אחת השאלות החשובות בחקר מערכות תרמודינמיות בפיזיקה היא השאלה האם מערכת זו יכולה לבצע עבודה שימושית כלשהי. קשור קשר הדוק למושג העבודה הוא מושג האנרגיה הפנימית. במאמר זה נשקול מהי האנרגיה הפנימית של גז אידיאלי וניתן נוסחאות לחישובה.
גז אידיאלי
על גז, כמצב צבירה, שאין לו כוח אלסטי בהשפעה חיצונית עליו וכתוצאה מכך אינו שומר על נפח וצורה, יודע כל תלמיד בית ספר. הרעיון של גז אידיאלי עבור רבים נותר בלתי מובן ולא ברור. בוא נסביר את זה.
גז אידיאלי הוא כל גז שעומד בשני התנאים החשובים הבאים:
- לחלקיקים המרכיבים אותו אין גודל. יש להם גודל, אבל הוא כל כך קטן בהשוואה למרחקים ביניהם שאפשר להתעלם ממנו בכל החישובים המתמטיים.
- חלקיקים אינם מקיימים אינטראקציה זה עם זה באמצעות כוחות או כוחות ואן דר ואלסטבע אחר. למעשה, בכל הגזים האמיתיים קיימת אינטראקציה כזו, אך האנרגיה שלה זניחה בהשוואה לאנרגיה הממוצעת של החלקיקים הקינטיים.
התנאים המתוארים מתקיימים כמעט על ידי כל הגזים האמיתיים, שהטמפרטורות שלהם מעל 300 K, והלחצים אינם עולים על אטמוספירה אחת. עבור לחצים גבוהים מדי וטמפרטורות נמוכות מתבונן בסטייה של גזים מההתנהגות האידיאלית. במקרה הזה, מדברים על גזים אמיתיים. הם מתוארים על ידי משוואת ואן דר ואלס.
המושג של האנרגיה הפנימית של גז אידיאלי
בהתאם להגדרה, האנרגיה הפנימית של מערכת היא סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות הכלולות במערכת זו. אם מושג זה מיושם על גז אידיאלי, יש להשליך את הרכיב הפוטנציאלי. ואכן, מכיוון שחלקיקים של גז אידיאלי אינם מקיימים אינטראקציה זה עם זה, ניתן להתייחס אליהם ככאלה שנעים בחופשיות בוואקום מוחלט. כדי לחלץ חלקיק אחד מהמערכת הנבדקת, אין צורך לבצע עבודה נגד כוחות האינטראקציה הפנימיים, שכן כוחות אלו אינם קיימים.
לכן, האנרגיה הפנימית של גז אידיאלי תמיד עולה בקנה אחד עם האנרגיה הקינטית שלו. האחרון, בתורו, נקבע באופן ייחודי על ידי המסה המולרית של חלקיקי המערכת, מספרם, כמו גם המהירות הממוצעת של תנועה טרנסציונלית וסיבובית. מהירות התנועה תלויה בטמפרטורה. עלייה בטמפרטורה מובילה לעלייה באנרגיה הפנימית, ולהיפך.
נוסחה עבוראנרגיה פנימית
סמן את האנרגיה הפנימית של מערכת גז אידיאלית באות U. לפי התרמודינמיקה היא מוגדרת כהבדל בין האנטלפיה H של המערכת למכפלת הלחץ והנפח, כלומר:
U=H - pV.
בפסקה למעלה, גילינו שהערך של U מתאים לאנרגיה הקינטית הכוללת Ek של כל חלקיקי הגז:
U=Ek.
ממכניקה סטטיסטית, במסגרת התיאוריה הקינטית המולקולרית (MKT) של גז אידיאלי, יוצא שהאנרגיה הקינטית הממוצעת של חלקיק אחד Ek1 שווה ל- הערך הבא:
Ek1=z/2kBT.
כאן kB ו-T - קבוע בולצמן וטמפרטורה, z - מספר דרגות החופש. ניתן לקבל את האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת Ek על ידי הכפלת Ek1 במספר החלקיקים N במערכת:
Ek=NEk1=z/2NkBT.
לפיכך, קיבלנו את הנוסחה לאנרגיה הפנימית של גז אידיאלי, הכתובה בצורה כללית במונחים של הטמפרטורה המוחלטת ומספר החלקיקים במערכת סגורה:
U=z/2NkBT.
גז מונוטומי ופוליאטומי
הנוסחה ל-U שנכתבה בפסקה הקודמת של המאמר אינה נוחה לשימוש המעשי שלה, מכיוון שקשה לקבוע את מספר החלקיקים N. עם זאת, אם ניקח בחשבון את ההגדרה של כמות החומר n, אז ניתן לשכתב את הביטוי הזה בצורה נוחה יותר:
n=N/NA; R=NAkB=8, 314 J/(molK);
U=z/2nR T.
מספר דרגות החופש z תלוי בגיאומטריה של החלקיקים המרכיבים את הגז. לפיכך, עבור גז מונואטומי, z=3, שכן אטום יכול לנוע באופן עצמאי רק בשלושה כיווני מרחב. אם הגז הוא דו-אטומי, אז z=5, מכיוון שמתווספות שתי דרגות חופש סיבוביות נוספות לשלוש דרגות החופש הטרנסציונליות. לבסוף, עבור כל גז פוליאטומי אחר, z=6 (3 דרגות טרנסלציה ו-3 דרגות סיבוביות של חופש). בהתחשב בכך, נוכל לכתוב בצורה הבאה את הנוסחאות לאנרגיה הפנימית של גז אידיאלי של מונוטומי, דו-אטומי ופוליאטומי:
U1=3/2nRT;
U2=5/2nRT;
U≧3=3nRT.
דוגמה למשימה לקביעת אנרגיה פנימית
גליל של 100 ליטר מכיל מימן טהור בלחץ של 3 אטמוספרות. בהנחה שמימן הוא גז אידיאלי בתנאים נתונים, יש צורך לקבוע מהי האנרגיה הפנימית שלו.
הנוסחאות לעיל עבור U מכילות את כמות החומר ואת הטמפרטורה של הגז. במצב הבעיה, ממש לא נאמר דבר על הכמויות הללו. כדי לפתור את הבעיה, יש צורך להיזכר במשוואת קלפיירון-מנדלייב האוניברסלית. יש לו את המראה שמוצג באיור.
מאחר שמימן H2 היא מולקולה דו-אטומית, הנוסחה לאנרגיה פנימית היא:
UH2=5/2nRT.
בהשוואה בין שני הביטויים, אנו מגיעים לנוסחה הסופית לפתרון הבעיה:
UH2=5/2PV.
נותר להמיר את יחידות הלחץ והנפח מהתנאי למערכת היחידות SI, החליפו את הערכים המתאימים בנוסחה ל-UH2וקבל את תשובה: UH2 ≈ 76 kJ.
