סטריאומטריה, כענף של גיאומטריה בחלל, חוקרת את התכונות של מנסרות, גלילים, קונוסים, כדורים, פירמידות ודמויות תלת-ממדיות אחרות. מאמר זה מוקדש לסקירה מפורטת של המאפיינים והמאפיינים של פירמידה רגילה משושה.
איזו פירמידה נלמד
פירמידה משושה רגילה היא דמות במרחב, המוגבלת על ידי משושה שווה צלעות ושווה זווית אחת, ושישה משולשים שווה שוקיים זהים. משולשים אלו יכולים להיות גם שווי צלעות בתנאים מסוימים. פירמידה זו מוצגת למטה.
אותה דמות מוצגת כאן, רק במקרה אחד היא מופנית עם הפנים הצדדיות לכיוון הקורא, ובשנייה - עם הקצה הרוחבי שלה.
לפירמידה משושה רגילה יש 7 פנים, שהוזכרו לעיל. יש לו גם 7 קודקודים ו-12 קצוות. בניגוד למנסרות, לכל הפירמידות יש קודקוד אחד מיוחד, שנוצר על ידי הצטלבות הצדדית.משולשים. עבור פירמידה רגילה, היא ממלאת תפקיד חשוב, שכן האנך שהורד ממנה לבסיס הדמות הוא הגובה. יתר על כן, הגובה יסומן באות h.
הפירמידה המוצגת נקראת נכונה משתי סיבות:
- בבסיסו משושה עם אורכי צלעות שווים a וזוויות שוות של 120o;
- גובה הפירמידה h חותך את המשושה בדיוק במרכזו (נקודת החיתוך נמצאת באותו מרחק מכל הצדדים ומכל קודקודי המשושה).
שטח פני השטח
מאפיינים של פירמידה משושה רגילה ייחשבו מהגדרת השטח שלה. כדי לעשות זאת, תחילה כדאי לפרוש את הדמות במטוס. ייצוג סכמטי שלו מוצג להלן.
ניתן לראות ששטח הסוויפ, ומכאן כל פני השטח של הדמות הנבדקת, שווה לסכום השטחים של שישה משולשים זהים ומשושה אחד.
כדי לקבוע את השטח של משושה S6, השתמש בנוסחה האוניברסלית עבור n-gon רגיל:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
כאשר a הוא אורך הצלע של המשושה.
את השטח של משולש S3 של הצלע הצדדית ניתן למצוא אם אתה יודע את הערך של גובהו hb:
S3=1/2hba.
כי כל השישהמשולשים שווים זה לזה, ואז נקבל ביטוי עבודה לקביעת השטח של פירמידה משושה עם הבסיס הנכון:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
כרך פירמידה
בדיוק כמו השטח, הנפח של פירמידה רגילה משושה הוא המאפיין החשוב שלו. נפח זה מחושב על ידי הנוסחה הכללית עבור כל הפירמידות והקונוסים. בוא נרשום את זה:
V=1/3Soh.
כאן, הסמל So הוא האזור של הבסיס המשושה, כלומר So=S 6.
החלפת הביטוי שלמעלה ב-S6 בנוסחה של V, נגיע לשוויון הסופי לקביעת הנפח של פירמידה משושה רגילה:
V=√3/2a2h.
דוגמה לבעיה גיאומטרית
בפירמידה משושה רגילה, הקצה הרוחבי הוא פי שניים מאורך צד הבסיס. בידיעה שהאחרון הוא 7 ס מ, יש צורך לחשב את שטח הפנים והנפח של הדמות הזו.
כפי שאפשר לנחש, הפתרון של בעיה זו כרוך בשימוש בביטויים שהתקבלו לעיל עבור S ו-V. עם זאת, לא ניתן יהיה להשתמש בהם מיד, מכיוון שאיננו מכירים את הכתוב והמשפט גובה של פירמידה משושה רגילה. בוא נחשב אותם.
ניתן לקבוע את האפוטם hb על ידי התחשבות במשולש ישר זווית הבנוי על הצלעות b, a/2 ו-hb. כאן b הוא אורך קצה הצד. באמצעות מצב הבעיה, נקבל:
hb=√(b2-a2/4)=√(14) 2-72/4)=13, 555 ס מ.
ניתן לקבוע את גובה h של הפירמידה בדיוק באותו אופן כמו אפוטם, אבל כעת עלינו לשקול משולש עם הצלעות h, b ו-a, הממוקם בתוך הפירמידה. הגובה יהיה:
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 ס מ.
ניתן לראות שערך הגובה המחושב קטן מזה של האפוטם, וזה נכון לכל פירמידה.
עכשיו אתה יכול להשתמש בביטויים עבור נפח ושטח:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 ס מ2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48 ס מ3.
לכן, כדי לקבוע באופן חד משמעי מאפיין כלשהו של פירמידה משושה רגילה, עליך לדעת כל שני פרמטרים הליניאריים שלה.
