגזרות OTC.
עם ההנחות האלה בחשבון, הנח שהשוק הזה סוחר גם בנגזרים. אנו מציינים שלנייר ערך זה יהיה תשלום מסוים בתאריך מסוים בעתיד, בהתאם לשווי הניחה על ידי המניה.לפני התאריך הזה. למרבה ההפתעה, מחיר הנגזר נקבע כעת לחלוטין, אם כי איננו יודעים באיזה מסלול יעבור מחיר המניה בעתיד.
למקרה מיוחד של קול או אופציית מכר אירופאית, בלאק וסקולס הראו שניתן ליצור פוזיציה מגודרת המורכבת מפוזיציה לונג במניה ומפוזיציית שורט באופציה, שערכה לא יהיה תלוי במחיר המניה. אסטרטגיית הגידור הדינמית שלהם הביאה למשוואה דיפרנציאלית חלקית שקבעה את מחיר האופציה. הפתרון שלה ניתן על ידי נוסחת Black-Scholes.
הבדל בתנאים
ניתן לפרש את נוסחת Black-Scholes עבור אקסל על ידי פיצול תחילה של אופציית הרכש להפרש של שתי אופציות בינאריות. אופציית רכש מחליפה מזומן לנכס בתום התפוגה, בעוד שנכס רכישה עם או בלי נכס פשוט מניב נכס (ללא מזומן בתמורה) וקריאה ללא מזומנים פשוט מחזירה את הכסף (ללא החלפת נכס)). נוסחת Black-Scholes עבור אופציה היא ההפרש של שני מונחים, ושני מונחים אלו שווים לערך של אופציות הרכש הבינאריות. אופציות בינאריות אלו נסחרות בתדירות נמוכה בהרבה מאופציות וניל, אך קל יותר לנתח אותן.
בפועל, כמה ערכי רגישות מקוצרים בדרך כלל כדי להתאים לסולם של שינויים סבירים בפרמטרים. לדוגמה, לרוב מדווחים rho חלקי 10000 (שינוי בנקודת בסיס אחת), vega ב-100 (שינוי בנקודת נפח אחת) ותטא ב-365.או 252 (משיכה של יום אחד על סמך ימים קלנדריים או ימי מסחר בשנה).
ניתן להרחיב את המודל הנ ל עבור שיעורים משתנים (אך דטרמיניסטיים) ותנודתיות. המודל יכול לשמש גם להערכת אופציות אירופיות למכשירי תשלום דיבידנד. במקרה זה, פתרונות סגורים זמינים אם הדיבידנד הוא חלק ידוע ממחיר המניה. אופציות אמריקאיות ומניות שמחלקות דיבידנד ידוע במזומן (יותר ריאלי מדיבידנד פרופורציונלי בטווח הקצר) קשות יותר לשווי ואפשרות מבחר שיטות פתרון (כגון סריג ורשתות).
גישה
קירוב שימושי: למרות שהתנודתיות אינה קבועה, תוצאות המודל עוזרות לרוב להגדיר את הגידור בפרופורציות הנכונות כדי למזער את הסיכון. גם אם התוצאות אינן מדויקות לחלוטין, הן משמשות כקירוב ראשון שניתן לבצע אליו התאמות.
בסיסי לדגמים טובים יותר: דגם Black-Scholes חזק במובן זה שניתן להתאים אותו להתמודדות עם כמה מהכשלים שלו. במקום להתייחס לפרמטרים מסוימים (כגון תנודתיות או שיעורי ריבית) כאל קבועים, אנו מתייחסים אליהם כמשתנים ובכך מוסיפים מקורות סיכון.
זה בא לידי ביטוי ביוונים (שינוי ערך האופציה לשינוי פרמטרים אלו או שווה ערך לנגזרות החלקיות ביחס למשתנים אלו) וגידור היוונים הללומפחית את הסיכון הנגרם מהטבע המשתנה של פרמטרים אלה. עם זאת, לא ניתן לבטל פגמים אחרים על ידי שינוי המודל, בפרט סיכון זנב וסיכון נזילות, ובמקום זאת הם מנוהלים מחוץ למודל, בעיקר על ידי מזעור סיכונים אלו ומבחני קיצון.
דוגמנות מפורשת
מודלים מפורשים: תכונה זו אומרת שבמקום להניח תנודתיות אפריורית ולחשב מחירים ממנה, אתה יכול להשתמש במודל כדי לקבוע תנודתיות שנותנת את התנודתיות הגלומה של האופציה במחירים, זמנים ומחירי מימוש נתונים. על ידי פתרון תנודתיות על פני קבוצה נתונה של משכי שביתה ומחירים, ניתן לבנות משטח תנודתיות מרומזת.
ביישום זה של מודל Black-Scholes, מתקבלת טרנספורמציה של קואורדינטות מאזור המחירים לאזור התנודתיות. במקום לצטט מחירי אופציות בדולרים ליחידה (שקשה להשוות על סמך שביתה, משכי זמן ותדירות קופונים), ניתן לצטט את מחירי האופציות במונחים של תנודתיות מרומזת, מה שמוביל לתנודתיות במסחר בשווקי האופציות.
