הכרת המרחק מנקודה למישור או לקו ישר מאפשרת לחשב את נפח ושטח הפנים של דמויות בחלל. חישוב המרחק הזה בגיאומטריה מתבצע באמצעות המשוואות המתאימות עבור העצמים הגיאומטריים שצוינו. במאמר נראה באילו נוסחאות ניתן להשתמש כדי לקבוע זאת.
משוואות קו ומישור
לפני מתן נוסחאות לקביעת המרחק מנקודה למישור ולקו, הבה נראה אילו משוואות מתארות את העצמים האלה.
כדי להגדיר נקודה, נעשה שימוש בסט של קואורדינטות במערכת הנתונה של צירי קואורדינטות. כאן נשקול רק את המערכת המלבנית הקרטזית שבה לצירים יש אותם וקטורים של יחידה והם מאונכים זה לזה. במישור, נקודה שרירותית מתוארת בשתי קואורדינטות, במרחב - בשלוש.
סוגים שונים של משוואות משמשים להגדרת קו ישר. בהתאם לנושא המאמר, אנו מציגיםרק שניים מהם, המשמשים במרחב דו-ממדי להגדרת קווים.
משוואה וקטורית. יש לו את הסימון הבא:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
המונח הראשון כאן מייצג את הקואורדינטות של נקודה ידועה השוכנת על הקו. האיבר השני הוא קואורדינטות וקטור הכיוון כפול מספר שרירותי λ.
משוואה כללית. הסימון שלו הוא כדלקמן:
Ax + By + C=0;
כאשר A, B, C הם כמה מקדמים.
המשוואה הכללית משמשת לעתים קרובות יותר לקביעת קווים במישור, עם זאת, כדי למצוא את המרחק מנקודה לישר במישור, נוח יותר לעבוד עם ביטוי וקטור.
מישור במרחב תלת מימדי יכול להיכתב גם בכמה דרכים מתמטיות. למרות זאת, לרוב בבעיות יש משוואה כללית, הכתובה כך:
Ax + By + Cz + D=0.
היתרון של סימון זה ביחס לאחרים הוא שהוא מכיל במפורש את הקואורדינטות של וקטור מאונך למישור. וקטור זה נקרא לו מדריך, הוא חופף לכיוון הנורמלי, והקואורדינטות שלו שוות ל-(A; B; C).
שימו לב שהביטוי לעיל חופף לצורת כתיבת משוואה כללית לקו ישר במרחב דו-ממדי, לכן בעת פתרון בעיות, יש להקפיד לא לבלבל את העצמים הגיאומטריים הללו.
מרחק בין נקודה לקו
בוא נראה כיצד לחשב את המרחק בין קו ישר לביןנקודה במרחב דו מימדי.
תהיה נקודה Q(x1; y1) ושורה נתונה על ידי:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
המרחק בין ישר לנקודה מובן כאורך קטע מאונך לישר זה, המורד אליו מהנקודה Q.
לפני חישוב המרחק הזה, עליך להחליף את קואורדינטות ה-Q במשוואה זו. אם הם עומדים בזה, אז Q שייך לקו הנתון, והמרחק המתאים שווה לאפס. אם הקואורדינטות של הנקודה אינן מובילות לשוויון, אז המרחק בין עצמים גיאומטריים אינו אפס. ניתן לחשב אותו באמצעות הנוסחה:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
כאן P היא נקודה שרירותית של הקו הישר, שהיא תחילתו של הווקטור PQ¯. הווקטור u¯ הוא קטע מנחה עבור קו ישר, כלומר הקואורדינטות שלו הן (a; b).
שימוש בנוסחה זו מצריך את היכולת לחשב את המכפלה הצולבת במונה.
בעיה עם נקודה וקו
נניח שאתה צריך למצוא את המרחק בין Q(-3; 1) לקו ישר המקיים את המשוואה:
y=5x -2.
החלפת הקואורדינטות של Q בביטוי, נוכל לוודא ש-Q לא שוכב על הקו. אתה יכול ליישם את הנוסחה עבור d שניתנה בפסקה למעלה אם אתה מייצג את המשוואה הזו בצורה וקטורית. בוא נעשה את זה ככה:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
עכשיו בואו ניקח כל נקודה בקו הזה, למשל (0; -2), ונבנה וקטור שמתחיל בה ומסתיים ב-Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
עכשיו החל את הנוסחה כדי לקבוע את המרחק, נקבל:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
מרחק מנקודה למטוס
כמו במקרה של ישר, המרחק בין מישור לנקודה במרחב מובן כאורך הקטע, אשר מנקודה נתונה מונמך בניצב למישור וחוצה אותו.
במרחב, נקודה ניתנת על ידי שלוש קואורדינטות. אם הם שווים ל-(x1; y1; z1), אז המרחק בין מישור ואת הנקודה הזו ניתן לחשב באמצעות הנוסחה:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
שימו לב ששימוש בנוסחה מאפשר למצוא רק את המרחק מהמטוס לקו. כדי למצוא את הקואורדינטות של הנקודה שבה קטע מאונך חותך מישור, יש צורך לכתוב משוואה עבור הישר שאליו שייך הקטע הזה, ולאחר מכן למצוא נקודה משותפת לישר זה ולמישור נתון.
בעיה עם מטוס ונקודה
מצא את המרחק מנקודה למישור אם ידוע שלנקודה יש קואורדינטות (3; -1; 2) והמישור ניתן על ידי:
-y + 3z=0.
כדי להשתמש בנוסחה המתאימה, נכתוב תחילה את המקדמים עבורמטוס נתון. מכיוון שהמשתנה x והאיבר החופשי נעדרים, המקדמים A ו-D שווים לאפס. יש לנו:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
קל להראות שהמישור הזה עובר דרך המוצא וציר ה-x שייך לו.
החלף את הקואורדינטות של הנקודה ואת המקדמים של המישור בנוסחה למרחק d, נקבל:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
שים לב שאם תשנה את קואורדינטת ה-x של נקודה, אז המרחק d לא ישתנה. עובדה זו פירושה שקבוצת הנקודות (x; -1; 2) יוצרת קו ישר המקביל למישור הנתון.
