צילינדר: שטח פנים צדדי. הנוסחה עבור שטח פני השטח לרוחב של גליל

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

כשלומדים סטריאומטריה, אחד הנושאים המרכזיים הוא "צילינדר". שטח הפנים לרוחב נחשב, אם לא העיקרי, אז נוסחה חשובה בפתרון בעיות גיאומטריות. עם זאת, חשוב לזכור הגדרות שיעזרו לכם לנווט בין דוגמאות ובעת הוכחת משפטים שונים.

קונספט צילינדר

תחילה עלינו לשקול כמה הגדרות. רק לאחר לימודם ניתן להתחיל לשקול את שאלת הנוסחה עבור שטח פני השטח לרוחב של גליל. בהתבסס על ערך זה, ניתן לחשב ביטויים אחרים.

• משטח גלילי מובן כמישור המתואר על ידי גנרטריקס, נע ונשאר מקביל לכיוון נתון, מחליק לאורך עקומה קיימת.
• יש גם הגדרה שנייה: משטח גלילי נוצר על ידי קבוצה של קווים מקבילים החותכים עקומה נתונה.
• Generative נקרא בדרך כלל גובה הגליל. כאשר הוא נע סביב ציר העובר במרכז הבסיס,מתקבל הגוף הגיאומטרי המיועד.
• מתחת לציר הכוונה לקו ישר העובר דרך שני הבסיסים של הדמות.
• גליל הוא גוף סטריאומטרי התחום על ידי משטח רוחבי מצטלב ו-2 מישורים מקבילים.

ישנם סוגים של דמות תלת-ממדית זו:

1. Circular הוא גליל שהמדריך שלו הוא עיגול. המרכיבים העיקריים שלו הם רדיוס הבסיס והגנרטריקס. האחרון שווה לגובה הדמות.
2. יש צילינדר ישר. הוא קיבל את שמו בשל הניצב של הגנרטריקס לבסיסי הדמות.
3. הסוג השלישי הוא גליל משופע. בספרי הלימוד אפשר למצוא לה גם שם נוסף - "גליל עגול עם בסיס משופע". נתון זה מגדיר את רדיוס הבסיס, הגובה המינימלי והמקסימלי.
4. גליל שווה צלעות מובן כגוף בעל גובה וקוטר שווה של מישור עגול.

סמלים

באופן מסורתי, ה"רכיבים" העיקריים של גליל נקראים כך:

• רדיוס הבסיס הוא R (הוא גם מחליף את אותו ערך של דמות סטריאומטרית).
• Generative – L.
• גובה – H.
• אזור הבסיס - S_{base (במילים אחרות, עליך למצוא את פרמטר העיגול שצוין).}
• גובה גליל משופע – h₁, h_{2 (מינימום ומקסימום).}
• שטח פנים צדדי - S_{side (אם תרחיב אותו, תקבלמעין מלבן).}
• עוצמת הקול של דמות סטריאומטרית - V.
• שטח הפנים הכולל – S.

"רכיבים" של דמות סטריאומטרית

כאשר לומדים גליל, שטח הפנים לרוחב ממלא תפקיד חשוב. זאת בשל העובדה שנוסחה זו נכללת בכמה נוסחאות אחרות ומורכבות יותר. לכן, יש צורך להיות בקי בתיאוריה.

המרכיבים העיקריים של הדמות הם:

1. משטח צד. כידוע, הוא מתקבל עקב תנועת הגנרטריקס לאורך עקומה נתונה.
2. משטח מלא כולל בסיסים קיימים ומישור צד.
3. החתך של גליל, ככלל, הוא מלבן הממוקם במקביל לציר הדמות. אחרת, זה נקרא מטוס. מסתבר שהאורך והרוחב הם מרכיבים במשרה חלקית של דמויות אחרות. אז, בתנאי, אורכי הקטע הם גנרטורים. רוחב - אקורדים מקבילים של דמות סטריאומטרית.
4. חתך צירי פירושו מיקום המטוס דרך מרכז הגוף.
5. ולבסוף, ההגדרה הסופית. טנגנס הוא מישור העובר דרך הגנרטריקס של הגליל ובזווית ישרה לחתך הצירי. במקרה זה יש לעמוד בתנאי אחד. יש לכלול את הגנרטריקס שצוין במישור החתך הצירי.

נוסחאות בסיסיות לעבודה עם צילינדר

כדי לענות על השאלה כיצד למצוא את שטח הפנים של גליל, יש צורך ללמוד את ה"רכיבים" העיקריים של דמות סטריאומטרית ואת הנוסחאות למציאתם.

נוסחאות אלו נבדלות בכך שקודם ניתנים הביטויים עבור הגליל המשופע, ולאחר מכן עבור הישר.

דוגמאות מפורקות

משימה 1.

יש צורך לדעת את השטח של המשטח הרוחבי של הגליל. נתון האלכסון של הקטע AC=8 ס"מ (יתר על כן, הוא צירי). כאשר במגע עם הגנרטיקס, מתברר _<ACD=30°

החלטה. מכיוון שהערכים של האלכסון והזווית ידועים, אז במקרה זה:

CD=ACcos 30°

תגובה. משולש ACD, בדוגמה הספציפית הזו, הוא משולש ישר זווית. המשמעות היא שהמנה של חלוקת CD ו-AC=הקוסינוס של הזווית הנתונה. ניתן למצוא את הערך של פונקציות טריגונומטריות בטבלה מיוחדת.

באופן דומה, אתה יכול למצוא את הערך של AD:

AD=ACsin 30°

כעת עליך לחשב את התוצאה הרצויה באמצעות הניסוח הבא: שטח פני השטח הצדדיים של הגליל שווה פי שניים מהתוצאה של הכפלת "pi", רדיוס הדמות וגובהה. יש להשתמש גם בנוסחה נוספת: שטח בסיס הגליל. זה שווה לתוצאה של הכפלת "pi" בריבוע הרדיוס. ולבסוף, הנוסחה האחרונה: שטח הפנים הכולל. זה שווה לסכום של שני האזורים הקודמים.

משימה 2.

ניתנים צילינדרים. הנפח שלהם=128n cm³. באיזה צילינדר יש את הקטן ביותרמשטח מלא?

החלטה. ראשית עליך להשתמש בנוסחאות למציאת נפח הדמות וגובהה.

מכיוון ששטח הפנים הכולל של גליל ידוע מהתיאוריה, יש ליישם את הנוסחה שלו.

אם ניקח בחשבון את הנוסחה המתקבלת כפונקציה של שטח הגליל, אזי ה"אינדיקטור" המינימלי יגיע בנקודת הקיצון. כדי לקבל את הערך האחרון, עליך להשתמש בהבחנה.

ניתן להציג נוסחאות בטבלה מיוחדת למציאת נגזרות. בעתיד, התוצאה שנמצאה מושווה לאפס ומוצאים את פתרון המשוואה.

תשובה: S_{min יגיעו בשעה h=1/32 ס"מ, R=64 ס"מ.}

בעיה 3.

נתון דמות סטריאומטרית - גליל וחתך. זה האחרון מתבצע בצורה כזו שהוא ממוקם במקביל לציר הגוף הסטריאומטרי. לגליל יש את הפרמטרים הבאים: VK=17 ס"מ, h=15 ס"מ, R=5 ס"מ. יש צורך למצוא את המרחק בין החתך לציר.

החלטה.

מכיוון שהחתך של גליל מובן כ- VSCM, כלומר מלבן, הצלע שלו VM=h. צריך לקחת בחשבון את WMC. המשולש הוא מלבני. בהתבסס על הצהרה זו, אנו יכולים להסיק את ההנחה הנכונה ש-MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

מכאן נוכל להסיק ש-MK=BC=8 ס מ.

השלב הבא הוא לצייר חתך דרך בסיס הדמות. יש צורך לשקול את המטוס המתקבל.

AD – קוטר של דמות סטריאומטרית. זה מקביל לסעיף שהוזכר בהצהרת הבעיה.

BC הוא קו ישר הממוקם במישור המלבן הקיים.

ABCD הוא טרפז. במקרה מסוים, הוא נחשב שווה שוקיים, שכן מתואר מעגל סביבו.

אם תמצא את גובה הטרפז שנוצר, תוכל לקבל את התשובה שניתנה בתחילת הבעיה. כלומר: מציאת המרחק בין הציר לקטע המצייר.

כדי לעשות זאת, עליך למצוא את הערכים של AD ו-OS.

תשובה: הקטע ממוקם 3 ס מ מהציר.

בעיות באיחוד החומר

דוגמה 1.

צילינדר נתון. שטח הפנים לרוחב משמש בתמיסה נוספת. אפשרויות אחרות ידועות. שטח הבסיס הוא Q, שטח החתך הצירי הוא M. יש צורך למצוא את S. במילים אחרות, השטח הכולל של הגליל.

דוגמה 2.

צילינדר נתון. יש למצוא את שטח הפנים לרוחב באחד משלבי פתרון הבעיה. ידוע שגובה=4 ס"מ, רדיוס=2 ס"מ. יש צורך למצוא את השטח הכולל של דמות סטריאומטרית.