משטחים מסדר שני: דוגמאות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

התלמיד נתקל לרוב במשטחים מסדר 2 בשנה הראשונה. בהתחלה, משימות בנושא זה עשויות להיראות פשוטות, אבל ככל שאתה לומד מתמטיקה גבוהה יותר ומעמיק אל הצד המדעי, אתה יכול סוף סוף להפסיק להתמצא במה שקורה. כדי למנוע זאת, יש צורך לא רק לשנן, אלא להבין כיצד מתקבל משטח זה או אחר, כיצד שינוי המקדמים משפיע עליו ועל מיקומו ביחס למערכת הקואורדינטות המקורית וכיצד למצוא מערכת חדשה. (כזה שמרכזו חופף לקואורדינטות המוצא, וציר הסימטריה מקביל לאחד מצירי הקואורדינטות). בואו נתחיל מההתחלה.

הגדרה

GMT נקרא משטח מסדר שני, שהקואורדינטות שלו עומדות במשוואה הכללית של הצורה הבאה:

F(x, y, z)=0.

ברור שלכל נקודה השייכת למשטח חייבת להיות שלוש קואורדינטות בבסיס ייעודי כלשהו. למרות שבמקרים מסוימים מוקד הנקודות יכול להתדרדר, למשל, למישור. זה רק אומר שאחת הקואורדינטות קבועה ושווה לאפס בכל טווח הערכים המקובלים.

הצורה המצוירת המלאה של השוויון שהוזכר לעיל נראית כך:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – כמה קבועים, x, y, z – משתנים התואמים לקואורדינטות קשורות של נקודה כלשהי. במקרה זה, לפחות אחד מהגורמים הקבועים לא יהיה שווה לאפס, כלומר אף נקודה לא תתאים למשוואה.}

ברוב המכריע של הדוגמאות, גורמים מספריים רבים עדיין שווים לאפס באופן זהה, והמשוואה מפושטת מאוד. בפועל, לא קשה לקבוע אם נקודה שייכת למשטח (מספיק להחליף את הקואורדינטות שלה לתוך המשוואה ולבדוק אם הזהות נצפית). נקודת המפתח בעבודה כזו היא להביא את האחרון לצורה קנונית.

המשוואה הכתובה למעלה מגדירה את כל המשטחים (כולם הרשומים למטה) מהסדר השני. נשקול דוגמאות להלן.

סוגי משטחים מהסדר השני

משוואות משטחים מסדר 2 נבדלות רק בערכי המקדמים A_{nm. מהמבט הכללי, עבור ערכים מסוימים של הקבועים, ניתן לקבל משטחים שונים, המסווגים כדלקמן:}

1. צילינדרים.
2. סוג אליפטי.
3. סוג היפרבולי.
4. סוג חרוטי.
5. סוג פרבולי.
6. מטוסים.

לכל אחד מהטיפוסים המפורטים יש צורה טבעית ודמיונית: בצורה הדמיונית, מוקד הנקודות האמיתיות מתדרדר לדמות פשוטה יותר, או שהוא נעדר כליל.

צילינדרים

זהו הסוג הפשוט ביותר, שכן עקומה מורכבת יחסית נמצאת רק בבסיס, ומשמשת כמנחה. המחוללים הם קווים ישרים המאונכים למישור בו הבסיס נמצא.

הגרף מציג גליל עגול, מקרה מיוחד של גליל אליפטי. במישור XY ההקרנה שלו תהיה אליפסה (במקרה שלנו עיגול) - מנחה, וב-XZ - מלבן - היות והגנרטורים מקבילים לציר Z. כדי לקבל את זה מהמשוואה הכללית צריך לתת למקדמים את הערכים הבאים:

במקום הסמלים הרגילים x, y, z, x עם מספר סידורי - זה לא משנה.

למעשה, 1/a2ושאר הקבועים המצוינים כאן הם אותם מקדמים המצוינים במשוואה הכללית, אבל נהוג לכתוב אותם בצורה זו - זהו הייצוג הקנוני. יתר על כן, ישמש רק סימון כזה.

כך מוגדר גליל היפרבולי. הסכימה זהה - ההפרבולה תהיה המדריך.

y2=2px

גליל פרבולי מוגדר בצורה שונה במקצת: צורתו הקנונית כוללת מקדם p, הנקרא פרמטר. למעשה, המקדם שווה ל-q=2p, אך נהוג לחלקו לשני הגורמים המוצגים.

יש עוד סוג של צילינדר: דמיוני. שום נקודה אמיתית לא שייכת לצילינדר כזה. זה מתואר על ידי המשוואהגליל אליפטי, אבל במקום יחידה הוא -1.

סוג אליפטי

ניתן למתוח אליפסואיד לאורך אחד הצירים (שלאורכו הוא תלוי בערכי הקבועים a,b,c, המצוינים למעלה; ברור שמקדם גדול יותר יתאים לציר הגדול יותר).

יש גם אליפסואיד דמיוני - בתנאי שסכום הקואורדינטות כפול המקדמים הוא -1:

Hyperboloids

כאשר מופיע מינוס באחד הקבועים, המשוואה האליפסואידית הופכת למשוואה של היפרבולואיד בעל גיליון אחד. יש להבין שהמינוס הזה לא חייב להיות ממוקם לפני הקואורדינטה x₃! זה רק קובע איזה מהצירים יהיה ציר הסיבוב של ההיפרבולואיד (או מקביל לו, שכן כאשר מופיעים איברים נוספים בריבוע (לדוגמה, (x-2)^{2) מרכז הדמות זז, כתוצאה מכך, המשטח נע במקביל לצירי הקואורדינטות). זה חל על כל משטחי הסדר השני.}

חוץ מזה, אתה צריך להבין שהמשוואות מוצגות בצורה קנונית וניתן לשנות אותן על ידי שינוי הקבועים (עם הסימן שמור!); בעוד שצורתם (היפרבולואיד, קונוס וכן הלאה) תישאר זהה.

המשוואה הזו כבר ניתנת על ידי היפרבולואיד בעל שני גיליונות.

משטח חרוטי

אין יחידה במשוואת החרוט - שוויון לאפס.

רק משטח חרוטי מוגבל נקרא חרוט. התמונה למטה מראה שלמעשה יהיו שני מה שנקרא קונוסים בתרשים.

הערה חשובה: בכל המשוואות הקנוניות הנחשבות, הקבועים נלקחים כחיוביים כברירת מחדל. אחרת, הסימן עשוי להשפיע על התרשים הסופי.

מישורי הקואורדינטות הופכים למישורי הסימטריה של החרוט, מרכז הסימטריה ממוקם במקור.

יש רק פלוסים במשוואת החרוט הדמיונית; יש לה נקודה אחת אמיתית אחת.

Paraboloids

משטחים מסדר שני במרחב יכולים ללבוש צורות שונות אפילו עם משוואות דומות. לדוגמה, ישנם שני סוגים של פרבולואידים.

x²/a²+y²/b^2=2z

פרבולואיד אליפטי, כאשר ציר ה-Z מאונך לשרטוט, יוקרן לתוך אליפסה.

x²/a²-y²/b^2=2z

פרבולואיד היפרבולי: קטעים עם מישורים מקבילים ל-ZY יפיקו פרבולות, וקטעים עם מישורים מקבילים ל-XY יפיקו היפרבולות.

מטוסים מצטלבים

יש מקרים שבהם משטחים מהסדר השני מתדרדרים למישור. ניתן לארגן את המטוסים הללו בדרכים שונות.

שקול תחילה את המטוסים המצטלבים:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

שינוי זה של המשוואה הקנונית מביא לשני מישורים מצטלבים בלבד (דמיוני!); כל הנקודות האמיתיות נמצאות על ציר הקואורדינטה שחסרה במשוואה (בקנונית - ציר Z).

מטוסים מקבילים

y²=a²

כאשר יש רק קואורדינטה אחת, המשטחים מהסדר השני מתדרדרים לזוג מישורים מקבילים. זכור, כל משתנה אחר יכול לתפוס את מקומו של Y; אז יתקבלו מטוסים מקבילים לצירים אחרים.

y²=−a²

במקרה זה, הם הופכים לדמיוניים.

מטוסים מקבילים

y2=0

עם משוואה כל כך פשוטה, זוג מטוסים מתנוון לאחד - הם חופפים.

אל תשכח שבמקרה של בסיס תלת מימדי, המשוואה לעיל אינה מגדירה את הישר y=0! חסרים לו שני המשתנים האחרים, אבל זה רק אומר שהערך שלהם קבוע ושווה לאפס.

בניין

אחת המשימות הקשות ביותר לתלמיד היא בניית משטחים מסדר 2. קשה עוד יותר לעבור ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת, בהתחשב בזוויות העקומה ביחס לצירים והיסט של המרכז. בואו נחזור על איך לקבוע באופן עקבי את התצוגה העתידית של הציור עם אנליטיתדרך.

כדי לבנות משטח מסדר שני, אתה צריך:

• הביא את המשוואה לצורה קנונית;
• קבע את סוג המשטח הנבדק;
• בנייה מבוססת על ערכי מקדם.

להלן כל הסוגים הנחשבים:

כדי לאחד, נתאר בפירוט דוגמה אחת לסוג זה של משימות.

דוגמאות

נניח שיש משוואה:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

בוא נביא את זה לצורה הקנונית. הבה נפרט את הריבועים המלאים, כלומר, נסדר את האיברים הזמינים בצורה כזו שהם הרחבה של ריבוע הסכום או ההפרש. לדוגמה: אם (a+1)²=a²+2a+1 אז a²+2a +1=(a+1)^{2. אנחנו נבצע את המבצע השני. במקרה זה, אין צורך לפתוח את הסוגריים, כי זה רק יסבך את החישובים, אלא יש צורך להוציא את הגורם המשותף 6 (בסוגריים עם הריבוע המלא של ה-Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

המשתנה z מופיע במקרה זה רק פעם אחת - אתה יכול להשאיר אותו לבד לעת עתה.

אנו מנתחים את המשוואה בשלב זה: לפני כל הלא ידועים סימן פלוס; כאשר מחלקים בשש, נשאר אחד. לכן, יש לנו משוואה שמגדירה אליפסואיד.

שים לב ש-144 הוכנס ל-150-6, ולאחר מכן ה-6 הוזז ימינה. למה זה היה צריך להיעשות ככה? ברור שהמחלק הגדול ביותר בדוגמה זו הוא -6, כך שלאחר מחלקים בואחד נשאר מימין, יש צורך "לדחות" בדיוק 6 מ-144 (העובדה שצריך להיות מימין מסומנת על ידי נוכחות של מונח חופשי - קבוע שאינו מוכפל בלא ידוע).

חלק הכל בשש וקבל את המשוואה הקנונית של האליפסואיד:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

בסיווג הקודם של משטחים מהסדר השני, נחשב מקרה מיוחד כאשר מרכז הדמות נמצא במקור הקואורדינטות. בדוגמה זו, הוא מאופסט.

אנו מניחים שכל סוגריים עם לא ידועים הוא משתנה חדש. כלומר: a=x-1, b=y+5, c=z. בקואורדינטות החדשות, מרכז האליפסואיד חופף לנקודה (0, 0, 0), לכן, a=b=c=0, משם: x=1, y=-5, z=0. בקואורדינטות הראשוניות, מרכז הדמות נמצא בנקודה (1, -5, 0).

אליפסואיד יתקבל משתי אליפסות: הראשונה במישור XY והשנייה במישור XZ (או YZ - זה לא משנה). המקדמים שבהם מחולקים המשתנים מחולקים בריבוע במשוואה הקנונית. לכן, בדוגמה לעיל, יהיה נכון יותר לחלק בשורש של שניים, אחד ובשורש של שלוש.

הציר המשני של האליפסה הראשונה, מקביל לציר Y, הוא שני. הציר הראשי המקביל לציר ה-x הוא שני שורשים של שניים. הציר המשני של האליפסה השנייה, מקביל לציר Y, נשאר זהה - הוא שווה לשניים. והציר הראשי, מקביל לציר Z, שווה לשני שורשים של שלושה.

בעזרת הנתונים המתקבלים מהמשוואה המקורית על ידי המרה לצורה הקנונית, נוכל לצייר אליפסואיד.

סיכום

מכוסה במאמר זההנושא הוא די נרחב, אבל למעשה, כפי שאתה יכול לראות כעת, לא מאוד מסובך. הפיתוח שלו, למעשה, מסתיים ברגע שבו אתה משנן את השמות והמשוואות של משטחים (וכמובן, איך הם נראים). בדוגמה לעיל, דנו בכל שלב בפירוט, אך הבאת המשוואה לצורה הקנונית דורשת ידע מינימלי במתמטיקה גבוהה יותר ולא אמורה לגרום לקשיים כלשהם לתלמיד.

ניתוח לוח הזמנים העתידי על השוויון הקיים הוא כבר משימה קשה יותר. אבל לפתרון המוצלח שלו, מספיק להבין איך בנויות עקומות מסדר שני מתאימות - אליפסות, פרבולות ואחרות.

מקרי ניוון - סעיף פשוט עוד יותר. בשל היעדר משתנים מסוימים, לא רק החישובים מפושטים, כאמור, אלא גם הבנייה עצמה.

ברגע שאתה יכול לתת שם בבטחה לכל סוגי המשטחים, שנה את הקבועים, הפוך את הגרף לצורה כזו או אחרת - הנושא יהיה שליטה.

הצלחה בלימודים!