מעגל הוא הדמות המרכזית בגיאומטריה, שתכונותיה נחשבות בבית הספר בכיתה ח'. אחת הבעיות האופייניות הקשורות למעגל היא למצוא את השטח של חלק כלשהו ממנו, הנקרא מגזר מעגלי. המאמר מספק נוסחאות לשטח של מגזר ואורך הקשת שלו, וכן דוגמה לשימוש בהן לפתרון בעיה ספציפית.
המושג של מעגל ומעגל
לפני מתן הנוסחה לשטח של מגזר של מעגל, הבה נבחן מהי הנתון המצוין. לפי ההגדרה המתמטית, מעגל מובנה כדמות כזו על מישור, שכל נקודותיו נמצאות במרחק שווה מנקודה אחת (מרכז).
כאשר בוחנים מעגל, נעשה שימוש בטרמינולוגיה הבאה:
- רדיוס - קטע שנמשך מהנקודה המרכזית לעיקול המעגל. זה מסומן בדרך כלל באות R.
- קוטר הוא קטע המחבר בין שתי נקודות של המעגל, אך עובר גם דרך מרכז הדמות.בדרך כלל זה מסומן באות D.
- קשת היא חלק מעיגול מעוקל. הוא נמדד ביחידות אורך או באמצעות זוויות.
מעגל הוא דמות גיאומטרית חשובה נוספת, היא אוסף של נקודות התחום על ידי עיגול מעוקל.
אזור והיקף המעגל
הערכים המצוינים בכותרת הפריט מחושבים באמצעות שתי נוסחאות פשוטות. הם רשומים למטה:
- היקף: L=2piR.
- שטח של מעגל: S=piR2.
בנוסחאות האלה, pi הוא קבוע שנקרא Pi. זה לא רציונלי, כלומר, לא ניתן לבטא אותו בדיוק כשבר פשוט. Pi הוא בערך 3.1416.
כפי שניתן לראות מהביטויים לעיל, כדי לחשב את השטח והאורך, מספיק לדעת רק את רדיוס המעגל.
שטח גזרת המעגל ואורך הקשת שלו
לפני שנבחן את הנוסחאות המתאימות, נזכיר שהזווית בגיאומטריה מתבטאת בדרך כלל בשתי דרכים עיקריות:
- במעלות סקסאז'ימאליות, וסיבוב מלא סביב הציר שלו הוא 360o;
- ברדיאנים, מבוטא כשברים של פאי וקשור למעלות באמצעות המשוואה הבאה: 2pi=360o.
הגזרה של מעגל היא דמות תחומה בשלושה קווים: קשת של מעגל ושני רדיוסים הממוקמים בקצות קשת זו. דוגמה למגזר מעגלי מוצגת בתמונה למטה.
להשיג מושג מה זה מגזר למעגל, זה קללהבין כיצד לחשב את השטח שלו ואת אורך הקשת המתאימה. ניתן לראות מהאיור שלמעלה שקשת הגזרה מתאימה לזווית θ. אנו יודעים שעיגול שלם מתאים ל-2pi רדיאנים, ולכן הנוסחה לשטח של מגזר מעגלי תקבל את הצורה: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. כאן הזווית θ מבוטאת ברדיאנים. נוסחה דומה עבור שטח המגזר, אם הזווית θ נמדדת במעלות, תיראה כך: S1=piθR2 /360.
אורך הקשת היוצרת מגזר מחושב לפי הנוסחה: L1=θ2piR/(2pi)=θR. ואם θ ידוע במעלות, אז: L1=piθR/180.
דוגמה לפתרון בעיות
בוא נשתמש בדוגמה של בעיה פשוטה כדי להראות כיצד להשתמש בנוסחאות של שטח של מגזר של מעגל ואורך הקשת שלו.
ידוע שלגלגל יש 12 חישורים. כאשר הגלגל עושה סיבוב אחד שלמה, הוא מכסה מרחק של 1.5 מטר. מהו השטח הכלוא בין שני חישורים צמודים של הגלגל, ומה אורך הקשת ביניהם?
כפי שניתן לראות מהנוסחאות המתאימות, כדי להשתמש בהן, צריך לדעת שתי כמויות: רדיוס המעגל וזווית הקשת. ניתן לחשב את הרדיוס מתוך ידיעת היקף הגלגל, שכן המרחק שעברו בסיבוב אחד מתאים לו בדיוק. יש לנו: 2Rpi=1.5, ומכאן: R=1.5/(2pi)=0.2387 מטר. ניתן לקבוע את הזווית בין החישורים הקרובים ביותר על ידי הכרת מספרם.בהנחה שכל 12 החישורים מחלקים את המעגל באופן שווה למגזרים שווים, נקבל 12 מגזרים זהים. בהתאם לכך, המידה הזוויתית של הקשת בין שני החישורים היא: θ=2pi/12=pi/6=0.5236 רדיאן.
מצאנו את כל הערכים הדרושים, כעת ניתן להחליף אותם בנוסחאות ולחשב את הערכים הנדרשים לפי מצב הבעיה. אנחנו מקבלים: S1=0.5236(0.2387)2/2=0.0149 m2, או 149cm2; L1=0.52360.2387=0.125 מ' או 12.5 ס מ.
