פוליהדרה לא רק תופסת מקום נכבד בגיאומטריה, אלא גם מתרחשת בחיי היומיום של כל אדם. שלא לדבר על חפצי בית שנוצרו באופן מלאכותי בצורת מצולעים שונים, החל מקופסת גפרורים וכלה באלמנטים ארכיטקטוניים, גבישים בצורת קובייה (מלח), פריזמה (גביש), פירמידה (שליט), אוקטהדרון (יהלום), וכו' e.
המושג של פולי-הדרון, סוגי פולי-הדרות בגיאומטריה
גיאומטריה כמדע מכילה קטע של סטריאומטריה החוקרת את המאפיינים והמאפיינים של דמויות תלת מימדיות. גופים גיאומטריים, שצלעותיהם במרחב התלת מימדי נוצרות על ידי מישורים (פרצופים) מוגבלים, נקראים "פוליהדרה". סוגי הפוליהדרות כוללים יותר מתריסר נציגים, שונים במספר ובצורת הפנים.
עם זאת, לכל הפוליהדרות יש מאפיינים משותפים:
- לכולם יש 3 מרכיבים חיוניים: פנים(משטח של מצולע), קודקוד (פינות שנוצרו במפגש הפנים), קצה (צד של דמות או קטע שנוצר במפגש של שני פנים).
- כל קצה מצולע מחבר שני פנים ושתי פנים בלבד שצמודות זו לזו.
- קמורות פירושה שהגוף ממוקם לחלוטין רק בצד אחד של המישור שעליו מונח אחד הפנים. הכלל חל על כל פני הפולידרון. דמויות גיאומטריות כאלה בסטריאומטריה נקראות polyhedra קמור. היוצא מן הכלל הוא רב-הדרות בצורת כוכב, שהן נגזרות של מוצקים גיאומטריים רב-הדרלים רגילים.
Polyhedra ניתן לחלק באופן מותנה ל:
- סוגים של רב-הידרות קמורות, המורכבות מהמחלקות הבאות: רגילות או קלאסיות (מנסרה, פירמידה, מקבילית), רגילה (נקראת גם מוצקים אפלטוניים), רגילות למחצה (שם שני - מוצקים ארכימדיים).
- פוליהדרה לא קמורה (בצורת כוכב).
Prism ונכסיה
סטריאומטריה כענף בגיאומטריה חוקרת את המאפיינים של דמויות תלת-ממדיות, סוגי פוליהדרות (פריזמה היא אחת מהן). פריזמה היא גוף גיאומטרי שיש לו בהכרח שני פנים זהים לחלוטין (הם נקראים גם בסיסים) השוכבים במישורים מקבילים, ומספר ה-n של פני הצד בצורה של מקביליות. בתורה, למנסרה יש גם כמה סוגים, כולל סוגים כאלה של פולידרות כמו:
- Parallelepiped - נוצר אם הבסיס הוא מקבילית -מצולע עם 2 זוגות של זוויות הפוכות שוות ו-2 זוגות של צלעות נגדיות חופפות.
- לפריזמה ישרה יש קצוות מאונכים לבסיס.
- פריזמה מוטה מאופיינת בנוכחות של זוויות לא ישרות (מלבד 90) בין הפנים לבסיס.
- פריזמה רגילה מאופיינת בבסיסים בצורת מצולע רגיל עם פני צד שווים.
מאפיינים בסיסיים של פריזמה:
- בסיסים תואמים.
- כל הקצוות של המנסרה שווים ומקבילים זה לזה.
- כל פני הצד הם בצורת מקבילית.
Pyramid
פירמידה היא גוף גיאומטרי, המורכב מבסיס אחד ומספר n-י של פרצופים משולשים, המחוברים בנקודה אחת - החלק העליון. יש לציין שאם פני הצד של הפירמידה מיוצגים בהכרח על ידי משולשים, אז הבסיס יכול להיות מצולע משולש, או מרובע, או מחומש, וכן הלאה עד אינסוף. במקרה זה, שם הפירמידה יתאים למצולע בבסיס. לדוגמה, אם משולש נמצא בבסיס פירמידה, זו פירמידה משולשת, מרובע הוא מרובע וכו'.
פירמידות הן פולי-הדרות דמויי חרוט. סוגי הפוליהדרות של קבוצה זו, בנוסף לאלו המפורטים לעיל, כוללים גם את הנציגים הבאים:
- לפירמידה רגילה יש מצולע רגיל בבסיסה, וגובהה מוקרן למרכזהעיגול רשום בבסיס או מוקף סביבו.
- פירמידה מלבנית נוצרת כאשר אחד מקצוות הצדדיים מצטלב עם הבסיס בזווית ישרה. במקרה זה, זה גם הוגן לקרוא לקצה זה גובה הפירמידה.
נכסי פירמידה:
- אם כל הקצוות הצדדיים של הפירמידה חופפים (באותו גובה), אז כולם מצטלבים עם הבסיס באותה זווית, ומסביב לבסיס אפשר לצייר עיגול שמרכזו חופף להשלכה של החלק העליון של הפירמידה.
- אם בסיס הפירמידה הוא מצולע רגיל, אז כל קצוות הצדדיים חופפים, והפנים הם משולשים שווה שוקיים.
פוליהדרון רגיל: סוגים ומאפיינים של פוליהדרות
בסטריאומטריה, מקום מיוחד תופסים גופים גיאומטריים בעלי פרצופים שווים לחלוטין, שבקודקודיהם מחוברים אותו מספר קצוות. מוצקים אלו נקראים מוצקים אפלטוניים, או פוליהדרה רגילה. לסוגים של פולי-הדרות עם תכונות כאלה יש רק חמש צורות:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- דודקהדרון.
- Icosahedron.
פולי-הדרות רגילות חבות את שמם לפילוסוף היווני הקדום אפלטון, שתיאר את הגופים הגיאומטריים הללו בכתביו וחיבר אותם עם היסודות הטבעיים: אדמה, מים, אש, אוויר. הדמות החמישית זכתה לדמיון עם מבנה היקום. לדעתו, האטומים של יסודות טבעיים בצורתם דומים לסוגי הפוליהדרות הרגילות. בשל הנכס המרגש ביותר שלו -סימטריה, הגופים הגיאומטריים הללו היו עניין רב לא רק למתמטיקאים ופילוסופים קדומים, אלא גם לאדריכלים, אמנים ופסלים מכל הזמנים. נוכחותם של 5 סוגים בלבד של פולי-הדרות עם סימטריה מוחלטת נחשבה לגילוי יסודי, הם אף זכו לחיבור עם העיקרון האלוהי.
הקסהדרון ותכונותיו
בצורת משושה, יורשיו של אפלטון הניחו דמיון עם מבנה האטומים של כדור הארץ. כמובן שכרגע, השערה זו הופרכה לחלוטין, אשר, עם זאת, לא מונע מהדמויות למשוך את מוחותיהן של דמויות מפורסמות עם האסתטיקה שלהן בעת החדשה.
בגיאומטריה, משושה, המכונה גם קובייה, נחשב למקרה מיוחד של מקבילית, שהיא, בתורה, מעין פריזמה. בהתאם לכך, תכונות הקובייה קשורות לתכונות המנסרה, כאשר ההבדל היחיד הוא שכל פניה ופינות הקוביה שווים זה לזה. הנכסים הבאים נובעים מכך:
- כל הקצוות של הקוביה חופפים ונמצאים במישורים מקבילים זה ביחס לזה.
- כל הפרצופים הם ריבועים חופפים (יש 6 בסך הכל בקובייה), שכל אחד מהם יכול להיחשב כבסיס.
- כל זוויות הממשק הן 90.
- מספר שווה של קצוות נובע מכל קודקוד, כלומר 3.
- לקוביה יש 9 צירי סימטריה, שכולם מצטלבים בנקודת החיתוך של האלכסונים של המשושה, הנקראים מרכז הסימטריה.
Tetrahedron
טטרהדרון הוא טטרהדרון בעל פנים שוות בצורת משולשים, שכל אחד מקודקודיוהיא נקודת המפגש של שלוש פנים.
מאפיינים של טטרהדרון רגיל:
- כל פניו של טטרהדרון הם משולשים שווי צלעות, מה שאומר שכל פניו של טטרהדרון חופפים.
- מכיוון שהבסיס מיוצג על ידי דמות גיאומטרית רגילה, כלומר יש לו צלעות שוות, פני הטטרהדרון מתכנסים באותה זווית, כלומר כל הזוויות שוות.
- סכום הזוויות השטוחות בכל אחד מהקודקודים הוא 180, מכיוון שכל הזוויות שוות, אז כל זווית של טטרהדרון רגיל היא 60.
- כל אחד מהקודקודים מוקרן לנקודת החיתוך של הגבהים של הפנים הנגדי (אורתוסנטר).
האוקטהדרון ותכונותיו
בתיאור סוגי הפוליהדרות הרגילות, אי אפשר שלא לשים לב לעצם כמו אוקטהדרון, שיכול להיות מיוצג חזותית כשתי פירמידות רגילות מרובעות המודבקות זו לזו על ידי בסיסים.
מאפייני האוקטהדרון:
- עצם שמו של גוף גיאומטרי מרמז על מספר הפנים שלו. האוקטהדרון מורכב מ-8 משולשים שווי צלעות חופפים, שבכל אחד מהקודקודים שלהם מתכנסים מספר שווה של פרצופים, כלומר 4.
- מכיוון שכל פניו של אוקטהדרון שווים, זוויות הממשק שלו שוות אף הן, שכל אחת מהן שווה ל-60, וסכום זוויות המישור של כל אחד מהקודקודים הוא לפיכך 240.
Dodecahedron
אם נדמיין שכל פניו של גוף גיאומטרי הם מחומש רגיל, אז נקבל דודקהדרון -דמות של 12 מצולעים.
מאפיינים של הדודקהדרון:
- שלושה פרצופים מצטלבים בכל קודקוד.
- כל הפרצופים שווים ובעלי אותו אורך קצה ושטח שווה.
- לדודקהדרון 15 צירים ומישורי סימטריה, וכל אחד מהם עובר דרך קודקוד הפנים ובאמצע הקצה הנגדי.
Icosahedron
לא פחות מעניין מהדודקהדרון, דמות האיקוסהדרון היא גוף גיאומטרי תלת מימדי עם 20 פנים שוות. בין המאפיינים של עשרים-הדרון רגיל, ניתן לציין את הדברים הבאים:
- כל פניו של האיקוסהדרון הם משולשים שווה שוקיים.
- חמש פרצופים מתכנסים בכל קודקוד של הפולידרון, וסכום הזוויות הסמוכות של הקודקוד הוא 300.
- לאיקוזהדרון, כמו הדודקהדרון, יש 15 צירים ומישורי סימטריה העוברים דרך נקודות האמצע של פנים מנוגדות.
מצולעים חצי רגילים
מלבד מוצקים אפלטוניים, קבוצת הפוליהדרות הקמורות כוללת גם מוצקים ארכימדיים, שהם פולי-הדרות רגילות קטומות. לסוגי הפוליהדרות של קבוצה זו יש את המאפיינים הבאים:
- לגופים גיאומטריים יש פנים שוות בזוגיות מכמה סוגים, למשל, לטטרהדרון קטום יש 8 פנים, כמו טטרהדרון רגיל, אבל במקרה של מוצק ארכימדי, 4 פנים יהיו משולשים ו-4 יהיו משושה.
- כל הזוויות של קודקוד אחד חופפות.
polyhedra כוכב
נציגים של סוגים לא-נפחיים של גופים גיאומטריים הם פוליהדרות כוכביות שפניהן מצטלבות זו את זו. הם יכולים להיווצר על ידי מיזוג שני מוצקים תלת מימדיים רגילים או על ידי הארכת פניהם.
לפיכך, פוליהדרות כוכביות כאלה ידועות בתור: צורות כוכביות של האוקטהדרון, דודקהדרון, איקוסהדרון, קובוקטהדרון, איקוסודודקהדרון.
