כאשר בוחנים דמויות בחלל, לעתים קרובות מתעוררות בעיות בקביעת שטח הפנים שלהן. דמות אחת כזו היא החרוט. שקול במאמר מהו משטח הצד של חרוט בעל בסיס עגול, וכן חרוט קטום.
קונוס עם בסיס עגול
לפני שנמשיך לבחון את פני השטח הרוחביים של החרוט, נראה באיזה סוג דמות מדובר וכיצד משיגים אותו בשיטות גיאומטריות.
קח משולש ישר זווית ABC, כאשר AB ו-AC הם רגליים. בואו נשים את המשולש הזה על רגל AC ונסובב אותו סביב רגל AB. כתוצאה מכך, הצדדים AC ו-BC מתארים שני משטחים של האיור המוצג להלן.
הדמות המתקבלת בסיבוב נקראת חרוט ישר עגול. הוא עגול כי הבסיס שלו הוא עיגול, וישר כי מאונך המצויר מראש האיור (נקודה B) חוצה את המעגל במרכזו. אורכו של הניצב הזה נקרא גובה. ברור שזה שווה לרגל AB.הגובה מסומן בדרך כלל באות h.
מלבד הגובה, החרוט הנחשב מתואר על ידי שני מאפיינים ליניאריים נוספים:
- generating, או generatrix (hypotenuse BC);
- רדיוס הבסיס (רגל AC).
הרדיוס יסומן באות r, והמחולל ב-g. לאחר מכן, בהתחשב במשפט פיתגורס, נוכל לרשום את השוויון החשוב לדמות הנבדקת:
g2=h2+ r2
משטח חרוטי
המכלול של כל המחוללים יוצר משטח חרוטי או רוחבי של חרוט. במראה, קשה לדעת לאיזו דמות שטוחה היא מתאימה. זה האחרון חשוב לדעת בעת קביעת השטח של משטח חרוטי. כדי לפתור בעיה זו, נעשה שימוש בשיטת הסוויפ. הוא מורכב מהדברים הבאים: משטח נחתך נפשית לאורך גנרטריקס שרירותי, ואז הוא נפרש על מישור. בשיטה זו להשגת סוויפ, נוצרת הדמות השטוחה הבאה.
כפי שאפשר לנחש, העיגול מתאים לבסיס, אבל המגזר העגול הוא משטח חרוטי, שהשטח שבו אנו מעוניינים. המגזר תחום על ידי שני גנרטורים וקשת. אורכו של האחרון שווה בדיוק להיקף (אורך) היקף הבסיס. מאפיינים אלה קובעים באופן ייחודי את כל המאפיינים של המגזר העגול. לא ניתן חישובי ביניים מתמטיים, אלא מיד נכתוב את הנוסחה הסופית, באמצעותה ניתן לחשב את שטח פני השטח של החרוט. הנוסחה היא:
Sb=pigr
השטח של משטח חרוטי Sbשווה למכפלה של שני פרמטרים ו-Pi.
חרוט קטום והמשטח שלו
אם ניקח חרוט רגיל ונחתוך את החלק העליון שלו במישור מקביל, הדמות הנותרת תהיה חרוט קטום. פני השטח הצדדיים שלו מוגבלים על ידי שני בסיסים עגולים. נסמן את הרדיוסים שלהם כ-R ו-r. נסמן את גובה הדמות ב-h, ואת הגנרטריקס ב-g. להלן מגזרת נייר עבור הדמות הזו.
ניתן לראות שמשטח הצד אינו עוד מגזר מעגלי, הוא קטן יותר בשטחו, מאחר והחלק המרכזי היה מנותק ממנו. הפיתוח מוגבל לארבעה קווים, שניים מהם הם מקטעי קו ישר-מחוללים, השניים האחרים הם קשתות עם אורכי המעגלים המתאימים של בסיסי החרוט הקטום.
משטח צד Sb מחושב באופן הבא:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, רדיוסים וגובה קשורים בשוויון הבא:
g2=h2+ (R - r)2
הבעיה עם השוויון של אזורי הדמויות
נתון חרוט בגובה 20 ס"מ ורדיוס בסיס של 8 ס"מ. יש צורך למצוא את גובהו של חרוט קטום אשר פני השטח שלו יהיו בעלי שטח זהה לחרוט זה. הדמות הקטומה בנויה על אותו בסיס, ורדיוס הבסיס העליון הוא 3 ס"מ.
קודם כל, בואו נרשום את מצב השוויון של שטחי החרוט והדמות הקטומה. יש לנו:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
עכשיו בואו נכתוב את הביטויים עבור המחוללים של כל צורה:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
תחליף את g1 ו-g2 בנוסחה של שטחים שווים וריבוע את הצדדים השמאלי והימני, נקבל:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r) + R)2
מאיפה אנחנו מקבלים את הביטוי של h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
לא נפשט את השוויון הזה, אלא פשוט נחליף את הנתונים הידועים מהתנאי:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14.85 ס מ
לפיכך, כדי להשוות את שטחי משטחי הצד של הדמויות, על החרוט הקטום להיות הפרמטרים: R=8 ס"מ, r=3 ס"מ, h2≈ 14, 85 ס"מ.
