חישוב נפחים של דמויות מרחביות הוא אחת המשימות החשובות של סטריאומטריה. במאמר זה נשקול את סוגיית קביעת הנפח של רב-הדרון כזה כמו פירמידה, וכן ניתן את הנוסחה לנפח של פירמידה משושה רגילה.
פירמידה משושה
תחילה, בואו נסתכל על הדמות, עליה נדון במאמר.
בואו יהיה משושה שרירותי שצלעותיו לא בהכרח שוות זו לזו. נניח גם שבחרנו נקודה במרחב שאינה במישור המשושה. על ידי חיבור כל הפינות של האחרון עם הנקודה שנבחרה, אנו מקבלים פירמידה. שתי פירמידות שונות בעלות בסיס משושה מוצגות באיור למטה.
ניתן לראות שבנוסף למשושה הדמות מורכבת משישה משולשים שנקודת החיבור שלהם נקראת קודקוד. ההבדל בין הפירמידות המתוארות הוא שגובה h של ימין מהן אינו חוצה את הבסיס המשושה במרכז הגיאומטרי שלו, וגובה הדמות השמאלית נופל.ממש במרכז ההוא. הודות לקריטריון זה, הפירמידה השמאלית נקראה ישרה, והימנית - אלכסונית.
מכיוון שבסיס הדמות השמאלית באיור נוצר על ידי משושה בעל צלעות וזוויות שוות, הוא נקרא נכון. בהמשך המאמר נדבר רק על הפירמידה הזו.
נפח הפירמידה המשושה
כדי לחשב את הנפח של פירמידה שרירותית, הנוסחה הבאה תקפה:
V=1/3hSo
כאן h הוא אורך גובה הדמות, So הוא שטח הבסיס שלה. הבה נשתמש בביטוי זה כדי לקבוע את עוצמת הקול של פירמידה משושה רגילה.
מכיוון שהנתון הנדון מבוסס על משושה שווה צלעות, כדי לחשב את שטחו, ניתן להשתמש בביטוי הכללי הבא עבור n-גון:
S=n/4a2ctg(pi/n)
כאן n הוא מספר שלם השווה למספר הצלעות (פינות) של המצולע, a הוא אורך הצלע שלו, הפונקציה הקוטנגנטית מחושבת באמצעות הטבלאות המתאימות.
החלת הביטוי עבור n=6, נקבל:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
עכשיו נותר להחליף את הביטוי הזה בנוסחה הכללית של הכרך V:
V6=S6h=√3/2ha2
לפיכך, כדי לחשב את נפח הפירמידה הנידונה, יש צורך לדעת את שני הפרמטרים הליניאריים שלה: אורך צלע הבסיס וגובה הדמות.
דוגמה לפתרון בעיות
בוא נראה כיצד ניתן להשתמש בביטוי המתקבל עבור V6 כדי לפתור את הבעיה הבאה.
ידוע שנפח פירמידה משושה רגילה הוא 100 ס מ3. יש צורך לקבוע את צד הבסיס ואת גובה הדמות, אם ידוע שהם קשורים זה לזה על ידי השוויון הבא:
a=2h
מכיוון שרק a ו-h נכללים בנוסחה לנפח, ניתן להחליף כל אחד מהפרמטרים הללו לתוכה, לבטא במונחים של השני. לדוגמה, החלפת a, נקבל:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
כדי למצוא את ערך הגובה של דמות, צריך לקחת את השורש של המעלה השלישית מהנפח, התואם לממד האורך. נחליף את ערך הנפח V6 של הפירמידה מהצהרת הבעיה, נקבל את הגובה:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3.0676 ס מ
מכיוון שצד הבסיס, בהתאם למצב הבעיה, הוא פי שניים מהערך שנמצא, נקבל את הערך עבורו:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
ניתן למצוא את הנפח של פירמידה משושה לא רק דרך גובה הדמות והערך של דופן הבסיס שלה. מספיק לדעת שני פרמטרים ליניאריים שונים של הפירמידה כדי לחשב אותה, למשל, את האפוטמה ואורך קצה הצד.
