כוח הוא אחד המושגים החשובים ביותר בפיזיקה. זה גורם לשינוי במצב של כל אובייקט. במאמר זה נשקול מהו הערך הזה, אילו כוחות יש, וכן נראה כיצד למצוא את הקרנת הכוח על הציר ועל המישור.
כוח והמשמעות הפיזית שלו
בפיזיקה, כוח הוא גודל וקטור המראה את השינוי בתנע של גוף ליחידת זמן. הגדרה זו רואה בכוח מאפיין דינמי. מנקודת המבט של סטטיקה, כוח בפיזיקה הוא מדד לעיוות אלסטי או פלסטי של גופים.
מערכת ה-SI הבינלאומית מבטאת כוח בניוטון (N). מהו 1 ניוטון, הדרך הקלה ביותר להבין את הדוגמה של החוק השני של המכניקה הקלאסית. הסימון המתמטי שלו הוא כדלקמן:
F¯=ma¯
כאן F¯ הוא כוח חיצוני כלשהו הפועל על גוף בעל מסה m וכתוצאה מכך להאצה a¯. ההגדרה הכמותית של ניוטון אחד נובעת מהנוסחה: 1 N הוא כוח כזה שמוביל לשינוי במהירות של גוף עם מסה של 1 ק ג על 1 m/s לכל שנייה.
דוגמאות לדינמיותגילויי כוח הם האצה של מכונית או גוף הנופל בחופשיות בשדה הכבידה של כדור הארץ.
הביטוי הסטטי של כוח, כפי שצוין, קשור לתופעות דפורמציה. יש לתת כאן את הנוסחאות הבאות:
F=PS
F=-kx
הביטוי הראשון מקשר את הכוח F ללחץ P שהוא מפעיל על אזור S כלשהו. באמצעות נוסחה זו ניתן להגדיר 1 N כלחץ של 1 פסקל המופעל על שטח של 1 m 2. לדוגמה, עמוד של אוויר אטמוספרי בגובה פני הים לוחץ על אתר של 1 מטר2בכוח של 105N!
הביטוי השני הוא הצורה הקלאסית של חוק הוק. לדוגמה, מתיחה או דחיסה של קפיץ בערך ליניארי x מובילה להופעת כוח מנוגד F (בביטוי k הוא גורם המידתיות).
אילו כוחות יש
כבר הוכח לעיל שכוחות יכולים להיות סטטיים ודינמיים. כאן אנו אומרים כי בנוסף לתכונה זו, הם יכולים להיות כוחות מגע או ארוכי טווח. לדוגמה, כוח חיכוך, תגובות תמיכה הן כוחות מגע. הסיבה להופעתם היא תוקפו של עקרון פאולי. האחרון קובע ששני אלקטרונים אינם יכולים לתפוס אותו מצב. לכן המגע של שני אטומים מוביל לדחייתם.
כוחות ארוכי טווח מופיעים כתוצאה מאינטראקציה של גופים דרך שדה נושא מסוים. לדוגמה, כאלה הם כוח הכבידה או אינטראקציה אלקטרומגנטית. לשתי הכוחות יש טווח אינסופי,עם זאת, עוצמתם יורדת כריבוע המרחק (חוקי קולומב וכוח המשיכה).
כוח הוא כמות וקטורית
לאחר שעסקנו במשמעות הכמות הפיזית הנחשבת, נוכל להמשיך לחקר סוגיית הקרנת הכוח על הציר. קודם כל, נציין שכמות זו היא וקטור, כלומר, היא מאופיינת במודול ובכיוון. נראה כיצד לחשב את מודול הכוח ואת הכיוון שלו.
ידוע שניתן להגדיר כל וקטור באופן ייחודי במערכת קואורדינטות נתונה אם ערכי הקואורדינטות של ההתחלה והסוף שלו ידועים. נניח שיש קטע מכוון MN¯. לאחר מכן ניתן לקבוע את הכיוון והמודול שלו באמצעות הביטויים הבאים:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
כאן, קואורדינטות עם מדדים 2 מתאימות לנקודה N, אלו עם מדדים 1 מתאימות לנקודה M. הווקטור MN¯ מכוון מ-M ל-N.
למען הכלליות, הראינו כיצד למצוא את המודולוס והקואורדינטות (כיוון) של וקטור במרחב תלת מימדי. נוסחאות דומות ללא הקואורדינטה השלישית תקפות למקרה במטוס.
לכן, מודול הכוח הוא ערכו המוחלט, מבוטא בניוטון. מנקודת מבט של גיאומטריה, המודולוס הוא אורך הקטע המכוון.
על מה הקרנת הכוחציר?
הכי נוח לדבר על הקרנות של קטעים מכוונים על צירי קואורדינטות ומישורים אם אתה מציב קודם כל את הווקטור המתאים במקור, כלומר בנקודה (0; 0; 0). נניח שיש לנו וקטור כוח כלשהו F¯. נניח את תחילתו בנקודה (0; 0; 0), ואז ניתן לכתוב את הקואורדינטות של הווקטור באופן הבא:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
וקטור F¯ מציג את כיוון הכוח במרחב במערכת הקואורדינטות הנתונה. כעת הבה נצייר מקטעים מאונכים מסוף F¯ לכל אחד מהצירים. המרחק מנקודת החיתוך של הניצב עם הציר המתאים למקור נקרא הקרנת הכוח על הציר. לא קשה לנחש שבמקרה של הכוח F¯, ההשלכות שלו על צירי x, y ו-z יהיו x1, y1ו-z 1, בהתאמה. שימו לב שהקואורדינטות הללו מציגות את המודולים של תחזיות הכוח (אורך הקטעים).
זוויות בין הכוח וההטלות שלו על צירי הקואורדינטות
חישוב הזוויות האלה אינו קשה. כל מה שנדרש כדי לפתור אותו הוא ידע בתכונות של פונקציות טריגונומטריות ויכולת ליישם את משפט פיתגורס.
לדוגמה, הבה נגדיר את הזווית בין כיוון הכוח להשלכתו על ציר ה-x. המשולש הישר-זוויתי המתאים יווצר על-ידי התחתון (וקטור F¯) והרגל (קטע x1). הרגל השנייה היא המרחק מקצה הווקטור F¯ לציר ה-x. הזווית α בין F¯ לציר x מחושבת על ידי הנוסחה:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
כפי שאתה יכול לראות, כדי לקבוע את הזווית בין הציר לווקטור, יש צורך ומספיק לדעת את הקואורדינטות של סוף הקטע המכוון.
עבור זוויות עם צירים אחרים (y ו-z), אתה יכול לכתוב ביטויים דומים:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
שימו לב שבכל הנוסחאות יש מודולים במונה, מה שמבטל את המראה של פינות קהות. בין הכוח לבין ההשלכות הציריות שלו, הזוויות תמיד קטנות או שוות ל-90o.
כוח וההשלכות שלו על מישור הקואורדינטות
ההגדרה של הקרנת הכוח על המישור זהה לזו של הציר, רק שבמקרה זה יש להוריד את הניצב לא על הציר, אלא על המישור.
במקרה של מערכת קואורדינטות מלבנית מרחבית, יש לנו שלושה מישורים מאונכים זה לזה xy (אופקי), yz (אנכי חזיתי), xz (אנכי לרוחב). נקודות החיתוך של הניצבים שנפלו מקצה הווקטור למישורים הנ לים הם:
(x1; y1; 0) עבור xy;
(x1; 0; z1) עבור xz;
(0; y1; z1) עבור zy.
אם כל אחת מהנקודות המסומנות מחוברת למקור, אז נקבל את הקרנת הכוח F¯ על המישור המתאים. מה הוא מודול הכוח, אנחנו יודעים. כדי למצוא את המודולוס של כל השלכה, עליך ליישם את משפט פיתגורס. הבה נסמן את התחזיות במישור כ-Fxy, Fxz ו-Fzy. אז השוויון יהיה תקף עבור המודולים שלהם:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
זוויות בין הקרנות על המטוס וקטור הכוח
בפסקה למעלה, ניתנו נוסחאות עבור מודולי ההקרנות על המישור של הווקטור הנחשב F¯. השלכות אלו, יחד עם הקטע F¯ והמרחק מקצהו למישור, יוצרות משולשים ישרי זווית. לכן, כמו במקרה של הקרנות על הציר, ניתן להשתמש בהגדרה של פונקציות טריגונומטריות כדי לחשב את הזוויות המדוברות. אתה יכול לכתוב את השוויון הבא:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
חשוב להבין שהזווית בין כיוון הכוח F¯ לבין ההקרנה המתאימה שלו על המישור שווה לזווית בין F¯ למישור זה. אם נשקול בעיה זו מנקודת מבט של גיאומטריה, אז נוכל לומר שהקטע המכוון F¯ נוטה ביחס למישורים xy, xz ו-zy.
היכן משתמשים בתחזיות כוח?
הנוסחאות לעיל לתחזיות כוח על צירי הקואורדינטות ועל המישור אינן בעלות עניין תיאורטי בלבד. הם משמשים לעתים קרובות בפתרון בעיות פיזיות. עצם תהליך מציאת השלכות נקרא פירוק הכוח למרכיביו. האחרונים הם וקטורים, שסכוםם אמור לתת את וקטור הכוח המקורי. במקרה הכללי, ניתן לפרק את הכוח למרכיבים שרירותיים, אולם לצורך פתרון בעיות נוח להשתמש בהקרנות על צירים ומישורים מאונכים.
בעיות שבהן מיושם הרעיון של תחזיות כוח יכולות להיות שונות מאוד. לדוגמה, אותו חוק שני של ניוטון מניח שהכוח החיצוני F¯ הפועל על הגוף חייב להיות מכוון באותו אופן כמו וקטור המהירות v¯. אם הכיוונים שלהם שונים בזווית כלשהי, אזי, כדי שהשוויון יישאר תקף, יש להחליף בו לא את הכוח F¯ עצמו, אלא את ההשלכה שלו על הכיוון v¯.
לאחר מכן, נציג כמה דוגמאות, שבהן נראה כיצד להשתמש בהקלטהנוסחאות.
המשימה של קביעת תחזיות כוח על המטוס ועל צירי הקואורדינטות
נניח שיש כוח כלשהו F¯, שמיוצג על ידי וקטור בעל קואורדינטות הקצה וההתחלה הבאות:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
יש צורך לקבוע את מודול הכוח, כמו גם את כל ההקרנות שלו על צירי הקואורדינטות והמישורים, ואת הזוויות בין F¯ לכל אחת מההיטלים שלו.
בוא נתחיל לפתור את הבעיה על ידי חישוב הקואורדינטות של הווקטור F¯. יש לנו:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
אז מודול הכוח יהיה:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
השלכות על צירי הקואורדינטות שוות לקואורדינטות המתאימות של הווקטור F¯. הבה נחשב את הזוויות ביניהן לבין כיוון F¯. יש לנו:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
מכיוון שהקואורדינטות של הווקטור F¯ ידועות, ניתן לחשב את המודולים של תחזיות הכוח במישור הקואורדינטות. באמצעות הנוסחאות לעיל, נקבל:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
לבסוף, נותר לחשב את הזוויות בין ההקרנות שנמצאו במישור לווקטור הכוח. יש לנו:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
לפיכך, הווקטור F¯ הוא הקרוב ביותר למישור קואורדינטות ה-xy.
בעיה עם מוט הזזה במישור משופע
עכשיו בואו נפתור בעיה פיזיקלית שבה יהיה צורך ליישם את הרעיון של הקרנת כוח. תן מישור משופע מעץ. זווית הנטייה שלו לאופק היא 45o. על המטוס גוש עץ בעל מסה של 3 ק ג. יש לקבוע באיזו תאוצה סרגל זה ינוע במורד המישור אם ידוע שמקדם החיכוך ההחלקה הוא 0.7.
ראשית, בואו נעשה את משוואת התנועה של הגוף. מכיוון שרק שני כוחות יפעלו עליו (השלכת הכבידה על מישור וכוח החיכוך), המשוואה תקבל את הצורה:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
כאן Fg, Ff היא השלכה של כוח המשיכה והחיכוך, בהתאמה. כלומר, המשימה מצטמצמת לחישוב הערכים שלהם.
מכיוון שהזווית שבה המטוס נוטה לאופק היא 45o, קל להראות שהקרנת כוח המשיכה Fgלאורך פני המטוס יהיה שווה ל:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
הקרנת הכוח הזו מבקשת לערערגוש עץ ותן לו האצה.
לפי ההגדרה, כוח החיכוך ההחלקה הוא:
Ff=ΜN
כאשר Μ=0, 7 (ראה את מצב הבעיה). כוח התגובה של התומך N שווה להקרנה של כוח הכבידה על הציר הניצב למישור המשופע, כלומר:
N=mgcos(45o)
אז כוח החיכוך הוא:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
תחליף את הכוחות שנמצאו במשוואת התנועה, נקבל:
a=(Fg- Ff)/m=(20.81 - 14.57)/3=2.08 m/ c2.
לפיכך, הבלוק יירד במישור המשופע, ויגדיל את מהירותו ב-2.08 מטר לשנייה בכל שנייה.
