שברים נפוצים ועשרוניים. כאשר התלמיד לומד על קיומו של האחרון, הוא מתחיל בכל הזדמנות להמיר כל דבר אפשרי לצורה עשרונית, גם אם זה לא נדרש.
למרבה הפלא, לתלמידי תיכון ולתלמידים יש העדפות שונות, כי קל יותר לבצע פעולות חשבון רבות עם שברים רגילים. והערכים שאיתם מתמודדים הבוגרים יכולים לפעמים להיות פשוט בלתי אפשריים להמיר לצורה עשרונית ללא הפסד. כתוצאה מכך, שני סוגי השברים מותאמים, כך או אחרת, למקרה ויש להם יתרונות וחסרונות משלהם. בוא נראה איך לעבוד איתם.
הגדרה
שברים הם אותם שברים. אם יש עשר פרוסות בתפוז, וקיבלתם אחת, אז יש לכם 1/10 מהפרי ביד. עם סימון כזה, כמו במשפט הקודם, השבר ייקרא שבר רגיל. אם אתה כותב כמו 0, 1 הוא עשרוני. שתי האפשרויות שוות, אך יש להן יתרונות משלהן. האפשרות הראשונה נוחה יותר כאשר מכפילים וחלוקה, השנייה - לחיבור, חיסור ובמספר מקרים נוספים.
איך להמיר שבר לצורה אחרת
נניח שיש לך שבר משותף ואתה רוצה להמיר אותו לשבר עשרוני. מה צריך לעשות בשביל זה?
אגב, צריך להחליט מראש שאי אפשר לכתוב שום מספר בצורה עשרונית בלי בעיות. לפעמים צריך לעגל את התוצאה, להפסיד מספר מסוים של מקומות עשרוניים, ובתחומים רבים - למשל במדעים המדויקים - זהו מותרות שלא משתלמת לחלוטין. יחד עם זאת, פעולות עם שברים עשרוניים ושברים רגילים בכיתה ה' מאפשרות העברה כזו מצורה אחת לאחרת ללא הפרעה, לפחות כתרגול.
אם אתה יכול לקבל כפולה של 10 מהמכנה על ידי הכפלה או חלוקה במספר שלם, ההעברה תעבור ללא כל קושי: ¾ הופך ל-0.75, 13/20 הופך ל-0.65.
ההליך ההפוך הוא אפילו יותר קל, כי משבר עשרוני אתה תמיד יכול לקבל אחד רגיל ללא אובדן דיוק. לדוגמה, 0.2 הופך ל-1/5 ו-0.08 הופך ל-4/25.
טרנספורמציות פנימיות
לפני ביצוע פעולות משותפות עם שברים רגילים, עליך להכין מספרים לפעולות מתמטיות אפשריות.
קודם כל, אתה צריך להביא את כל השברים בדוגמה לצורה אחת משותפת. הם חייבים להיות רגילים או עשרוניים. בוא נעשה הזמנה מיד שיותר נוח לבצע כפל וחילוק עם הראשונים.
בהכנת מספרים לפעולות נוספות, תעזרו בכלל המכונה תכונה בסיסית של שבר ומשמש הן בשנים הראשונות של לימוד המקצוע והן במתמטיקה גבוהה יותר, הנלמדת באוניברסיטאות.
מאפיינים של שברים
נניח שיש לך ערך מסוים. נניח 2/3. מה קורה אם מכפילים את המונה והמכנה ב-3? קבל 6/9. מה אם זה מיליון? 2000000/3000000. אבל רגע, כי המספר לא משתנה מבחינה איכותית כלל - 2/3 נשארים שווה ל-2000000/3000000. רק הצורה משתנה, לא התוכן. אותו דבר קורה כאשר שני החלקים מחולקים באותו ערך. זהו המאפיין העיקרי של השבר, שיעזור לך שוב ושוב לבצע פעולות עם שברים עשרוניים ושברים רגילים במבחנים ובבחינות.
כפל המונה והמכנה באותו מספר נקרא הרחבת שבר, וחילוק נקרא הפחתה. אני חייב לומר שחציית אותם מספרים למעלה ולמטה בעת הכפלה וחלוקת שברים היא הליך נעים להפתיע (כמובן במסגרת שיעור מתמטיקה). נראה שהתשובה קרובה והדוגמה כמעט נפתרה.
שברים לא סדירים
שבר לא תקין הוא שבר שבו המונה גדול או שווה למכנה. במילים אחרות, אם ניתן להבחין חלק שלם ממנו, הוא נופל תחת ההגדרה הזו.
אם מספר כזה (גדול או שווה לאחד) מיוצג כשבר רגיל, הוא ייקראשגוי. ואם המונה קטן מהמכנה - נכון. שני הסוגים נוחים באותה מידה ביישום פעולות אפשריות עם שברים רגילים. ניתן להכפיל ולחלק אותם באופן חופשי, להוסיף ולהחסיר אותם.
אם נבחר חלק שלם בו-זמנית ויש שארית בצורת שבר, המספר המתקבל ייקרא מעורב. בעתיד תתקלו בדרכים שונות לשילוב מבנים כאלה עם משתנים, כמו גם פתרון משוואות היכן שידע זה נדרש.
פעולות אריתמטיות
אם הכל ברור עם התכונה הבסיסית של שבר, אז איך להתנהג כשמכפילים שברים? פעולות עם שברים רגילים בכיתה ה' כוללות כל מיני פעולות חשבון שמתבצעות בשתי דרכים שונות.
הכפל והחילוק קלים מאוד. במקרה הראשון, המונים והמכנים של שני שברים פשוט מוכפלים. בשני - אותו דבר, רק לרוחב. לפיכך, המונה של השבר הראשון מוכפל במכנה של השני, ולהיפך.
כדי לבצע חיבור וחיסור, צריך לבצע פעולה נוספת - להביא את כל מרכיבי הביטוי למכנה משותף. המשמעות היא שיש לשנות את החלקים התחתונים של השברים לאותו ערך - כפולה של שני המכנים הזמינים. לדוגמה, עבור 2 ו-5 זה יהיה 10. עבור 3 ו-6 - 6. אבל אז מה לעשות עם החלק העליון? לא נוכל להשאיר אותו כפי שהיה אם נשנה את התחתון. לפי התכונה הבסיסית של שבר, נכפיל את המונה באותו מספר,שהוא המכנה. פעולה זו חייבת להתבצע על כל אחד מהמספרים שאנו נוסיף או נחסר. עם זאת, פעולות כאלה עם שברים רגילים בכיתה ו' כבר מבוצעות "על המכונה", וקשיים מתעוררים רק בשלב הראשוני של לימוד הנושא.
Comparison
אם לשני שברים יש אותו מכנה, אז זה עם המונה הגדול יותר יהיה גדול יותר. אם החלקים העליונים זהים, זה עם המכנה הקטן יותר יהיה גדול יותר. יש לזכור שמצבים מוצלחים שכאלה לשם השוואה מתרחשים לעתים רחוקות. סביר להניח שגם החלק העליון והתחתון של הביטויים לא יתאימו. אז אתה צריך לזכור את הפעולות האפשריות עם שברים רגילים ולהשתמש בטכניקה המשמשת בחיבור וחיסור. כמו כן, זכור שאם אנחנו מדברים על מספרים שליליים, אז השבר הגדול יותר יהיה קטן יותר.
היתרונות של שברים נפוצים
קורה שמורים מספרים לילדים ביטוי אחד, שתוכנו יכול לבוא לידי ביטוי כך: ככל שיינתן יותר מידע בעת ניסוח המשימה, כך הפתרון יהיה קל יותר. זה נשמע מוזר? אבל באמת: עם מספר רב של ערכים ידועים, אתה יכול להשתמש כמעט בכל נוסחה, אבל אם סופקו רק כמה מספרים, ייתכן שיידרשו השתקפויות נוספות, תצטרך לזכור ולהוכיח משפטים, לתת טיעונים לטובת הווייתך. נכון…
בשביל מה אנחנו עושים את זה? וחוץ מזה, שברים רגילים, עם כל הסרבול שלהם, יכולים לפשט מאוד את החיים.לתלמיד, מאפשר בעת הכפלה וחילוק לצמצם שורות ערכים שלמות, ובחישוב הסכום וההפרש, להוציא טיעונים נפוצים ושוב, להפחית אותם.
כשנדרש לבצע פעולות משותפות עם שברים רגילים ועשרוניים, מתבצעות טרנספורמציות לטובת הראשון: איך ממירים 3/17 לצורה עשרונית? רק עם אובדן מידע, לא אחרת. אבל 0, 1 יכול להיות מיוצג כ-1/10, ולאחר מכן כ-17/170. ואז ניתן להוסיף או להחסיר את שני המספרים המתקבלים: 30/170 + 17/170=47/170.
היתרונות של ספרות עשרוניות
אם פעולות עם שברים רגילים יותר נוחות, אז כתיבת הכל בעזרתן היא מאוד לא נוחה, יש כאן יתרון משמעותי לשברים עשרוניים. השווה: 1748/10000 ו-0.1748 זהו אותו ערך המוצג בשתי גרסאות שונות. כמובן, הדרך השנייה קלה יותר!
כמו כן, קל יותר לייצוג מספרים עשרוניים מכיוון שלכל הנתונים יש בסיס משותף השונה רק בסדרי גודל. נניח שאנו יכולים לזהות בקלות 30% הנחה ואף להעריך אותה כמשמעותית. האם תבינו מיד מה יותר - 30% או 137/379? לפיכך, שברים עשרוניים מספקים סטנדרטיזציה של חישובים.
בתיכון תלמידים פותרים משוואות ריבועיות. זה כבר בעייתי ביותר לבצע פעולות עם שברים רגילים כאן, שכן הנוסחה לחישוב הערכים של המשתנה מכילה את השורש הריבועי של הסכום. בנוכחות שבר שאינו ניתן לצמצום לעשרוני, הפתרון הופך כל כך מסובך עדזה הופך להיות כמעט בלתי אפשרי לחשב את התשובה המדויקת ללא מחשבון.
לכן לכל דרך לייצוג שברים יש יתרונות משלה בהקשר המתאים לה.
טפסי כניסה
ישנן שתי דרכים לכתוב פעולות עם שברים רגילים: דרך קו אופקי, לשתי "דרגות", ודרך לוכסן (הידוע גם בשם "לוכסן") - לקו. כאשר תלמיד כותב במחברת, האפשרות הראשונה בדרך כלל נוחה יותר, ולכן נפוצה יותר. חלוקה של מספר מספרים לתאים תורמת לפיתוח קשב בחישובים ובטרנספורמציות. בעת כתיבה למחרוזת, אתה יכול בלי משים לערבב את סדר הפעולות, לאבד כל מידע - כלומר לטעות.
לעיתים קרובות יש בימינו צורך להדפיס מספרים במחשב. ניתן להפריד שברים עם פס אופקי מסורתי באמצעות פונקציה ב-Microsoft Word 2010 ואילך. העובדה היא שבגרסאות אלו של התוכנה ישנה אפשרות שנקראת "נוסחה". הוא מציג שדה מלבני שניתן לשינוי שבתוכו ניתן לשלב כל סמל מתמטי, להרכיב שברים של שתיים ו"ארבע קומות". במכנה ובמונה, ניתן להשתמש בסוגריים, סימני פעולה. כתוצאה מכך, תוכל לרשום כל פעולה משותפת עם שברים רגילים ועשרוניים בצורה המסורתית, כלומר, כפי שמלמדים אותם לעשות בבית הספר.
אם אתה משתמש בעורך הטקסט הרגיל של Notepad, אז הכלביטויים שברים יצטרכו להיכתב באמצעות קו נטוי. למרבה הצער, אין כאן דרך אחרת.
מסקנה
אז הסתכלנו על כל הפעולות הבסיסיות עם שברים רגילים, שמסתבר שהם לא כל כך הרבה.
אם בהתחלה נראה שזהו קטע קשה במתמטיקה, אז זה רק רושם זמני - זכרו, פעם חשבתם כך על לוח הכפל, ועוד קודם לכן - על ספרי העותקים הרגילים והספירה מ אחד עד עשר.
חשוב להבין ששברים משמשים בכל מקום בחיי היומיום. תתעסקו בכסף ובחישובים הנדסיים, טכנולוגיית מידע ואוריינות מוזיקלית, ובכל מקום - בכל מקום! - יופיעו מספרים שברים. לכן, אל תתעצלו ותלמדו את הנושא הזה ביסודיות - במיוחד שהוא לא כל כך קשה.
