סיבוב הגופים הוא אחד מסוגי התנועה המכנית החשובים בטכנולוגיה ובטבע. בניגוד לתנועה ליניארית, היא מתוארת על ידי קבוצת מאפיינים קינמטיים משלה. אחד מהם הוא תאוצה זוויתית. אנו מאפיינים ערך זה במאמר.
תנועת סיבוב
לפני שנדבר על תאוצה זוויתית, בואו נתאר את סוג התנועה שהיא חלה עליה. אנחנו מדברים על סיבוב, שהוא תנועה של גופים לאורך שבילים מעגליים. כדי שהרוטציה תתרחש, יש לעמוד בתנאים מסוימים:
- נוכחות של ציר או נקודת סיבוב;
- נוכחות של כוח צנטריפטלי שישמור את הגוף במסלול מעגלי.
דוגמאות לתנועה מסוג זה הן אטרקציות שונות, כמו קרוסלה. בהנדסה, הסיבוב מתבטא בתנועת גלגלים ופירים. בטבע, הדוגמה הבולטת ביותר לסוג זה של תנועה היא סיבוב כוכבי הלכת סביב הציר שלהם ומסביב לשמש. תפקידו של הכוח הצנטריפטלי בדוגמאות אלו ממלאים כוחות האינטראקציה הבין-אטומית במוצקים והכבידהאינטראקציה.
מאפיינים קינמטיים של סיבוב
מאפיינים אלה כוללים שלוש כמויות: תאוצה זוויתית, מהירות זוויתית וזווית סיבוב. נסמן אותם בסמלים היווניים α, ω ו-θ, בהתאמה.
מכיוון שהגוף נע במעגל, נוח לחשב את הזווית θ, שאותה הוא יפנה תוך זמן מסוים. זווית זו מתבטאת ברדיאנים (לעיתים רחוקות במעלות). מכיוון שלמעגל יש 2 × פי רדיאנים, נוכל לכתוב משוואה המתייחסת θ לאורך הקשת L של הסיבוב:
L=θ × r
כאשר r הוא רדיוס הסיבוב. קל להשיג את הנוסחה הזו אם אתה זוכר את הביטוי המתאים להיקף.
מהירות זוויתית ω, כמו מקבילתה הליניארית, מתארת את מהירות הסיבוב סביב הציר, כלומר, היא נקבעת לפי הביטוי הבא:
ω¯=d θ / d t
הכמות ω¯ היא ערך וקטור. הוא מכוון לאורך ציר הסיבוב. היחידה שלו היא רדיאנים לשנייה (רד/s).
לבסוף, תאוצה זוויתית היא מאפיין פיזיקלי הקובע את קצב השינוי בערך של ω¯, שנכתב מתמטית כך:
α¯=d ω¯/ d t
וקטור α¯ מכוון לשינוי וקטור המהירות ω¯. בהמשך ייאמר שהתאוצה הזוויתית מכוונת לכיוון הווקטור של רגע הכוח. ערך זה נמדד ברדיאנים.שנייה ריבועית (rad/s2).
רגע של כוח ותאוצה
אם נזכור את חוק ניוטון, המחבר כוח ותאוצה לינארית לשוויון יחיד, אז, בהעברת חוק זה למקרה של סיבוב, נוכל לכתוב את הביטוי הבא:
M¯=I × α¯
כאן M¯ הוא מומנט הכוח, שהוא מכפלת הכוח שנוטה לסובב את המערכת כפול המנוף - המרחק מנקודת הפעלת הכוח לציר. הערך I מקביל למסת הגוף ונקרא מומנט האינרציה. הנוסחה הכתובה נקראת משוואת הרגעים. ממנו ניתן לחשב את התאוצה הזוויתית באופן הבא:
α¯=M¯/ I
מכיוון ש-I הוא סקלרי, α¯ מופנה תמיד לרגע הפועל של הכוח M¯. הכיוון של M¯ נקבע על ידי כלל יד ימין או כלל גימלט. הווקטורים M¯ ו-α¯ מאונכים למישור הסיבוב. ככל שמומנט האינרציה של הגוף גדול יותר, כך ערך התאוצה הזוויתית שהמומנט הקבוע M¯ יכול להקנות למערכת יהיה נמוך יותר.
משוואות קינמטיות
כדי להבין את התפקיד החשוב שממלאת תאוצה זוויתית בתיאור תנועת הסיבוב, נרשום את הנוסחאות המקשרות בין הגדלים הקינמטיים שנלמדו לעיל.
במקרה של סיבוב מואץ אחיד, הקשרים המתמטיים הבאים תקפים:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
הנוסחה הראשונה מראה שהזוויתהמהירות תגדל עם הזמן לפי חוק ליניארי. הביטוי השני מאפשר לך לחשב את הזווית שבה הגוף יסתובב בזמן ידוע t. הגרף של הפונקציה θ(t) הוא פרבולה. בשני המקרים, התאוצה הזוויתית היא קבועה.
אם נשתמש בנוסחת היחס בין L ל-θ שניתנה בתחילת המאמר, נוכל לקבל ביטוי עבור α במונחים של תאוצה לינארית a:
α=a / r
אם α קבוע, אז ככל שהמרחק מציר הסיבוב r יגדל, התאוצה הליניארית a תגדל באופן פרופורציונלי. לכן משתמשים במאפיינים זוויתיים לסיבוב, בניגוד ללינארים, הם לא משתנים עם עלייה או ירידה של r.
בעיה לדוגמה
פיר המתכת, מסתובב בתדירות של 2,000 סיבובים לשנייה, החל להאט ונפסק לחלוטין לאחר דקה. יש צורך לחשב באיזו תאוצה זוויתית התרחש תהליך ההאטה של הפיר. כדאי גם לחשב את מספר הסיבובים שהפיר עשה לפני העצירה.
תהליך האטת הסיבוב מתואר על ידי הביטוי הבא:
ω=ω0- α × t
המהירות הזוויתית ההתחלתית ω0 נקבעת מתוך תדר הסיבוב f באופן הבא:
ω0=2 × pi × f
מכיוון שאנו יודעים את זמן ההאטה, אז נקבל את ערך ההאצה α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209.33 rad/s2
יש לקחת את המספר הזה עם סימן מינוס,כי אנחנו מדברים על להאט את המערכת, לא להאיץ אותה.
כדי לקבוע את מספר הסיבובים שהציר יבצע במהלך הבלימה, השתמש בביטוי:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376,806 rad.
הערך המתקבל של זווית הסיבוב θ ברדיאנים פשוט מומר למספר הסיבובים שמבצע הציר לפני שהוא מגיע לעצירה מוחלטת באמצעות חלוקה פשוטה ב-2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60,001 סיבובים.
לכן, קיבלנו את כל התשובות לשאלות הבעיה: α=-209, 33 rad/s2, n=60,001 סיבובים.
