כבר בבית הספר היסודי, התלמידים מתמודדים עם שברים. ואז הם מופיעים בכל נושא. אי אפשר לשכוח פעולות עם המספרים האלה. לכן, אתה צריך לדעת את כל המידע על שברים רגילים ועשרוניים. המושגים האלה פשוטים, העיקר להבין הכל לפי הסדר.
למה אנחנו צריכים שברים?
העולם סביבנו מורכב מחפצים שלמים. לכן, אין צורך במניות. אבל חיי היומיום דוחפים אנשים כל הזמן לעבוד עם חלקים של חפצים ודברים.
לדוגמה, שוקולד מורכב ממספר פרוסות. שקול את המצב שבו האריח שלו נוצר על ידי שנים עשר מלבנים. אם מחלקים אותו לשניים, מקבלים 6 חלקים. זה יהיה מחולק היטב לשלושה. אבל אי אפשר לתת לחמש מספר שלם של חתיכות שוקולד.
אגב, הפרוסות האלה הן כבר שברים. וחלוקה נוספת שלהם מובילה למספרים מורכבים יותר.
מהו "שבר"?
זהו מספר המורכב מחלקים של אחד. כלפי חוץ, זה נראה כמו שני מספרים מופרדים על ידיאופקי או נטוי. תכונה זו נקראת שברים. המספר הכתוב למעלה (משמאל) נקרא מונה. זה למטה (בצד ימין) הוא המכנה.
למעשה, סרגל השבר מתברר כסימן חלוקה. כלומר, המונה יכול להיקרא דיבידנד, והמכנה יכול להיקרא מחלק.
אילו שברים קיימים?
יש רק שני סוגים שלהם במתמטיקה: שברים רגילים ושברים עשרוניים. תלמידי בית הספר מתוודעים לראשונים בכיתות היסודי, ומכנים אותם פשוט "שברים". השני לומד בכיתה ה'. אז מופיעים השמות האלה.
שברים רגילים - כל אלה שנכתבים כשני מספרים המופרדים בפס. לדוגמה, 4/7. עשרוני הוא מספר שבו לחלק השבר יש סימון מיקום והוא מופרד מהמספר השלם בפסיק. לדוגמה, 4, 7. לתלמידים צריך להיות ברור ששתי הדוגמאות שניתנו הן מספרים שונים לחלוטין.
כל שבר פשוט יכול להיכתב בתור עשרוני. הצהרה זו נכונה כמעט תמיד גם הפוך. ישנם כללים המאפשרים לכתוב שבר עשרוני כשבר רגיל.
אילו תתי סוגים יש לסוגי השברים האלה?
מוטב להתחיל בסדר כרונולוגי בזמן שהם נחקרים. השברים הנפוצים באים קודם. ביניהם ניתן להבחין ב-5 תת-מינים.
- נכון. המונה שלו תמיד קטן מהמכנה.
- שגוי. המונה שלה גדול או שווה למכנה.
- ניתן לצמצם/בלתי ניתן לצמצום. אולי היא כמוהנכון ולא נכון. דבר נוסף חשוב, האם למונה ולמכנה יש גורמים משותפים. אם יש, אז הם אמורים לחלק את שני חלקי השבר, כלומר לצמצם אותו.
-
מעורב. מספר שלם מוקצה לחלק השבר הנכון (שגוי) הרגיל שלו. והוא תמיד עומד בצד שמאל.
- מרוכב. הוא נוצר משני שברים המחולקים זה לזה. כלומר, הוא מכיל שלוש תכונות חלקיות בו-זמנית.
לשברים עשרוניים יש רק שני תת-סוגים:
- final, כלומר, אחד שחלקו השבר מוגבל (יש לו סוף);
- infinite - מספר שהספרות שלו אחרי הנקודה העשרונית אינן מסתיימות (ניתן לכתוב אותן בלי סוף).
איך להמיר עשרוני לשבר שכיח?
אם זה מספר סופי, אזי האסוציאציה המבוססת על הכלל מופעלת - כפי שאני שומע, אז אני כותב. כלומר, צריך לקרוא אותו נכון ולכתוב אותו, אבל בלי פסיק, אלא עם קו שבר.
כרמז לגבי המכנה הנדרש, זכרו שהוא תמיד אחד וכמה אפסים. את האחרון צריך לכתוב כמה כמו הספרות בחלק השבר של המספר המדובר.
איך להמיר שברים עשרוניים לשברים רגילים, אם כל החלק שלהם חסר, כלומר שווה לאפס? לדוגמה, 0.9 או 0.05. לאחר החלת הכלל שצוין, מתברר שאתה צריך לכתוב אפס מספרים שלמים. אבל זה לא מצוין. נותר לרשום רק את החלקים השברים. במספר הראשוןהמכנה יהיה שווה ל-10, השני יהיה 100. כלומר, בדוגמאות המצוינות יהיו מספרים כתשובות: 9/10, 5/100. יתר על כן, ניתן להקטין את האחרון ב-5. לכן, התוצאה עבורו צריכה להיכתב 1/20.
איך יוצרים שבר רגיל משבר עשרוני אם החלק השלם שלו שונה מאפס? לדוגמה, 5, 23 או 13, 00108. שתי הדוגמאות קוראים את החלק השלם וכותבות את ערכו. במקרה הראשון, זה 5, בשני - 13. אז אתה צריך לעבור לחלק השבר. איתם יש צורך לבצע את אותה פעולה. המספר הראשון מופיע 23/100, השני - 108/100000. יש להפחית שוב את הערך השני. התשובה היא שברים מעורבים: 5 23/100 ו-13 27/25000.
איך להמיר עשרוני אינסופי לשבר משותף?
אם זה לא תקופתי, אז לא ניתן לבצע פעולה כזו. עובדה זו נובעת מהעובדה שכל שבר עשרוני מומר תמיד לסופי או למחזורי.
הדבר היחיד שאתה יכול לעשות עם שבר כזה הוא לעגל אותו. אבל אז המספר העשרוני יהיה שווה בערך לאין הסוף הזה. זה כבר יכול להפוך לרגיל. אבל התהליך ההפוך: המרה לעשרוני - לעולם לא ייתן את הערך ההתחלתי. כלומר, אינסוף שברים לא מחזוריים אינם מומרים לשברים רגילים. זה משהו שצריך לזכור.
איך לכתוב שבר מחזורי אינסופי כשבר רגיל?
במספרים האלה, אחרי הנקודה העשרונית, מופיעה תמיד ספרה אחת או יותר, שחוזרות על עצמן. הם נקראים מחזורים. לדוגמה, 03(3). כאן "3" בתקופה. הם מסווגים כרציונליים מכיוון שניתן להמיר אותם לשברים רגילים.
אלו שנתקלו בשברים תקופתיים יודעים שהם יכולים להיות טהורים או מעורבים. במקרה הראשון, הנקודה מתחילה מיד מהפסיק. בחלק השני, החלק השברי מתחיל במספרים כלשהם, ואז מתחילה החזרה.
הכלל לפיו אתה צריך לכתוב אינסוף עשרוני כשבר רגיל יהיה שונה עבור שני סוגי המספרים הללו. די קל לכתוב שברים תקופתיים טהורים כשברים רגילים. כמו באחרונים, יש להמיר אותם: כתוב את הנקודה למונה, והמספר 9 יהיה המכנה, וחוזר על עצמו כמה פעמים שיש ספרות בתקופה.
לדוגמה, 0, (5). למספר אין חלק שלם, אז אתה צריך להמשיך מיד לחלק השברי. כתוב 5 במונה ו-9 במכנה. כלומר, התשובה תהיה השבר 5/9.
הכלל כיצד לכתוב שבר מחזורי עשרוני רגיל המעורב.
- ספור את הספרות השבריות עד לנקודה. הם יציינו את מספר האפסים במכנה.
- הצג את אורך התקופה. לכל כך הרבה 9 יהיה מכנה.
- רשום את המכנה: קודם תשע, ואז אפסים.
- כדי לקבוע את המונה, עליך לרשום את ההפרש של שני מספרים. כל הספרות אחרי הנקודה העשרונית יקטן, יחד עם הנקודה. ניתן לחסר - הוא ללא נקודה.
לדוגמה, 0, 5(8) - כתוב את השבר העשרוני המחזורי כשבר משותף. החלק השברי לפני התקופה הואספרה אחת. אז אפס יהיה אחד. יש גם רק ספרה אחת בתקופה - 8. כלומר יש רק תשע אחת. כלומר, במכנה צריך לכתוב 90.
כדי לקבוע את המונה מ-58, צריך להחסיר 5. מסתבר ש-53. לדוגמה, התשובה תצטרך להיכתב 53/90.
איך ממירים שברים נפוצים לעשרונים?
האפשרות הפשוטה ביותר היא מספר שהמכנה שלו הוא המספר 10, 100 וכן הלאה. ואז המכנה פשוט מושלך, ומציבים פסיק בין החלקים השבריים והשלמים.
יש מצבים שבהם המכנה הופך בקלות ל-10, 100 וכו'. לדוגמה, המספרים 5, 20, 25. מספיק להכפיל אותם ב-2, 5 ו-4 בהתאמה. רק הכפל נדרש לא רק עבור המכנה, אלא גם עבור המונה באותו מספר.
בכל שאר המקרים, כלל פשוט שימושי: חלק את המונה במכנה. במקרה זה, ייתכן שתקבל שתי תשובות: שבר עשרוני סופי או מחזורי.
פעולות עם שברים נפוצים
הוספה וחיסור
הסטודנטים לומדים להכיר אותם לפני אחרים. ובהתחלה לשברים יש אותם מכנים, ואחר כך שונים. ניתן לצמצם את הכללים הכלליים לתוכנית זו.
- מצא את הכפולה הפחות משותפת של המכנים.
- רשום גורמים נוספים לכל השברים הנפוצים.
- כפל את המונים והמכנים בגורמים שהוגדרו עבורם.
- הוסף (תחסיר) את המונה של השברים והשאר את המכנה המשותף ללאשינויים.
- אם המונה של המינואנד קטן מהמשנה, אז אתה צריך לברר אם יש לנו מספר מעורב או שבר תקין.
- במקרה הראשון, החלק השלם חייב לקחת אחד. הוסף מכנה למונה של שבר. ולאחר מכן בצע את החיסור.
- בשני - יש צורך להחיל את כלל החיסור ממספר קטן יותר למספר גדול יותר. כלומר, הורידו את מודול ה-minuend ממודלוס ה-subtrahend, ושימו את הסימן "-" בתגובה.
- הסתכל בזהירות על תוצאת החיבור (חיסור). אם אתה מקבל שבר לא תקין, אז זה אמור לבחור את כל החלק. כלומר, חלקו את המונה במכנה.
כפל וחילוק
ליישום שלהם, אין צורך לצמצם שברים למכנה משותף. זה מקל על ביצוע הפעולה. אבל הם עדיין צריכים לציית לכללים.
- כאשר מכפילים שברים רגילים, יש צורך לשקול את המספרים במונים ובמכנים. אם למונה ולמכנה כלשהו יש גורם משותף, ניתן להקטין אותם.
- כפל מספרים.
- כפל מכנים.
- אם התוצאה היא שבר מופחת, אז זה אמור להיות מפושט שוב.
- בעת חלוקה, תחילה עליך להחליף את החלוקה בכפל, ואת המחלק (שבר שני) בהדדיות (להחליף את המונה והמכנה).
- לאחר מכן המשך כמו בכפל (החל משלב 1).
- במשימות שבהן אתה צריך להכפיל (לחלק) במספר שלם, האחרוןצריך להיכתב כשבר לא תקין. כלומר, עם מכנה של 1. לאחר מכן המשך כמתואר לעיל.
פעולות עשרוניות
הוספה וחיסור
כמובן, תמיד אפשר להפוך שבר עשרוני לשבר רגיל. ולפעול לפי התוכנית שתוארה כבר. אבל לפעמים יותר נוח לפעול בלי התרגום הזה. אז הכללים לחיבור והפחתה שלהם יהיו זהים לחלוטין.
- שווה את מספר הספרות בחלק השבר של המספר, כלומר אחרי הנקודה העשרונית. הקצה את המספר החסר של אפסים בו.
- כתוב שברים כך שהפסיק יהיה מתחת לפסיק.
- הוסף (הורדה) כמו מספרים טבעיים.
- הסר את הפסיק.
כפל וחילוק
חשוב שלא תוסיף כאן אפסים. שברים אמורים להישאר כפי שהם ניתנים בדוגמה. ואז ללכת לפי התוכנית.
- לכפל, כתוב את השברים אחד מתחת לשני, תוך התעלמות מהפסיקים.
- כפל כמו מספרים טבעיים.
- שים פסיק בתשובה, סופר מהקצה הימני של התשובה כמה ספרות שיש בחלקים השברים של שני הגורמים.
- כדי לחלק, תחילה עליך להמיר את המחלק: הפוך אותו למספר טבעי. כלומר, הכפל אותו ב-10, 100 וכו', תלוי בכמה ספרות יש בחלק השבר של המחלק.
- כפל את הדיבידנד באותו מספר.
- חלק עשרוני במספר טבעי.
- שים פסיק בתשובה ברגע שבו הסתיימה החלוקה של החלק השלם.
מה אם יש שני סוגי השברים בדוגמה אחת?
כן, במתמטיקה יש פעמים רבות דוגמאות שבהן אתה צריך לבצע פעולות על שברים רגילים ושברים עשרוניים. ישנם שני פתרונות אפשריים לבעיות אלו. עליך לשקול באופן אובייקטיבי את המספרים ולבחור את המספרים הטובים ביותר.
דרך ראשונה: מייצגים עשרוניות רגילות
זה מתאים אם החלוקה או המרה מביאים לשברים סופיים. אם מספר אחד לפחות נותן חלק תקופתי, אז הטכניקה הזו אסורה. לכן, גם אם אינך אוהב לעבוד עם שברים רגילים, תצטרך לספור אותם.
דרך שנייה: כתוב שברים עשרוניים כשברים נפוצים
טכניקה זו נוחה אם יש 1-2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית. אם יש יותר מהם, יכול להתברר שבר רגיל גדול מאוד וערכים עשרוניים יאפשרו לך לחשב את המשימה מהר יותר וקל יותר. לכן, עליך תמיד להעריך את המשימה בצורה מפוכחת ולבחור בשיטת הפתרון הפשוטה ביותר.
