נפח הוא מאפיין של כל דמות שיש לה ממדים שאינם אפס בכל שלושת ממדי החלל. במאמר זה, מנקודת מבט של סטריאומטריה (הגיאומטריה של דמויות מרחביות), נשקול מנסרה ונראה כיצד למצוא את הנפחים של מנסרות מסוגים שונים.
מהי פריזמה?
לסטריאומטריה יש את התשובה המדויקת לשאלה זו. מנסרה בה מובנת כדמות שנוצרה על ידי שני פנים מצולעים זהים ומספר מקביליות. התמונה למטה מציגה ארבע פריזמות שונות.
כל אחד מהם ניתן להשיג באופן הבא: אתה צריך לקחת מצולע (משולש, מרובע וכן הלאה) וקטע באורך מסוים. לאחר מכן יש להעביר כל קודקוד של המצולע באמצעות קטעים מקבילים למישור אחר. במישור החדש, שיהיה מקביל לזה המקורי, יתקבל מצולע חדש, דומה לזה שנבחר בתחילה.
פריזמות יכולות להיות מסוגים שונים. אז, הם יכולים להיות ישרים, אלכסוניים ונכונים. אם הקצה הרוחבי של המנסרה (קטע,מחבר את קודקודי הבסיסים) בניצב לבסיסי הדמות, אז האחרון הוא קו ישר. בהתאם לכך, אם תנאי זה לא מתקיים, אז אנחנו מדברים על פריזמה נוטה. דמות רגילה היא פריזמה ישרה עם בסיס שווה-זווית ושווה-צלעות.
בהמשך המאמר נראה כיצד לחשב את הנפח של כל אחד מסוגי המנסרות האלה.
נפח של פריזמות רגילות
בוא נתחיל עם המקרה הפשוט ביותר. אנו נותנים את הנוסחה לנפח של פריזמה רגילה עם בסיס n-גונאלי. נוסחת נפח V עבור כל דמות מהכיתה הנבדקת היא כדלקמן:
V=Soh.
כלומר, כדי לקבוע את הנפח, מספיק לחשב את שטחו של אחד הבסיסים So ולהכפיל אותו בגובה h של הדמות.
במקרה של פריזמה רגילה, נסמן את אורך צלע הבסיס שלה באות a, ואת הגובה, השווה לאורך קצה הצד, באות h. אם הבסיס של ה-n-gon נכון, אז הדרך הקלה ביותר לחשב את שטחו היא להשתמש בנוסחה האוניברסלית הבאה:
S=n/4a2ctg(pi/n).
החלפת הערך של מספר הצלעות n ואורך הצלע האחת a בשוויון, אתה יכול לחשב את שטח הבסיס ה-n-gonal. שימו לב שהפונקציה הקוטנגנטית כאן מחושבת עבור הזווית pi/n, אשר מבוטאת ברדיאנים.
בהינתן השוויון שנכתב עבור S, אנו מקבלים את הנוסחה הסופית לנפח של פריזמה רגילה:
V=n/4a2hctg(pi/n).
לכל מקרה ספציפי, אתה יכול לכתוב את הנוסחאות המתאימות ל-V, אבל את כולןעוקב באופן ייחודי מהביטוי הכללי הכתוב. לדוגמה, עבור פריזמה מרובעת רגילה, שבמקרה הכללי היא מקבילית מלבני, נקבל:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
אם ניקח h=a בביטוי זה, נקבל את הנוסחה לנפח הקוביה.
נפח של מנסרות ישירות
אנו מציינים מיד כי עבור דמויות ישרות אין נוסחה כללית לחישוב נפח, אשר ניתנה לעיל עבור מנסרות רגילות. בעת מציאת הערך המדובר, יש להשתמש בביטוי המקורי:
V=Soh.
כאן h הוא אורך קצה הצד, כמו במקרה הקודם. לגבי שטח הבסיס So, הוא יכול לקבל מגוון ערכים. המשימה של חישוב פריזמה ישרה של נפח מצטמצמת למציאת שטח הבסיס שלה.
יש לבצע את חישוב הערך של So על סמך המאפיינים של הבסיס עצמו. לדוגמה, אם זה משולש, אז ניתן לחשב את השטח כך:
So3=1/2aha.
כאן ha הוא התפיסה של המשולש, כלומר, גובהו מונמך לבסיס a.
אם הבסיס הוא מרובע, אז הוא יכול להיות טרפז, מקבילית, מלבן או סוג שרירותי לחלוטין. עבור כל המקרים הללו, עליך להשתמש בנוסחת הפלנימטריה המתאימה כדי לקבוע את השטח. לדוגמה, עבור טרפז, נוסחה זו נראית כך:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
כאשר ha הוא גובה הטרפז, a1 ו2 הם האורכים של הצלעות המקבילות שלו.
כדי לקבוע את השטח עבור מצולעים מסדר גבוה יותר, עליך לפצל אותם לצורות פשוטות (משולשים, מרובעים) ולחשב את סכום השטחים של האחרונים.
נפח פריזמה מוטה
זהו המקרה הקשה ביותר של חישוב נפח של פריזמה. הנוסחה הכללית למספרים כאלה חלה גם:
V=Soh.
עם זאת, למורכבות של מציאת שטח הבסיס המייצג סוג שרירותי של מצולע, מתווספת הבעיה של קביעת גובה הדמות. הוא תמיד קטן מאורך קצה הצד בפריזמה משופעת.
הדרך הקלה ביותר למצוא את הגובה הזה היא אם אתה מכיר זווית כלשהי של הדמות (שטוחה או דיהדרלית). אם ניתנת זווית כזו, יש להשתמש בה כדי לבנות משולש ישר זווית בתוך המנסרה, שיכיל את הגובה h כאחת הצלעות, ובאמצעות פונקציות טריגונומטריות ומשפט פיתגורס למצוא את הערך h.
בעיית נפח גיאומטרי
ניתן פריזמה רגילה עם בסיס משולש, בגובה של 14 ס"מ ואורך צד של 5 ס"מ. מה נפח המנסרה המשולשת?
מכיוון שאנחנו מדברים על הנתון הנכון, יש לנו את הזכות להשתמש בנוסחה הידועה. יש לנו:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 cm3.
פריזמה משולשת היא דמות סימטרית למדי, שבצורתה עשויים לעתים קרובות מבנים אדריכליים שונים. מנסרת זכוכית זו משמשת באופטיקה.
