פוליהדרה משכה את תשומת לבם של מתמטיקאים ומדענים אפילו בימי קדם. המצרים בנו את הפירמידות. והיוונים למדו "פוליהדרה רגילה". הם נקראים לפעמים מוצקים אפלטוניים. "פוליהדרה מסורתית" מורכבת מפנים שטוחים, קצוות ישרים וקודקודים. אבל השאלה העיקרית תמיד הייתה אילו כללים חלקים נפרדים אלה צריכים למלא, כמו גם אילו תנאים גלובליים נוספים חייבים להתקיים כדי שאובייקט יזכה למעמד כפולידרון. התשובה לשאלה זו תוצג במאמר.
בעיות בהגדרה
ממה מורכב הנתון הזה? פוליהדרון הוא צורה מוצקה סגורה בעלת פנים שטוחים וקצוות ישרים. לכן, הבעיה הראשונה של הגדרתה יכולה להיקרא בדיוק הצדדים של הדמות. לא כל הפרצופים השוכבים במטוסים הם תמיד סימן לפולידרון. ניקח את "הגליל המשולש" כדוגמה. ממה זה מורכב? חלק משטחו שלושה בזוגותמישורים אנכיים מצטלבים אינם יכולים להיחשב כמצולעים. הסיבה היא שאין לו קודקודים. פני השטח של דמות כזו נוצרים על בסיס שלוש קרניים הנפגשות בנקודה אחת.
בעיה נוספת - מטוסים. במקרה של "הגליל המשולש" הוא טמון בחלקים הבלתי מוגבלים שלהם. דמות נחשבת קמורה אם קטע הקו המחבר בין שתי נקודות כלשהן בקבוצה נמצא גם בה. הבה נציג את אחד המאפיינים החשובים שלהם. עבור קבוצות קמורות, זה שקבוצת הנקודות המשותפת לקבוצה זהה. יש סוג אחר של דמויות. אלו הן פוליהדרות דו-ממדיות לא קמורות שיש להן חריצים או חורים.
צורות שאינן פולידריות
סט שטוח של נקודות יכול להיות שונה (לדוגמה, לא קמור) ולא לענות על ההגדרה הרגילה של פולידרון. אפילו באמצעותו, הוא מוגבל על ידי קטעי קווים. הקווים של פולידרון קמור מורכבים מדמויות קמורות. עם זאת, גישה זו להגדרה אינה כוללת דמות שהולכת לאינסוף. דוגמה לכך תהיה שלוש קרניים שאינן נפגשות באותה נקודה. אבל במקביל, הם מחוברים לקודקודים של דמות אחרת. באופן מסורתי, לפוליהדרון היה חשוב שהוא מורכב ממשטחים שטוחים. אבל עם הזמן התרחב המושג, מה שהוביל לשיפור משמעותי בהבנת המחלקה ה"צרה" המקורית של פוליהדרות, כמו גם להופעתה של הגדרה חדשה ורחבה יותר.
נכון
בואו נציג עוד הגדרה אחת. פולידרון רגיל הוא כזה שבו כל פנים הוא רגיל תואםמצולעים קמורים, וכל הקודקודים "זהים". המשמעות היא שלכל קודקוד יש אותו מספר של מצולעים רגילים. השתמש בהגדרה זו. אז אתה יכול למצוא חמש פולי-הדרות רגילות.
צעדים ראשונים למשפט אוילר לפוליהדרה
היוונים ידעו על המצולע, שהיום נקרא הפנטגרם. אפשר לקרוא למצולע הזה רגיל מכיוון שכל צלעותיו באורך שווה. יש גם הערה חשובה נוספת. הזווית בין שתי צלעות עוקבות תמיד זהה. עם זאת, כאשר הוא מצויר במישור, הוא אינו מגדיר קבוצה קמורה, וצדי הפולידרון מצטלבים זה את זה. עם זאת, לא תמיד זה היה כך. מתמטיקאים שקלו זמן רב את הרעיון של פוליהדרה רגילה "לא קמורה". הפנטגרם היה אחד מהם. הותרו גם "מצולעי כוכבים". התגלו כמה דוגמאות חדשות ל"פוליהדרות רגילות". עכשיו הם נקראים פוליהדרת קפלר-פוינסוט. מאוחר יותר, G. S. M. Coxeter וברנקו Grünbaum הרחיבו את הכללים וגילו "פוליהדרות רגילות" אחרות.
נוסחה פוליהדרלית
המחקר השיטתי של דמויות אלו החל מוקדם יחסית בהיסטוריה של המתמטיקה. לאונרד אוילר היה הראשון שהבחין שנוסחה המתייחסת למספר הקודקודים, הפנים והקצוות שלהם תופסת עבור פולי-הדרות תלת-ממדיות קמורות.
היא נראית כך:
V + F - E=2, כאשר V הוא מספר הקודקודים הרב-הדרלים, F הוא מספר הקצוות של הפול-הדרה, ו-E הוא מספר הפרצופים.
לאונהרד אוילר הוא שוויצרימתמטיקאי שנחשב לאחד המדענים הגדולים והפרודוקטיביים בכל הזמנים. הוא היה עיוור במשך רוב חייו, אבל אובדן הראייה נתן לו סיבה להיות פרודוקטיבי עוד יותר. יש כמה נוסחאות שנקראות על שמו, וזו שהסתכלנו עליה נקראת לפעמים נוסחת אוילר פוליהדרה.
יש הבהרה אחת. הנוסחה של אוילר, לעומת זאת, פועלת רק עבור פוליהדרות העוקבות אחר כללים מסוימים. הם טמונים בעובדה שלטופס לא צריך להיות שום חורים. וזה לא מקובל שזה יצטלב את עצמו. פולידרון גם לא יכול להיות מורכב משני חלקים המחוברים זה לזה, כמו שתי קוביות עם אותו קודקוד. אוילר הזכיר את תוצאת המחקר שלו במכתב לכריסטיאן גולדבך ב-1750. מאוחר יותר הוא פרסם שני מאמרים שבהם תיאר כיצד ניסה למצוא הוכחה לתגלית החדשה שלו. למעשה, יש צורות שנותנות תשובה שונה ל-V + F - E. התשובה לסכום F + V - E=X נקראת מאפיין אוילר. יש לה היבט נוסף. לצורות מסוימות יש אפילו מאפיין אוילר שלילי
תורת הגרפים
לפעמים טוענים שדקארט גזר את משפט אוילר קודם לכן. למרות שהמדען הזה גילה עובדות על רב-הידרה תלת-ממדית שיאפשרו לו לגזור את הנוסחה הרצויה, הוא לא נקט בצעד הנוסף הזה. כיום, אוילר זוכה לזכותו של "האב" של תורת הגרפים. הוא פתר את בעיית גשר קניגסברג באמצעות הרעיונות שלו. אבל המדען לא הסתכל על הפוליהדרון בהקשרתורת הגרפים. אוילר ניסה לתת הוכחה לנוסחה המבוססת על פירוק רב-הדרון לחלקים פשוטים יותר. ניסיון זה אינו עומד בסטנדרטים המודרניים להוכחה. אוילר אמנם לא נתן את ההצדקה הראשונה לנוסחה שלו, אבל אי אפשר להוכיח השערות שלא הועלו. עם זאת, התוצאות, אשר הוכחו מאוחר יותר, מאפשרות להשתמש במשפט אוילר גם בזמן הנוכחי. ההוכחה הראשונה הושגה על ידי המתמטיקאי אדריאן מארי לג'נדר.
הוכחה לנוסחת אוילר
אולר ניסח לראשונה את הנוסחה הפוליהדרלית כמשפט על הפוליהדרות. כיום הוא מטופל לרוב בהקשר הכללי יותר של גרפים מחוברים. למשל, כמבנים המורכבים מנקודות ומקטעי קו המחברים ביניהם, שנמצאים באותו חלק. אוגוסטין לואי קאוצ'י היה האדם הראשון שמצא את הקשר החשוב הזה. הוא שימש כהוכחה למשפט אוילר. הוא, בעצם, שם לב שהגרף של פולידרון קמור (או מה שנקרא היום כזה) הוא הומיאומורפי מבחינה טופולוגית לכדור, יש לו גרף מחובר מישורי. מה זה? גרף מישורי הוא כזה שצוייר במישור בצורה כזו שהקצוות שלו נפגשים או מצטלבים רק בקודקוד. כאן נמצא הקשר בין משפט אוילר לגרפים.
אינדיקציה אחת לחשיבות התוצאה היא שדיוויד אפשטיין הצליח לאסוף שבע עשרה עדויות שונות. ישנן דרכים רבות להצדיק את הנוסחה הפוליהדרלית של אוילר. במובן מסוים, ההוכחות הברורות ביותר הן שיטות המשתמשות באינדוקציה מתמטית. ניתן להוכיח את התוצאהציור אותו לאורך מספר הקצוות, הפאות או הקודקודים של הגרף.
הוכחה של Rademacher ו-Toeplitz
אטרקטיבית במיוחד היא ההוכחה הבאה של Rademacher ו-Toeplitz, המבוססת על הגישה של פון Staudt. כדי להצדיק את משפט אוילר, נניח ש-G הוא גרף מחובר המוטבע במישור. אם יש לו סכמות, אפשר להוציא קצה אחד מכל אחת מהן באופן שישמר את המאפיין שיישאר מחובר. ישנה התאמה אחת לאחד בין החלקים שהוסרו עבור מעבר לגרף המחובר ללא סגירה לבין אלו שאינם קצה אינסופי. מחקר זה הוביל לסיווג של "משטחים ניתנים לכיוון" במונחים של מה שנקרא מאפיין אוילר.
עקומת ירדן. משפט
התזה העיקרית, המשמשת במישרין או בעקיפין בהוכחת נוסחת הפוליהדרה של משפט אוילר לגרפים, תלויה בעקומת הירדן. רעיון זה קשור להכללה. הוא אומר שכל עקומה סגורה פשוטה מחלקת את המישור לשלוש קבוצות: נקודות עליו, בתוכו ומחוצה לו. ככל שהתפתח העניין בנוסחה הפולידרית של אוילר במאה התשע-עשרה, נעשו ניסיונות רבים להכליל אותה. מחקר זה הניח את הבסיס לפיתוח הטופולוגיה האלגברית וחיבר אותה עם אלגברה ותורת המספרים.
קבוצת Moebius
עד מהרה התגלה שחלק משטחים יכולים להיות "לכוון" באופן עקבי רק מקומית, לא גלובלית. קבוצת מוביוס הידועה משמשת המחשה לכאלהמשטחים. זה התגלה קצת קודם לכן על ידי יוהאן ליסטינג. מושג זה כולל את הרעיון של הסוג של גרף: המספר הקטן ביותר של מתארים g. יש להוסיף אותו על פני הכדור, וניתן להטמיע אותו על המשטח המורחב כך שהקצוות נפגשים רק בקודקודים. מסתבר שכל משטח שניתן להתמצא במרחב האוקלידי יכול להיחשב ככדור עם מספר מסוים של ידיות.
דיאגרמת אוילר
המדען גילה תגלית נוספת, שנמצאת בשימוש עד היום. מה שנקרא דיאגרמת אוילר היא ייצוג גרפי של מעגלים, המשמש בדרך כלל להמחשת יחסים בין קבוצות או קבוצות. התרשימים כוללים בדרך כלל צבעים המשתלבים באזורים שבהם העיגולים חופפים. סטים מיוצגים במדויק על ידי עיגולים או אליפסות, אם כי ניתן להשתמש גם בדמויות אחרות עבורם. הכללה מיוצגת על ידי חפיפה של אליפסות הנקראות עיגולי אוילר.
הם מייצגים קבוצות ותתי קבוצות. היוצא מן הכלל הוא מעגלים שאינם חופפים. דיאגרמות אוילר קשורות קשר הדוק לייצוג גרפי אחר. לעתים קרובות הם מבולבלים. ייצוג גרפי זה נקרא דיאגרמות Venn. בהתאם לסטים המדוברים, שתי הגרסאות עשויות להיראות זהות. עם זאת, בדיאגרמות Venn, עיגולים חופפים לא בהכרח מצביעים על משותף בין קבוצות, אלא רק על קשר לוגי אפשרי אם התוויות שלהם אינן במעגל מצטלב. שתי האפשרויות אומצו להוראת תורת הקבוצות כחלק מהתנועה המתמטית החדשה של שנות ה-60.
משפטי פרמה ואולר
אולר הותיר חותם בולט במדע המתמטי. תורת המספרים האלגברית הועשרת במשפט הקרוי על שמו. היא גם תוצאה של תגלית חשובה נוספת. זהו מה שנקרא משפט לגראנז' האלגברי הכללי. שמו של אוילר קשור גם למשפט הקטן של פרמה. זה אומר שאם p הוא מספר ראשוני ו-a הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב-p, אז:
ap-1 - 1 מתחלק ב-p.
לפעמים לאותה תגלית יש שם אחר, לרוב נמצא בספרות זרה. זה נשמע כמו משפט חג המולד של פרמה. העניין הוא שהתגלית נודעה בזכות מכתב של מדען שנשלח בערב ה-25 בדצמבר 1640. אבל ההצהרה עצמה כבר נתקלה בעבר. הוא שימש מדען אחר בשם אלברט ז'ירארד. פרמה רק ניסה להוכיח את התיאוריה שלו. המחבר רומז במכתב אחר שהוא קיבל השראה משיטת הירידה האינסופית. אבל הוא לא סיפק שום ראיה. מאוחר יותר פנה גם איידר לאותה שיטה. ואחריו - מדענים מפורסמים רבים אחרים, כולל לגרנז', גאוס ומינקוסקי.
תכונות של זהויות
המשפט הקטן של פרמה נקרא גם מקרה מיוחד של משפט מתורת המספרים עקב אוילר. בתיאוריה זו, פונקציית הזהות אוילר סופרת מספרים שלמים חיוביים עד מספר שלם נתון n. הם קופריים ביחס לנ. משפט אוילר בתורת המספרים נכתב באמצעות האות היוונית φ ונראה כמו φ(n). ניתן להגדיר זאת בצורה רשמית יותר כמספר המספרים השלמים k בטווח 1 ≦ k ≦ n שעבורם המחלק המשותף הגדול ביותר gcd(n, k) הוא 1. ניתן לקרוא לסימון φ(n) גם פונקציית ה-phi של אוילר. מספרים שלמים k של צורה זו נקראים לפעמים טוטטיביים. בלב תורת המספרים, פונקציית הזהות אוילר היא מכפלת, כלומר אם שני מספרים m ו-n הם ראשוניים, אז φ(mn)=φ(m)φ(n). זה גם ממלא תפקיד מפתח בהגדרת מערכת ההצפנה RSA.
פונקציית אוילר הוצגה בשנת 1763. עם זאת, באותה תקופה המתמטיקאי לא בחר עבורה שום סמל ספציפי. בפרסום משנת 1784, אוילר חקר פונקציה זו ביתר פירוט ובחר באות היוונית π לייצג אותה. ג'יימס סילבסטר טבע את המונח "סה"כ" לתכונה זו. לכן, הוא מכונה גם הסכום הכולל של אוילר. סך ה-φ(n) של מספר שלם חיובי n הגדול מ-1 הוא מספר המספרים השלמים החיוביים הקטן מ-n שהם ראשוניים יחסית עד n.φ(1) מוגדר כ-1. הפונקציה אוילר או פונקציית phi(φ) היא תורת המספרים חשובה מאוד פונקציה הקשורה עמוקות למספרים ראשוניים ולמה שנקרא סדר המספרים השלמים.
