לאונהרד אוילר (1707-1783) - מתמטיקאי שוויצרי ורוסי מפורסם, חבר באקדמיה למדעים של סנט פטרבורג, חי רוב חייו ברוסיה. המפורסם ביותר בניתוח מתמטי, סטטיסטיקה, מדעי המחשב והלוגיקה הוא מעגל אוילר (דיאגרמת אוילר-ון), המשמשת לציון היקף המושגים וקבוצות האלמנטים.
John Venn (1834-1923) - פילוסוף ולוגיקן אנגלי, מחבר שותף של דיאגרמת אוילר-ון.
מושגים תואמים ולא תואמים
תחת המושג בלוגיקה פירושו צורת חשיבה המשקפת את התכונות החיוניות של מחלקה של אובייקטים הומוגניים. הם מסומנים על ידי מילים אחת או קבוצת מילים: "מפת העולם", "אקורד חמישי-שביעית דומיננטי", "יום שני" וכו'.
במקרה שבו מרכיבי ההיקף של מושג אחד שייכים באופן מלא או חלקי לתחום של אחר, מדברים על מושגים תואמים. עם זאת, אם שום מרכיב בהיקף של מושג מסוים לא שייך לתחום של אחר, יש לנו מושגים לא תואמים.
בתורו, לכל סוג מושג יש מערכת יחסים אפשרית משלו. עבור מושגים תואמים, אלה הם:
- זהות (שקילות) של כרכים;
- הצלבה (התאמה חלקית)כרכים;
- כפיפות (כפיפות).
ללא תואם:
- כפיפות (תיאום);
- מנוגד (ניגודיות);
- סתירה (סתירה).
באופן סכמטי, היחסים בין מושגים בלוגיקה מסומנים בדרך כלל באמצעות עיגולי אוילר-ון.
יחסים שווים
במקרה זה, המושגים מתכוונים לאותו נושא. בהתאם לכך, הנפחים של מושגים אלה זהים לחלוטין. לדוגמה:
A - זיגמונד פרויד;
B הוא המייסד של הפסיכואנליזה.
או:
A הוא ריבוע;
B הוא מלבן שווה צלעות;
C הוא מעוין שווה-זווית.
מעגלי אוילר חופפים לחלוטין משמשים לייעוד.
צומת (התאמה חלקית)
קטגוריה זו כוללת מושגים בעלי אלמנטים משותפים הקשורים למעבר. כלומר, הנפח של אחד המושגים כלול בחלקו בנפח השני:
A - מורה;
B הוא חובב מוזיקה.
כפי שניתן לראות מדוגמה זו, נפחי המושגים תואמים חלקית: קבוצה מסוימת של מורים עשויה להתברר כחובבי מוזיקה, ולהיפך - יתכן שיהיו נציגים של מקצוע ההוראה בקרב אוהבי המוזיקה. גישה דומה תהיה במקרה כאשר מושג א' הוא, למשל, "אזרח", וב' הוא "נהג".
כפיפות (כפיפות)
מסומן באופן סכמטי כמעגלי אוילר בסולמות שונים. יחסיםבין מושגים במקרה זה מאופיינים בכך שהמושג הכפוף (קטן יותר בנפח) כלול לחלוטין בכפיף (גדול יותר בנפח). יחד עם זאת, מושג הכפיף אינו ממצה לחלוטין את הכפוף.
לדוגמה:
A - עץ;
B - אורן.
מושג B יהיה כפוף למושג A. מכיוון שאורן שייך לעצים, מושג A בדוגמה זו הופך לכפוף, ו"סופג" את היקף המושג B.
קואורדינציה (תיאום)
יחס מאפיין שני מושגים או יותר שמוציאים זה את זה, אך שייכים למעגל גנרי משותף מסוים. לדוגמה:
A – קלרינט;
B - גיטרה;
C - כינור;
D הוא כלי נגינה.
המושגים A,B,C אינם מצטלבים זה בזה, אולם כולם שייכים לקטגוריית כלי הנגינה (המושג D).
הפוכה (הפוכה)
יחסים הפוכים בין מושגים מרמזים שמושגים אלה שייכים לאותו סוג. יחד עם זאת, לאחד המושגים יש תכונות מסוימות (תכונות), בעוד שהשני מכחיש אותם, ומחליף אותם באלה מנוגדים בטבע. לפיכך, אנו עוסקים באנטונימים. לדוגמה:
A הוא גמד;
B הוא ענק.
מעגל אוילר עם יחסים הפוכים בין מושגיםמחולק לשלושה מקטעים, שהראשון שבהם מתאים למושג A, השני למושג B, והשלישי לכל שאר המושגים האפשריים.
סתירה (סתירה)
במקרה זה, שני המושגים הם מינים מאותו סוג. כמו בדוגמה הקודמת, אחד המושגים מצביע על תכונות מסוימות (תכונות), בעוד שהשני מכחיש אותן. אולם, בניגוד ליחס ההפכים, המושג השני, המנוגד, אינו מחליף את הנכסים המוכחשים בנכסים אחרים, אלטרנטיביים. לדוגמה:
A היא משימה קשה;
B היא משימה קלה (לא-A).
מבטא את נפח המושגים מהסוג הזה, מעגל אוילר מחולק לשני חלקים - החוליה השלישית, הביניים במקרה זה, אינה קיימת. לפיכך, המושגים הם גם אנטונימים. במקביל, אחד מהם (A) הופך לחיובי (המאשר תכונה כלשהי), והשני (B או לא-A) הופך לשלילי (שלול את התכונה המתאימה): "נייר לבן" - "לא נייר לבן", " היסטוריה לאומית" - "היסטוריה זרה", וכו'.
לפיכך, היחס בין נפחי המושגים ביחס זה לזה הוא מאפיין מפתח המגדיר את מעגלי אוילר.
יחסים בין סטים
יש גם צורך להבחין בין המושגים של אלמנטים וקבוצות, שנפחם מוצג על ידי מעגלי אוילר. המושג קבוצה שאול מהמדע המתמטי ויש לו משמעות רחבה למדי. דוגמאות בלוגיקה ומתמטיקה מציגות אותו כקבוצה מסוימת של אובייקטים. החפצים עצמם הםמרכיבים של סט זה. "רבים הם רבים חושבים כאחד" (ג'ורג קנטור, מייסד תורת הקבוצות).
קבוצות מסומנות באותיות גדולות: A, B, C, D… וכו', אלמנטים של קבוצות מסומנים באותיות קטנות: a, b, c, d… וכו'. דוגמאות לקבוצה יכולות להיות תלמידים אשר נמצאים בכיתות אחת, ספרים על מדף מסוים (או, למשל, כל הספרים בספרייה מסוימת), דפים ביומן, פירות יער בקרחת יער וכו'.
בתורו, אם קבוצה מסוימת אינה מכילה אלמנט בודד, היא נקראת ריקה ומסומנת בסימן Ø. לדוגמה, קבוצת נקודות החיתוך של קווים מקבילים, קבוצת הפתרונות למשוואה x2=-5.
פתרון בעיות
מעגלי אוילר משמשים באופן פעיל לפתרון מספר רב של בעיות. דוגמאות בלוגיקה מדגימות בבירור את הקשר בין פעולות לוגיות לתורת הקבוצות. במקרה זה, נעשה שימוש בטבלאות אמת של מושגים. לדוגמה, העיגול המסומן A מייצג את אזור האמת. אז השטח שמחוץ למעגל ייצג שקר. כדי לקבוע את שטח הדיאגרמה לפעולה לוגית, עליך לצל את השטחים המגדירים את מעגל אוילר, שבהם ערכיו עבור הרכיבים A ו-B יהיו נכונים.
השימוש בחוגי אוילר מצא יישום מעשי רחב בתעשיות שונות. למשל, במצב עם בחירה מקצועית. אם הנבדק מודאג לגבי בחירת מקצוע עתידי, הוא יכול להיות מונחה על ידי הקריטריונים הבאים:
W – מה אני אוהב לעשות?
D – מה אני עושה?
P– איך אני יכול להרוויח כסף טוב?
בוא נצייר את זה כתרשים: עיגולי אוילר (דוגמאות בלוגיקה - יחס צומת):
התוצאה תהיה אותם מקצועות שיהיו בצומת של כל שלושת המעגלים.
מעגלי אוילר-ון תופסים מקום נפרד במתמטיקה (תורת הקבוצות) בעת חישוב צירופים ומאפיינים. עיגולי אוילר של קבוצת האלמנטים סגורים בתמונה של מלבן המציין את הסט האוניברסלי (U). במקום עיגולים אפשר להשתמש גם בדמויות סגורות אחרות, אבל המהות של זה לא משתנה. הדמויות מצטלבות זו בזו, בהתאם לתנאי הבעיה (במקרה הכללי ביותר). כמו כן, יש לסמן נתונים אלה בהתאם. המרכיבים של הקבוצות הנבדקות יכולים להיות נקודות הממוקמות בתוך מקטעים שונים של התרשים. בהתבסס על זה, אתה יכול להצל אזורים ספציפיים, ובכך לייעד את הסטים החדשים שנוצרו.
עם קבוצות אלו ניתן לבצע פעולות מתמטיות בסיסיות: חיבור (סכום קבוצות של יסודות), חיסור (הפרש), כפל (מכפלה). בנוסף, הודות לדיאגרמות אוילר-ון, ניתן להשוות בין קבוצות לפי מספר האלמנטים הכלולים בהן, בלי לספור אותם.
