בפועל, לעיתים קרובות עולות משימות הדורשות יכולת לבנות קטעים של צורות גיאומטריות בצורות שונות ולמצוא את שטח החתכים. במאמר זה, נבחן כיצד בנויים חלקים חשובים של פריזמה, פירמידה, חרוט וגליל, וכיצד לחשב את השטחים שלהם.
דמויות תלת מימד
מהסטריאומטריה ידוע שדמות תלת מימדית מכל סוג לחלוטין מוגבלת במספר משטחים. לדוגמה, עבור polyhedra כגון פריזמה ופירמידה, משטחים אלה הם הצדדים המצולעים. לגבי גליל וחרוט, אנחנו מדברים על משטחי מהפכה של דמויות גליליות וחרוטיות.
אם ניקח מישור ונחצה באופן שרירותי את פני השטח של דמות תלת מימדית, נקבל חתך. השטח שלו שווה לשטח החלק של המטוס שיהיה בתוך נפח הדמות. הערך המינימלי של אזור זה הוא אפס, שמתממש כאשר המטוס נוגע באיור. לדוגמה, קטע שנוצר על ידי נקודה אחת מתקבל אם המטוס עובר דרך ראש פירמידה או חרוט. הערך המרבי של שטח החתך תלוי בהמיקום היחסי של הדמות והמישור, כמו גם הצורה והגודל של הדמות.
להלן, נשקול כיצד לחשב את שטח החתכים שנוצרו עבור שתי דמויות של סיבוב (צילינדר וחרוט) ושתי פולי-הדרות (פירמידה ומנסרה).
Cylinder
גליל עגול הוא דמות של סיבוב של מלבן סביב כל אחת מצלעיו. הגליל מאופיין בשני פרמטרים ליניאריים: רדיוס בסיס r וגובה h. התרשים שלהלן מראה כיצד נראה גליל ישר עגול.
יש שלושה סוגי מקטעים חשובים עבור נתון זה:
- round;
- מלבן;
- אליפטי.
אליפטי נוצר כתוצאה מהמישור החותך את פני הצד של הדמות בזווית כלשהי לבסיסה. עגול הוא תוצאה של החתך של מישור החיתוך של משטח הצד המקביל לבסיס הגליל. לבסוף, מתקבל מלבני אם מישור החיתוך מקביל לציר הגליל.
שטח מעגלי מחושב לפי הנוסחה:
S1=pir2
שטח החתך הצירי, כלומר מלבני, העובר דרך ציר הגליל, מוגדר כדלקמן:
S2=2rh
קטעי חרוט
קונוס הוא דמות סיבוב של משולש ישר זווית סביב אחת הרגליים. לקונוס יש עליון אחד ובסיס עגול. הפרמטרים שלו הם גם רדיוס r וגובה h. דוגמה של חרוט נייר מוצגת להלן.
יש כמה סוגים של חתכים חרוטיים. בואו נרשום אותם:
- round;
- אליפטי;
- parabolic;
- hyperbolic;
- משולש.
הם מחליפים זה את זה אם מגדילים את זווית הנטייה של מישור הסלקציה ביחס לבסיס העגול. הדרך הקלה ביותר היא לרשום את הנוסחאות עבור שטח החתך של עגול ומשולש.
נוצר חתך מעגלי כתוצאה מחיתוך של משטח חרוטי עם מישור המקביל לבסיס. עבור האזור שלו, הנוסחה הבאה תקפה:
S1=pir2z2/h 2
כאן z הוא המרחק מהחלק העליון של הדמות לקטע שנוצר. ניתן לראות שאם z=0, אז המישור עובר רק דרך הקודקוד, ולכן השטח S1 יהיה שווה לאפס. מאז z < h, שטח הקטע הנבדק תמיד יהיה קטן מערכו עבור הבסיס.
משולש מתקבל כאשר המישור חותך את הדמות לאורך ציר הסיבוב שלה. צורת הקטע שיתקבל תהיה משולש שווה שוקיים, שצלעותיו בקוטר הבסיס ושני מחוללים של החרוט. איך למצוא את שטח החתך של משולש? התשובה לשאלה זו תהיה הנוסחה הבאה:
S2=rh
שוויון זה מתקבל על ידי החלת הנוסחה עבור שטח משולש שרירותי לאורך הבסיס והגובה שלו.
קטעי פריזמה
פריזמה היא מחלקה גדולה של דמויות המאופיינת בנוכחותם של שני בסיסים מצולעים זהים המקבילים זה לזה,מחוברים באמצעות מקביליות. כל קטע של פריזמה הוא מצולע. לאור מגוון הדמויות הנחשבות (אלכסוניות, ישרות, n-גונליות, רגילות, קעורות), גם מגוון החתכים שלהן גדול. להלן, נשקול רק כמה מקרים מיוחדים.
אם מישור החיתוך מקביל לבסיס, אז שטח החתך של המנסרה יהיה שווה לשטח של הבסיס הזה.
אם המישור עובר דרך המרכזים הגיאומטריים של שני הבסיסים, כלומר הוא מקביל לקצוות הצדדיים של הדמות, אז נוצרת מקבילית בחתך. במקרה של מנסרות ישרות ורגילות, תצוגת החתך הנחשבת תהיה מלבן.
Pyramid
פירמידה היא רב-הדרון נוסף המורכב מ-n-גון ו-n משולשים. דוגמה לפירמידה משולשת מוצגת להלן.
אם החתך מצויר במישור המקביל לבסיס ה-n-gonal, אז צורתו תהיה שווה בדיוק לצורת הבסיס. השטח של קטע כזה מחושב לפי הנוסחה:
S1=So(h-z)2/h 2
כאשר z הוא המרחק מהבסיס למישור החתך, So הוא שטח הבסיס.
אם מישור החיתוך מכיל את החלק העליון של הפירמידה וחוצה את בסיסה, אז נקבל חתך משולש. כדי לחשב את שטחו, עליך להתייחס לשימוש בנוסחה המתאימה למשולש.
