קונוס הוא אחת הדמויות המרחביות של הסיבוב, שמאפיינים ותכונותיה נלמדים בסטריאומטריה. במאמר זה נגדיר נתון זה ונבחן את הנוסחאות הבסיסיות המקשרות את הפרמטרים הליניאריים של חרוט עם שטח הפנים והנפח שלו.
מהו קונוס?
מנקודת מבט של גיאומטריה, אנחנו מדברים על דמות מרחבית, שנוצרת מקבוצה של קטעים ישרים המחברים נקודה מסוימת במרחב עם כל הנקודות של עקומה שטוחה וחלקה. עקומה זו יכולה להיות עיגול או אליפסה. האיור שלהלן מציג קונוס.
לדמות המוצגת אין נפח, מכיוון שלקירות פני השטח שלה יש עובי אינסופי. עם זאת, אם הוא מלא בחומר ותוחם מלמעלה לא על ידי עקומה, אלא על ידי דמות שטוחה, למשל, עיגול, אז נקבל גוף נפחי מוצק, שנקרא גם קונוס.
ניתן למצוא צורה של חרוט בחיים. אז יש לו גביע גלידה או קונוסי תנועה שחורים וכתומים עם פסים ששמים על הכביש כדי למשוך את תשומת הלב של משתתפי התנועה.
אלמנטים של קונוס וסוגיו
מכיוון שהחרוט אינו רב-הדרון, מספר היסודות היוצרים אותו אינו גדול כמו רב-הידרון. בגיאומטריה, חרוט כללי מורכב מהאלמנטים הבאים:
- base, שהעקומה התוחמת שלו נקראת הכיוון, או הגנרטריקס;
- של המשטח הרוחבי, שהוא אוסף כל הנקודות של מקטעי קו ישר (גנרטריזות) המחברים את הקודקוד והנקודות של עקומת המדריך;
- קודקוד, שהיא נקודת החיתוך של המחוללים.
שימו לב שאסור שהקודקוד יהיה במישור הבסיס, מכיוון שבמקרה זה החרוט מתנוון לדמות שטוחה.
אם נצייר קטע מאונך מלמעלה לבסיס, נקבל את גובה הדמות. אם הבסיס האחרון מצטלב במרכז הגיאומטרי, אז זה חרוט ישר. אם הניצב אינו חופף למרכז הגיאומטרי של הבסיס, אז הדמות תהיה נוטה.
קונוסים ישרים ומלוכסנים מוצגים באיור. כאן, הגובה והרדיוס של בסיס החרוט מסומנים ב-h ו-r, בהתאמה. הקו המחבר בין החלק העליון של הדמות למרכז הגיאומטרי של הבסיס הוא ציר החרוט. ניתן לראות מהאיור שעבור דמות ישרה הגובה נמצא על ציר זה, ולדמות משופעת הגובה יוצר זווית עם הציר. ציר החרוט מסומן באות a.
קונוס ישר עם בסיס עגול
אולי, חרוט זה הוא הנפוץ ביותר מבין מעמד הדמויות הנחשב. הוא מורכב מעיגול וצדמשטחים. לא קשה להשיג אותו בשיטות גיאומטריות. כדי לעשות זאת, קח משולש ישר זווית וסובב אותו סביב ציר החופף לאחת הרגליים. ברור שרגל זו תהפוך לגובה הדמות, ואורך הרגל השנייה של המשולש יוצר את הרדיוס של בסיס החרוט. התרשים שלהלן מדגים את הסכימה המתוארת להשגת נתון הסיבוב המדובר.
ניתן לסובב את המשולש המתואר סביב רגל נוספת, מה שיגרום לקונוס עם רדיוס בסיס גדול יותר וגובה נמוך יותר מהראשון.
כדי לקבוע באופן חד משמעי את כל הפרמטרים של חרוט ישר עגול, יש להכיר כל שניים מהמאפיינים הליניאריים שלו. ביניהם, רדיוס r, גובה h או אורך הגנרטריקס g מובחנים. כל הכמויות הללו הן אורכי הצלעות של המשולש ישר זווית הנחשבת, לכן, משפט פיתגורס תקף לחיבור שלהן:
g2=r2+ h2.
שטח פני השטח
כאשר לומדים את פני השטח של כל דמות תלת מימדית, נוח להשתמש בפיתוח שלה במישור. החרוט אינו יוצא מן הכלל. עבור חרוט עגול, הפיתוח מוצג להלן.
אנו רואים שההתגלות של הדמות מורכבת משני חלקים:
- העיגול שיוצר את בסיס החרוט.
- הגזרה של המעגל, שהוא המשטח החרוט של הדמות.
קל למצוא את שטח המעגל, והנוסחה המתאימה ידועה לכל תלמיד. אם כבר מדברים על המגזר המעגלי, נציין את זההוא חלק ממעגל עם רדיוס g (אורך הגנרטריקס של החרוט). אורך הקשת של מגזר זה שווה להיקף הבסיס. פרמטרים אלו מאפשרים לקבוע באופן חד משמעי את שטחו. הנוסחה המתאימה היא:
S=pir2+ pirg.
האיברים הראשון והשני בביטוי הם חרוט הבסיס ומשטח הצד של השטח, בהתאמה.
אם אורך המחולל g אינו ידוע, אך ניתן גובה h של הדמות, ניתן לשכתב את הנוסחה כ:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
נפח הדמות
אם ניקח פירמידה ישרה ונגדיל את מספר צלעות הבסיס שלה באינסוף, אזי צורת הבסיס תטוה למעגל, ומשטח הצד של הפירמידה יתקרב למשטח החרוט. שיקולים אלו מאפשרים לנו להשתמש בנוסחה לנפח פירמידה בעת חישוב ערך דומה עבור חרוט. ניתן למצוא את הנפח של חרוט באמצעות הנוסחה:
V=1/3hSo.
נוסחה זו תמיד נכונה, ללא קשר לבסיס החרוט, עם שטח So. יתרה מכך, הנוסחה חלה גם על החרוט האלכסוני.
מכיוון שאנו חוקרים את המאפיינים של דמות ישרה עם בסיס עגול, נוכל להשתמש בביטוי הבא כדי לקבוע את נפחה:
V=1/3hpir2.
הנוסחה ברורה.
הבעיה של מציאת שטח הפנים והנפח
תנו חרוט שרדיוס שלו הוא 10 ס מ, ואורך הגנרטיקס הוא 20ראה צורך לקבוע נפח ושטח פנים עבור צורה זו.
כדי לחשב את השטח S, ניתן להשתמש מיד בנוסחה הכתובה למעלה. יש לנו:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
כדי לקבוע את עוצמת הקול, עליך לדעת את גובה h של הדמות. אנו מחשבים אותו באמצעות הקשר בין הפרמטרים הליניאריים של החרוט. אנחנו מקבלים:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 ס מ.
עכשיו אתה יכול להשתמש בנוסחה של V:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
שים לב שנפחו של חרוט עגול הוא שליש מהגליל שבו הוא רשום.
