כאשר לומדים את ההתנהגות של גזים בפיזיקה, לעתים קרובות מתעוררות בעיות בקביעת האנרגיה האצורה בהם, שבאופן תיאורטי ניתן להשתמש בה כדי לבצע עבודה מועילה. במאמר זה נשקול את השאלה באילו נוסחאות ניתן להשתמש כדי לחשב את האנרגיה הפנימית של גז אידיאלי.
המושג של גז אידיאלי
הבנה ברורה של הרעיון של גז אידיאלי חשובה בעת פתרון בעיות עם מערכות במצב צבירה זה. כל גז מקבל את הצורה והנפח של הכלי שבו הוא ממוקם, עם זאת, לא כל גז הוא אידיאלי. לדוגמה, אוויר יכול להיחשב כתערובת של גזים אידיאליים, בעוד שאדי מים לא. מה ההבדל המהותי בין גזים אמיתיים לדגם האידיאלי שלהם?
התשובה לשאלה תהיה שתי התכונות הבאות:
- היחס בין האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של המולקולות והאטומים המרכיבים את הגז;
- יחס בין הגדלים הליניאריים של חלקיקיםגז והמרחק הממוצע ביניהם.
גז נחשב לאידיאלי רק אם האנרגיה הקינטית הממוצעת של חלקיקיו גדולה לאין שיעור מאנרגיית הקישור ביניהם. ההבדל בין האנרגיות הללו הוא כזה שאנו יכולים להניח שהאינטראקציה בין חלקיקים נעדרת לחלוטין. כמו כן, גז אידיאלי מאופיין בהיעדר ממדים של חלקיקיו, או ליתר דיוק, ניתן להתעלם מממדים אלו, שכן הם קטנים בהרבה מהמרחקים הבין-חלקיקים הממוצעים.
קריטריונים אמפיריים טובים לקביעת האידיאליות של מערכת גז הם המאפיינים התרמודינמיים שלה כמו טמפרטורה ולחץ. אם הראשון גדול מ-300 K, והשני הוא פחות מ-1 אטמוספירה, אז כל גז יכול להיחשב אידיאלי.
מהי האנרגיה הפנימית של גז?
לפני שכותבים את הנוסחה לאנרגיה הפנימית של גז אידיאלי, עליך להכיר את המאפיין הזה יותר מקרוב.
בתרמודינמיקה, אנרגיה פנימית מסומנת בדרך כלל באות הלטינית U. במקרה הכללי, היא נקבעת לפי הנוסחה הבאה:
U=H - PV
כאשר H היא האנטלפיה של המערכת, P ו-V הם לחץ ונפח.
במשמעותה הפיזית, אנרגיה פנימית מורכבת משני מרכיבים: קינטית ופוטנציאלית. הראשון קשור לסוגים שונים של תנועה של חלקיקי המערכת, והשני - עם אינטראקציית הכוח ביניהם. אם ניישם את ההגדרה הזו על המושג גז אידיאלי, שאין לו אנרגיה פוטנציאלית, אז הערך של U בכל מצב של המערכת יהיה שווה בדיוק לאנרגיה הקינטית שלו, כלומר:
U=Ek.
גזירת נוסחת האנרגיה הפנימית
לעיל, מצאנו שכדי לקבוע זאת עבור מערכת עם גז אידיאלי, יש צורך לחשב את האנרגיה הקינטית שלה. ממהלך הפיזיקה הכללית ידוע כי האנרגיה של חלקיק בעל מסה m, שנע קדימה בכיוון מסוים במהירות v, נקבעת על ידי הנוסחה:
Ek1=mv2/2.
ניתן ליישם אותו גם על חלקיקי גז (אטומים ומולקולות), עם זאת, יש צורך להעיר כמה הערות.
ראשית, יש להבין את המהירות v כערך ממוצע כלשהו. העובדה היא שחלקיקי גז נעים במהירויות שונות לפי התפלגות מקסוול-בולצמן. זה האחרון מאפשר לקבוע את המהירות הממוצעת, שאינה משתנה עם הזמן אם אין השפעות חיצוניות על המערכת.
שני, הנוסחה של Ek1 מניחה אנרגיה לכל דרגת חופש. חלקיקי גז יכולים לנוע בכל שלושת הכיוונים, וגם להסתובב בהתאם למבנה שלהם. כדי לקחת בחשבון את מידת החופש z, יש להכפיל אותה ב-Ek1, כלומר:
Ek1z=z/2mv2.
האנרגיה הקינטית של המערכת כולה Ek גדולה פי N מ-Ek1z, כאשר N הוא המספר הכולל של חלקיקי הגז. אז עבור U נקבל:
U=z/2Nmv2.
לפי נוסחה זו, שינוי באנרגיה הפנימית של גז אפשרי רק אם ישתנה מספר החלקיקים N במערכת, או המהירות הממוצעת שלהם v.
אנרגיה פנימית וטמפרטורה
יישום של הוראות התיאוריה הקינטית המולקולרית של גז אידיאלי, נוכל לקבל את הנוסחה הבאה לקשר בין האנרגיה הקינטית הממוצעת של חלקיק אחד לבין הטמפרטורה המוחלטת:
mv2/2=1/2kBT.
כאן kB הוא קבוע בולצמן. החלפת שוויון זה בנוסחה של U שהתקבלה בפסקה למעלה, נגיע לביטוי הבא:
U=z/2NkBT.
ניתן לכתוב מחדש את הביטוי הזה במונחים של כמות החומר n וקבוע הגז R בצורה הבאה:
U=z/2nR T.
בהתאם לנוסחה זו, שינוי באנרגיה הפנימית של גז אפשרי אם הטמפרטורה שלו משתנה. הערכים U ו-T תלויים זה בזה באופן ליניארי, כלומר, הגרף של הפונקציה U(T) הוא קו ישר.
איך משפיע המבנה של חלקיק גז על האנרגיה הפנימית של מערכת?
מבנה של חלקיק גז (מולקולה) מתייחס למספר האטומים המרכיבים אותו. הוא ממלא תפקיד מכריע כאשר מחליפים את דרגת החופש המקבילה z בנוסחה ל-U. אם הגז הוא מונוטומי, הנוסחה לאנרגיה הפנימית של הגז הופכת:
U=3/2nRT.
מאיפה הגיע הערך z=3? המראה שלו קשור רק לשלוש דרגות חופש שיש לאטום, מכיוון שהוא יכול לנוע רק באחד משלושה כיוונים מרחביים.
אם דואטומימולקולת גז, אז יש לחשב את האנרגיה הפנימית באמצעות הנוסחה הבאה:
U=5/2nRT.
כפי שאתה יכול לראות, למולקולה דיאטומית יש כבר 5 דרגות חופש, 3 מהן טרנסציוניות ו-2 סיבוביות (בהתאם לגיאומטריה של המולקולה, היא יכולה להסתובב סביב שני צירים מאונכים זה לזה).
לבסוף, אם הגז הוא שלושה או יותר אטומי, אז הביטוי הבא עבור U נכון:
U=3nRT.
למולקולות מורכבות יש 3 דרגות חופש תרגום ו-3 סיבוביות.
בעיה לדוגמה
מתחת לבוכנה נמצא גז מונוטומי בלחץ של 1 אטמוספירה. כתוצאה מהחימום, הגז התרחב כך שנפחו גדל מ-2 ליטר ל-3. כיצד השתנתה האנרגיה הפנימית של מערכת הגז אם תהליך ההתפשטות היה איזוברי.
כדי לפתור בעיה זו, הנוסחאות המופיעות במאמר אינן מספיקות. יש צורך להיזכר במשוואת המדינה עבור גז אידיאלי. זה נראה כמו למטה.
מאחר והבוכנה סוגרת את הגליל בגז, כמות החומר n נשארת קבועה במהלך תהליך ההתפשטות. במהלך תהליך איזובארי, הטמפרטורה משתנה ביחס ישר לנפח המערכת (חוק צ'ארלס). המשמעות היא שהנוסחה שלמעלה תהיה:
PΔV=nRΔT.
אז הביטוי לאנרגיה הפנימית של גז מונוטומי יקבל את הצורה:
ΔU=3/2PΔV.
תחליף למשוואה זו את ערכי שינוי הלחץ והנפח ביחידות SI, נקבל את התשובה: ΔU ≈ 152 J.
