כדי לקבל מושג כללי מהו עיגול, הסתכלו על טבעת או חישוק. אפשר גם לקחת כוס עגולה וכוס, לשים הפוך על פיסת נייר ולהקיף בעיפרון. בהגדלה מרובה, הקו המתקבל יהפוך לעבה ולא ממש אחיד, והקצוות שלו יהיו מטושטשים. למעגל כדמות גיאומטרית אין מאפיין כמו עובי.
היקף: הגדרה ואמצעי תיאור עיקריים
מעגל הוא עקומה סגורה המורכבת מקבוצת נקודות הממוקמת באותו מישור ובמרחק שווה ממרכז המעגל. במקרה זה, המרכז נמצא באותו מישור. ככלל, זה מצוין באות O.
המרחק מכל אחת מנקודות המעגל למרכז נקרא הרדיוס והוא מסומן באות R.
אם תחבר שתי נקודות כלשהן של המעגל, הקטע המתקבל ייקרא אקורד. המיתר העובר במרכז המעגל הוא הקוטר, המסומן באות D. הקוטר מחלק את המעגל לשתי קשתות שוות והוא כפול מאורך הרדיוס. אז D=2R, או R=D/2.
מאפיינים של אקורדים
- אם תצייר אקורד דרך כל שתי נקודות של המעגל, ואז תצייר רדיוס או קוטר בניצב לזו האחרונה, אז הקטע הזה יפצל גם את האקורד וגם את הקשת שנחתכה על ידו לשני חלקים שווים. גם ההיפך נכון: אם הרדיוס (קוטר) מחלק את האקורד לשניים, אז הוא מאונך אליו.
- אם שני אקורדים מקבילים מצוירים בתוך אותו עיגול, אז הקשתות המנותקות על ידם, כמו גם כלואות ביניהם, יהיו שוות.
- בואו נצייר שני אקורדים PR ו-QS המצטלבים בתוך מעגל בנקודה T. המכפלה של הקטעים של אקורד אחד תמיד תהיה שווה למכפלת הקטעים של האקורד השני, כלומר, PT x TR=QT x TS.
היקף: מושג כללי ונוסחאות בסיסיות
אחד המאפיינים הבסיסיים של דמות גיאומטרית זו הוא ההיקף. הנוסחה נגזרת באמצעות ערכים כמו רדיוס, קוטר וקבוע "π", המשקפים את הקביעות של היחס בין היקף המעגל לקוטרו.
לכן, L=πD, או L=2πR, כאשר L הוא ההיקף, D הוא הקוטר, R הוא הרדיוס.
ניתן להתייחס לנוסחה של היקף מעגל כנוסחה הראשונית למציאת הרדיוס או הקוטר של היקף נתון: D=L/π, R=L/2π.
מהו מעגל: הנחות בסיסיות
1. ניתן לאתר קו ישר ומעגל במישור באופן הבא:
- אין להם נקודות משותפות;
- יש נקודה משותפת אחת, בעוד שהקו נקרא משיק: אם תצייר רדיוס דרך המרכז והנקודהמגע, הוא יהיה מאונך למשיק;
- יש שתי נקודות משותפות, בעוד שהקו נקרא סקאנט.
ל-
2. דרך שלוש נקודות שרירותיות השוכנות באותו מישור, ניתן לצייר לכל היותר עיגול אחד.
3. שני עיגולים יכולים לגעת רק בנקודה אחת, הממוקמת על הקטע המחבר בין מרכזי העיגולים הללו.
4. בכל סיבוב סביב המרכז, המעגל הופך לתוך עצמו.
5. מהו מעגל מבחינת סימטריה?
- עקמומיות זהה בקו בכל נקודה;
- סימטריה מרכזית לגבי נקודה O;
- סימטריה במראה לגבי הקוטר.
6. אם אתה בונה שתי זוויות חרוטות שרירותיות המבוססות על אותה קשת מעגלית, הן יהיו שוות. הזווית המבוססת על קשת השווה למחצית היקף המעגל, כלומר מנותקת בקוטר אקורד, היא תמיד 90°.
7. אם נשווה קווים מעוקלים סגורים באותו אורך, אזי מסתבר שהמעגל תוחם את קטע המישור של השטח הגדול ביותר.
עיגול רשום במשולש ומתואר סביבו
רעיון של מהו מעגל לא יהיה שלם ללא תיאור של הקשר בין דמות גיאומטרית זו למשולשים.
- כאשר בונים מעגל רשום במשולש, המרכז שלו תמיד יתאים לנקודת החיתוך של חצוי הזוויות של המשולש.
- מרכז המשולש המוקף נמצא בצומתאנכים באמצע לכל צד של המשולש.
- אם אתה מתאר מעגל סביב משולש ישר זווית, אז המרכז שלו יהיה באמצע התחתון, כלומר, האחרון יהיה הקוטר.
- מרכזי המעגלים הכתובים והמוקפים יהיו באותה נקודה אם הבסיס לבנייה הוא משולש שווה צלעות.
הצהרות בסיסיות על המעגל והמרובעים
- ניתן לתחום מעגל סביב מרובע קמור רק אם סכום הזוויות הפנימיות ההפוכות שלו הוא 180°.
- אפשר לבנות מעגל רשום במרובע קמור אם סכום אורכי הצלעות ההפוכות שלו זהה.
- אפשר לתאר מעגל סביב מקבילית אם זוויותיו ישרות.
- ניתן לרשום מעגל לתוך מקבילית אם כל הצלעות שלו שוות, כלומר, זה מעוין.
- אפשר לבנות מעגל דרך זוויות טרפז רק אם הוא שווה שוקיים. במקרה זה, מרכז המעגל המוקף ימוקם במפגש ציר הסימטריה של המרובע והמאונך החציוני הנמשך לצד.
