שניות, משיקים - ניתן היה לשמוע את כל זה מאות פעמים בשיעורי גיאומטריה. אבל סיום הלימודים בבית הספר נגמר, שנים חולפות, וכל הידע הזה נשכח. מה צריך לזכור?
Essence
המושג "משגע למעגל" כנראה מוכר לכולם. אבל לא סביר שכולם יצליחו לגבש במהירות את ההגדרה שלו. בינתיים, משיק הוא קו ישר שכזה השוכן באותו מישור עם מעגל שחותך אותו בנקודה אחת בלבד. יכול להיות שיש מגוון עצום שלהם, אבל לכולם יש את אותם מאפיינים, אשר יידונו להלן. כפי שניתן לנחש, נקודת המגע היא המקום שבו המעגל והקו מצטלבים. בכל מקרה, זה אחד, אבל אם יהיו יותר, אז זה יהיה קטע.
היסטוריה של גילוי ולימוד
המושג של משיק הופיע בעת העתיקה. בניית הקווים הישרים הללו, תחילה למעגל, ולאחר מכן לאליפסות, פרבולות והיפרבולות בעזרת סרגל ומצפן, בוצעה עוד בשלבים הראשונים של התפתחות הגיאומטריה. כמובן, ההיסטוריה לא שמרה את שמו של המגלה, אבלברור שגם באותה תקופה אנשים היו מודעים למדי לתכונות המשיק למעגל.
בעת המודרנית, העניין בתופעה זו התלקח שוב - החל סבב חדש של לימוד מושג זה, בשילוב עם גילוי עקומות חדשות. אז, גלילאו הציג את המושג ציקלואיד, ופרמה ודקארט בנו לו משיק. לגבי המעגלים, נראה שלא נותרו סודות לקדמונים באזור זה.
Properties
הרדיוס המצייר לנקודת החיתוך יהיה מאונך לישר. זה
התכונה העיקרית, אבל לא היחידה, שיש למשיק למעגל. תכונה חשובה נוספת כוללת כבר שני קווים ישרים. אז, דרך נקודה אחת השוכנת מחוץ למעגל, ניתן לצייר שני משיקים, בעוד שהקטעים שלהם יהיו שווים. ישנו משפט נוסף בנושא זה, אך לעיתים רחוקות הוא מכוסה במסגרת קורס בית ספר סטנדרטי, אם כי הוא נוח מאוד לפתרון בעיות מסוימות. זה נשמע ככה. מנקודה אחת הממוקמת מחוץ למעגל, נמשכים אליה משיק וגזרה. נוצרים מקטעים AB, AC ו-AD. A הוא מפגש הקווים, B הוא נקודת המגע, C ו-D הם המפגשים. במקרה זה, השוויון הבא יהיה תקף: אורך המשיק למעגל, בריבוע, יהיה שווה למכפלת המקטעים AC ו-AD.
מהאמור לעיל יש תוצאה חשובה. עבור כל נקודה של המעגל, אתה יכול לבנות משיק, אבל רק אחד. ההוכחה לכך היא פשוטה למדי: אם תיאורטית נשמטת מאונך מהרדיוס אליו, אנו מגלים שהנוצרמשולש לא יכול להתקיים. וזה אומר שהמשיק הוא היחיד.
בניין
בין יתר הבעיות בגיאומטריה, ישנה קטגוריה מיוחדת, ככלל, לא
אהוב על תלמידים וסטודנטים. כדי לפתור משימות מקטגוריה זו, אתה צריך רק מצפן וסרגל. אלו משימות בנייה. יש גם שיטות לבניית משיק.
אז, בהינתן מעגל ונקודה השוכבת מחוץ לגבולותיה. ויש צורך לצייר משיק דרכם. איך לעשות את זה? קודם כל, אתה צריך לצייר קטע בין מרכז המעגל O לנקודה נתונה. לאחר מכן, בעזרת מצפן, חלקו אותו לשניים. כדי לעשות זאת, אתה צריך להגדיר את הרדיוס - קצת יותר ממחצית המרחק בין מרכז המעגל המקורי לנקודה הנתונה. לאחר מכן, אתה צריך לבנות שתי קשתות מצטלבות. יתרה מכך, אין צורך לשנות את רדיוס המצפן, ומרכז כל חלק במעגל יהיה הנקודה ההתחלתית ו-O, בהתאמה. יש לחבר את הצמתים של הקשתות, מה שיחלק את הקטע לשניים. הגדר רדיוס על המצפן שווה למרחק זה. לאחר מכן, כשהמרכז נמצא בנקודת ההצטלבות, צייר עיגול נוסף. ישכבו עליה גם הנקודה הראשונית וגם O. במקרה זה יהיו עוד שני מפגשים עם המעגל המופיע בבעיה. הן יהיו נקודות המגע של הנקודה שניתנה בהתחלה.
מענין
בניית המשיקים למעגל היא שהובילה להולדתו של
חשבון דיפרנציאלי. העבודה הראשונה בנושא זה הייתהפורסם על ידי המתמטיקאי הגרמני המפורסם לייבניץ. הוא סיפק את האפשרות למצוא מקסימום, מינימה ומשיקים, ללא קשר לערכים שברים ולא רציונליים. ובכן, עכשיו הוא משמש גם לחישובים רבים אחרים.
חוץ מזה, המשיק למעגל קשור למשמעות הגיאומטרית של המשיק. מכאן בא שמו. בתרגום מלטינית, tangens פירושו "משגע". לפיכך, מושג זה קשור לא רק לגיאומטריה ולחשבון דיפרנציאלי, אלא גם לטריגונומטריה.
שני מעגלים
לא תמיד משיק משפיע רק על צורה אחת. אם ניתן לצייר מספר עצום של קווים ישרים למעגל אחד, אז למה לא להיפך? פחית. אבל המשימה במקרה זה היא מאוד מסובכת, מכיוון שהמשיק לשני מעגלים עשוי שלא לעבור דרך אף נקודה, והמיקום היחסי של כל הדמויות הללו יכול להיות מאוד
שונה.
סוגים וזנים
כשמדובר בשני עיגולים ובקו אחד או יותר, גם אם ידוע שמדובר במשייקים, לא מתברר מיד כיצד כל הדמויות הללו ממוקמות זו ביחס לזו. בהתבסס על זה, ישנם מספר זנים. אז, למעגלים יכולה להיות נקודה משותפת אחת או שתיים או לא להכיל אותן בכלל. במקרה הראשון, הם יצטלבו, ובשני, הם יגעו. והנה יש שני זנים. אם מעגל אחד מוטבע, כביכול, בשני, אז המגע נקרא פנימי, אם לא, אז חיצוני. להבין הדדימיקום הדמויות אפשרי לא רק על סמך השרטוט, אלא גם על סמך מידע על סכום הרדיוסים שלהן והמרחק בין המרכזים שלהן. אם שתי הכמויות הללו שוות, אז העיגולים נוגעים. אם הראשון גדול יותר, הם מצטלבים, ואם הוא קטן יותר, אז אין להם נקודות משותפות.
אותו הדבר עם קווים ישרים. עבור כל שני מעגלים שאין להם נקודות משותפות, אתה יכול
בנה ארבעה משיקים. שניים מהם יצטלבו בין הדמויות, הם נקראים פנימיים. כמה אחרים הם חיצוניים.
אם אנחנו מדברים על מעגלים שיש להם נקודה משותפת אחת, אז המשימה מאוד פשוטה. העובדה היא שלכל הסדר הדדי במקרה זה, יהיה להם רק משיק אחד. וזה יעבור בנקודת ההצטלבות שלהם. אז בניית הקושי לא תגרום.
אם לדמויות יש שתי נקודות חיתוך, אז ניתן לבנות עבורן קו ישר המשיק למעגל, גם האחת וגם השנייה, אבל רק החיצוני. הפתרון לבעיה זו דומה למה שיידון להלן.
פתרון בעיות
משיקים פנימיים וחיצוניים לשני מעגלים אינם כל כך פשוטים לבנייה, אם כי ניתן לפתור בעיה זו. העובדה היא שמשתמשים בנתון עזר לכך, אז תחשבו על השיטה הזו בעצמכם
די בעייתי. אז, נתון שני עיגולים עם רדיוסים ומרכזים שונים O1 ו- O2. עבורם, אתה צריך לבנות שני זוגות של משיקים.
קודם כל, ליד המרכז של הגדול יותריש לבנות מעגלים כעזר. במקרה זה, יש לקבוע את ההבדל בין הרדיוסים של שתי הדמויות הראשוניות על המצפן. טנגנטים למעגל העזר בנויים ממרכז המעגל הקטן יותר. לאחר מכן, מ-O1 ו-O2, נמשכים הניצבים לקווים אלה עד שהם מצטלבים עם הדמויות המקוריות. כדלקמן מהמאפיין העיקרי של המשיק, נמצאות הנקודות הרצויות בשני המעגלים. הבעיה נפתרה, לפחות החלק הראשון שלה.
כדי לבנות משיקים פנימיים, תצטרך לפתור באופן מעשי
משימה דומה. שוב, יש צורך בנתון עזר, אך הפעם הרדיוס שלו יהיה שווה לסכום המקוריים. טנגנטים בנויים אליו ממרכז אחד המעגלים הנתונים. ניתן להבין את המשך הפתרון מהדוגמה הקודמת.
טנג'נט למעגל או אפילו שניים או יותר זו לא משימה כל כך קשה. כמובן, מתמטיקאים כבר מזמן הפסיקו לפתור בעיות כאלה באופן ידני ולסמוך על החישובים לתוכניות מיוחדות. אבל אל תחשוב שעכשיו אין צורך להיות מסוגל לעשות את זה בעצמך, כי כדי לנסח נכון משימה למחשב, אתה צריך לעשות ולהבין הרבה. למרבה הצער, יש חשש שאחרי המעבר הסופי לצורת המבחן של בקרת ידע, משימות הבנייה יגרמו לתלמידים עוד ועוד קשיים.
באשר למציאת משיקים משותפים ליותר מעגלים, זה לא תמיד אפשרי, גם אם הם שוכבים באותו מישור. אבל במקרים מסוימים אתה יכול למצוא קו ישר כזה.
דוגמאות לחיים
משיק משותף לשני מעגלים נתקל לעתים קרובות בפועל, אם כי הוא לא תמיד מורגש. מסועים, מערכות בלוקים, רצועות תמסורת גלגלות, מתח חוטים במכונת תפירה, ואפילו רק שרשרת אופניים - כל אלו דוגמאות מהחיים. אז אל תחשוב שבעיות גיאומטריות נשארות רק בתיאוריה: בהנדסה, בפיזיקה, בבנייה ובתחומים רבים אחרים, הם מוצאים יישומים מעשיים.
