בתיאור המתמטי של תנועה סיבובית, חשוב לדעת את מומנט האינרציה של המערכת על הציר. במקרה הכללי, הליך מציאת כמות זו כרוך ביישום תהליך האינטגרציה. מה שנקרא משפט שטיינר מקל על החישוב. בואו נשקול את זה ביתר פירוט במאמר.
מהו רגע האינרציה?
לפני מתן ניסוח משפט שטיינר, יש צורך להתמודד עם עצם המושג של מומנט האינרציה. נניח שיש גוף כלשהו בעל מסה מסוימת וצורה שרירותית. גוף זה יכול להיות נקודה חומרית או כל עצם דו-ממדי או תלת-ממדי (מוט, גליל, כדור וכו'). אם האובייקט המדובר מבצע תנועה מעגלית סביב ציר כלשהו עם תאוצה זוויתית קבועה α, אז ניתן לכתוב את המשוואה הבאה:
M=Iα
כאן, הערך M מייצג את מומנט הכוחות הכולל, שנותן תאוצה α לכל המערכת. מקדם המידתיות ביניהם - אני, נקרארגע של אינרציה. כמות פיזית זו מחושבת באמצעות הנוסחה הכללית הבאה:
I=∫m (r2dm)
כאן r הוא המרחק בין האלמנט בעל המסה dm לבין ציר הסיבוב. ביטוי זה אומר שיש צורך למצוא את סכום המכפלה של המרחקים בריבוע r2 והמסה היסודית dm. כלומר, מומנט האינרציה אינו מאפיין טהור של הגוף, מה שמבדיל אותו מאינרציה לינארית. זה תלוי בחלוקת המסה בכל העצם המסתובב, כמו גם במרחק לציר ובכיוון הגוף ביחס אליו. לדוגמה, למוט יהיה I שונה אם הוא מסובב סביב מרכז המסה ובסביבות הקצה.
רגע אינרציה ומשפט שטיינר
המתמטיקאי השוויצרי המפורסם, יעקב שטיינר, הוכיח את המשפט על צירים מקבילים ואת רגע האינרציה, הנושא כעת את שמו. משפט זה מניח כי מומנט האינרציה עבור כל גוף קשיח בעל גיאומטריה שרירותית ביחס לציר סיבוב כלשהו שווה לסכום מומנט האינרציה סביב הציר החותך את מרכז המסה של הגוף ומקביל לראשון., ומכפלת מסת הגוף כפול ריבוע המרחק בין הצירים הללו. מבחינה מתמטית, ניסוח זה כתוב כך:
IZ=IO + ml2
IZ ו-IO - רגעי אינרציה על ציר ה-Z וציר ה-O המקביל לו, העובר דרך מרכז המסה של הגוף, l - מרחק בין הקווים Z ו-O.
המשפט מאפשר, לדעת את הערך של IO, לחשבכל רגע אחר IZ על ציר המקביל ל-O.
הוכחה למשפט
נוסחת משפט שטיינר ניתן להשיג בקלות בעצמך. לשם כך, שקול גוף שרירותי במישור ה-xy. תן למקור הקואורדינטות לעבור דרך מרכז המסה של הגוף הזה. בוא נחשב את מומנט האינרציה IO שעובר דרך המוצא בניצב למישור ה-xy. מכיוון שהמרחק לכל נקודה בגוף מבוטא בנוסחה r=√ (x2 + y2), אז נקבל את האינטגרל:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
עכשיו נזיז את הציר מקביל לאורך ציר ה-x במרחק l, למשל, בכיוון החיובי, ואז החישוב עבור הציר החדש של מומנט האינרציה ייראה כך:
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
הרחב את הריבוע המלא בסוגריים וחלק את האינטגרנדים, נקבל:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2) +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
הראשון מבין המונחים האלה הוא הערך IO, האיבר השלישי, לאחר אינטגרציה, נותן את המונח l2m, וכאן האיבר השני הוא אפס. האפס של האינטגרל שצוין נובע מהעובדה שהוא נלקח מהמכפלה של יסודות x ומסה dm, אשר בהממוצע נותן אפס, מכיוון שמרכז המסה נמצא במקור. כתוצאה מכך מתקבלת הנוסחה של משפט שטיינר.
ניתן להכליל את המקרה הנחשב במישור לגוף תלת מימדי.
בדיקת נוסחת שטיינר בדוגמה של מוט
בוא ניתן דוגמה פשוטה כדי להדגים כיצד להשתמש במשפט שלמעלה.
ידוע כי עבור מוט באורך L ומסה m, מומנט האינרציה IO(הציר עובר דרך מרכז המסה) שווה ל-m L2 /12, והרגע IZ(הציר עובר דרך קצה המוט) שווה ל-mL 2/3. בואו נבדוק את הנתונים האלה באמצעות משפט שטיינר. מכיוון שהמרחק בין שני הסרנים הוא L/2, אז נקבל את הרגע IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
כלומר, בדקנו את נוסחת שטיינר וקיבלנו את אותו ערך עבור IZ כמו במקור.
ניתן לבצע חישובים דומים עבור גופים אחרים (צילינדר, כדור, דיסק), תוך השגת רגעי האינרציה הדרושים, וללא ביצוע אינטגרציה.
רגע אינרציה וצירים מאונכים
המשפט הנחשב נוגע לצירים מקבילים. לשלמות המידע, כדאי גם לתת משפט עבור צירים מאונכים. הוא מנוסח באופן הבא: עבור עצם שטוח בעל צורה שרירותית, מומנט האינרציה סביב ציר המאונך לו יהיה שווה לסכום של שני מומנטים של אינרציה בערך שניים מאונכים זה לזה ושוכבים.במישור עצם הצירים, כאשר כל שלושת הצירים עוברים דרך אותה נקודה. מבחינה מתמטית, זה כתוב כך:
Iz=Ix + Iy
כאן z, x, y הם שלושה צירי סיבוב מאונכים זה לזה.
ההבדל המהותי בין משפט זה למשפט שטיינר הוא שהוא ישים רק על עצמים מוצקים שטוחים (דו-ממדיים). עם זאת, בפועל הוא נמצא בשימוש נרחב, חותך את הגוף לשכבות נפרדות, ואז מוסיף את רגעי האינרציה שהתקבלו.
