גיאומטריה יפה כי בניגוד לאלגברה, שבה לא תמיד ברור מה אתה חושב ולמה, היא נותנת נראות לאובייקט. העולם המופלא הזה של גופים שונים מעוטר בפוליהדרות רגילות.
מידע כללי על פוליהדרה רגילה
לפי רבים, לפוליהדרות רגילות, או כפי שהם נקראים גם למוצקים אפלטוניים, יש תכונות ייחודיות. מספר השערות מדעיות קשורות לאובייקטים אלה. כאשר אתה מתחיל לחקור את הגופים הגיאומטריים האלה, אתה מבין שאתה לא יודע כמעט כלום על מושג כזה כמו פוליהדרה רגילה. הצגת החפצים הללו בבית הספר לא תמיד מעניינת, ולכן רבים אפילו לא זוכרים איך קוראים להם. רוב האנשים זוכרים רק את הקובייה. אף אחד מהגופים בגיאומטריה אינו מושלם כמו פולי-הדרה רגילה. כל השמות של הגופים הגיאומטריים הללו מקורם ביוון העתיקה. הם מתכוונים למספר הפרצופים: טטרהדרון - ארבעה צדדים, משושה - שישה צדדים, אוקטהדרון - אוקטהדרלי, דודקהדרון - שנים עשר צדדים, איקוסהדרון - עשרים צדדים. כל הגופים הגיאומטריים האלהתפס מקום חשוב בתפיסת היקום של אפלטון. ארבעה מהם גילמו את היסודות או הישויות: הטטרהדרון - אש, האיקוסהדרון - מים, הקובייה - אדמה, האוקטהדרון - אוויר. הדודקהדרון גילם את כל מה שקיים. זה נחשב העיקרי, כי זה היה סמל של היקום.
הכללה של המושג פולידרון
פוליהדרון הוא אוסף של מספר סופי של מצולעים כך:
- כל אחת מהצלעות של כל אחד מהמצולעים היא בו-זמנית צלע של מצולע נוסף אחד בלבד באותו צד;
- מכל אחד מהמצולעים תוכלו להגיע אל האחרים על ידי מעבר לאורך המצולעים הסמוכים לו.
המצולעים המרכיבים פולידרון הם פניו, והצדדים שלהם הם קצוות. קודקודי הפולידרה הם קודקודי המצולעים. אם מושג המצולע מובן כקווים שבורים סגורים שטוחים, אז מגיעים להגדרה אחת של פולידרון. במקרה שבו מושג זה פירושו חלק מהמישור המוגבל בקווים שבורים, אז יש להבין משטח המורכב מחלקים מצולעים. פולידרון קמור הוא גוף השוכב על צד אחד של מישור הסמוך לפניו.
הגדרה נוספת של פולידרון ומרכיביו
פוליהדרון הוא משטח המורכב ממצולעים המגביל גוף גיאומטרי. הם:
- לא קמור;
- קמור (נכון ושגוי).
פולידרון רגיל הוא רב-הדרון קמור עם סימטריה מקסימלית. אלמנטים של פולידרה רגילה:
- טטרהדרון: 6 קצוות, 4 פנים, 5 קודקודים;
- הקסהדרון (קוביה): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- octahedron: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
משפט אוילר
זה יוצר קשר בין מספר הקצוות, הקודקודים והפנים המקבילים מבחינה טופולוגית לכדור. על ידי הוספת מספר הקודקודים והפנים (B + D) של פולי-הדרות רגילות שונות והשוואתם למספר הקצוות, ניתן לקבוע תבנית אחת: סכום מספר הפרצופים והקודקודים שווה למספר הקצוות (P) המוגדל לפי 2. אתה יכול לגזור נוסחה פשוטה:
B + D=R + 2
נוסחה זו נכונה לכל פולי-הדרות קמורות.
הגדרות בסיסיות
לא ניתן לתאר את המושג פולידרון רגיל במשפט אחד. זה יותר משמעותי ונפח. כדי שגוף יוכר ככזה, עליו לעמוד במספר הגדרות. לכן, גוף גיאומטרי יהיה פוליידרון רגיל אם מתקיימים התנאים הבאים:
- זה קמור;
- אותו מספר קצוות מתכנסים בכל אחד מהקודקודים שלו;
- כל פניו הם מצולעים רגילים, שווים זה לזה;
- כל הזוויות הדיהדרליות שלו שוות.
מאפיינים של polyhedra רגיל
ישנם 5 סוגים שונים של פוליהדרות רגילות:
- קוביה (משושה) - יש לה זווית שטוחה בחלק העליון היא 90°.יש לו זווית 3 צדדית. סכום הזוויות השטוחות בחלק העליון הוא 270°.
- טטרהדרון - זווית שטוחה בחלק העליון - 60°. יש לו זווית 3 צדדית. סכום הזוויות השטוחות בחלק העליון הוא 180°.
- Octahedron - זווית קודקוד שטוחה - 60°. יש לו פינה בעלת 4 צדדים. סכום הזוויות השטוחות בחלק העליון הוא 240°.
- דודקהדרון - זווית שטוחה בקודקוד 108°. יש לו זווית 3 צדדית. סכום הזוויות השטוחות בחלק העליון הוא 324°.
- Icosahedron - יש לו זווית שטוחה בחלק העליון - 60°. יש לו זווית 5 צדדים. סכום הזוויות השטוחות בחלק העליון הוא 300°.
אזור של פוליהדרה רגילה
שטח הפנים של גופים גיאומטריים אלה (S) מחושב כשטח של מצולע רגיל כפול מספר פניו (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
נפח של פולידרון רגיל
ערך זה מחושב על ידי הכפלת הנפח של פירמידה רגילה, שבבסיסה מצולע רגיל, במספר הפרצופים, וגובהה הוא רדיוס הכדור הכתוב (r):
V=1: 3rS
כרכים של פוליהדרה רגילה
כמו לכל גוף גיאומטרי אחר, לפוליהדרות רגילות יש נפחים שונים. להלן הנוסחאות שבאמצעותן תוכל לחשב אותן:
- טטרהדרון: α x 3√2: 12;
- octahedron: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- הקסהדרון (קוביה): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
אלמנטים של polyhedra רגיל
משושה ואוקטהדרון הם גופים גיאומטריים כפולים. במילים אחרות, ניתן לקבל אותם זה מזה אם לוקחים את מרכז הכובד של הפנים של אחד כקודקוד של השני, ולהיפך. האיקוסהדרון והדודקהדרון הם גם כפולים. רק הטטרהדרון הוא כפול לעצמו. לפי שיטת אוקלידס, ניתן להשיג דודקהדרון משושה על ידי בניית "גגות" על פני קובייה. הקודקודים של טטרהדרון יהיו כל 4 קודקודים של קובייה שאינם סמוכים בזוגות לאורך קצה. מהמשושה (קוביה) אתה יכול לקבל פוליהדרות רגילות אחרות. למרות העובדה שיש אינספור מצולעים רגילים, יש רק 5 פולי-הדרות רגילות.
רדיוס של מצולעים רגילים
יש 3 כדורים קונצנטריים הקשורים לכל אחד מהגופים הגיאומטריים האלה:
- מתואר, עובר דרך פסגותיו;
- כתוב, נוגע בכל אחד מהפנים שלו במרכזו;
- חציון, נוגע בכל הקצוות באמצע.
רדיוס הכדור המתואר מחושב לפי הנוסחה הבאה:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
הרדיוס של כדור רשום מחושב על ידי הנוסחה:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
כאשר θ היא הזווית הדו-הדרלית בין פנים סמוכות.
ניתן לחשב את רדיוס הכדור החציוני באמצעות הנוסחה הבאה:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
כאשר ערך h=4, 6, 6, 10 או 10. היחס בין הרדיוסים המוקפים והרשומים הוא סימטרי ביחס ל-p ו-q. זהמחושב לפי הנוסחה:
R/r=tg π/p x tg π/q
סימטריה של polyhedra
הסימטריה של הפוליהדרות הרגילות גורמת לעניין העיקרי בגופים גיאומטריים אלה. היא מובנת כתנועה כזו של הגוף במרחב, שמותירה את אותו מספר של קודקודים, פרצופים וקצוות. במילים אחרות, בהשפעת טרנספורמציה של סימטריה, קצה, קודקוד, פנים שומרים על מיקומו המקורי או עוברים למיקום המקורי של קצה, קודקוד או פנים אחר.
אלמנטים של סימטריה של פוליהדרות רגילות אופייניים לכל סוגי הגופים הגיאומטריים הללו. כאן אנחנו מדברים על טרנספורמציה זהה שמותירה כל אחת מהנקודות במיקומה המקורי. לכן, כאשר אתה מסובב פריזמה מצולעת, אתה יכול לקבל מספר סימטריות. כל אחד מהם יכול להיות מיוצג כתוצר של השתקפויות. סימטריה שהיא מכפלה של מספר זוגי של השתקפויות נקראת קו ישר. אם זה מכפלה של מספר אי זוגי של השתקפויות, אז זה נקרא הפוך. לפיכך, כל הסיבובים סביב קו הם סימטריה ישירה. כל השתקפות של פולידרון היא סימטריה הפוכה.
כדי להבין טוב יותר את מרכיבי הסימטריה של פולי-הדרה רגילה, נוכל לקחת את הדוגמה של טטרהדרון. כל קו ישר שיעבור באחד הקודקודים ובמרכז הדמות הגאומטרית הזו יעבור גם במרכז הפנים שממול לו. כל אחד מהסיבובים של 120° ו-240° מסביב לקו הוא ברבים.סימטריה של הטטרהדרון. מכיוון שיש לו 4 קודקודים ו-4 פנים, יש רק שמונה סימטריות ישירות. כל אחד מהקווים העוברים באמצע הקצה ומרכז הגוף הזה עובר באמצע הקצה הנגדי שלו. כל סיבוב של 180 מעלות, הנקרא חצי סיבוב, סביב קו ישר הוא סימטריה. מכיוון שלטטרהדרון יש שלושה זוגות של קצוות, יש עוד שלוש סימטריות ישירות. בהתבסס על האמור לעיל, אנו יכולים להסיק כי המספר הכולל של סימטריות ישירות, כולל הטרנספורמציה הזהה, יגיע ל-12. לטטרהדרון אין סימטריות ישירות אחרות, אבל יש לו 12 סימטריות הפוכות. לכן, הטטרהדרון מאופיין בסך הכל ב-24 סימטריות. לשם הבהירות, אתה יכול לבנות דגם של טטרהדרון רגיל מקרטון ולוודא שלגוף הגיאומטרי הזה באמת יש רק 24 סימטריות.
הדודקהדרון והאיקוסהדרון הם הקרובים ביותר לכדור הגוף. לאיקוזהדרון יש את המספר הגדול ביותר של פרצופים, את הזווית הדו-הדרלית הגדולה ביותר, וניתן ללחוץ אותו בחוזקה ביותר כנגד כדור חרוט. לדודקהדרון יש את הפגם הזוויתי הקטן ביותר, הזווית המוצקה הגדולה ביותר בקודקוד. הוא יכול למלא את התחום המתואר שלו עד המקסימום.
סוויפים של polyhedra
פוליהדרה רגילה לא עטופה, שכולנו הדבקנו יחד בילדות, יש הרבה מושגים. אם יש אוסף של מצולעים שכל צד שלהם מזוהה עם צד אחד בלבד של הפולידרון, אזי זיהוי הצלעות חייב לעמוד בשני תנאים:
- מכל מצולע, אתה יכול לעבור על מצולעים שיש להםצד מזוהה;
- צדדים מזוהים חייבים להיות באותו אורך.
זו קבוצת המצלעים העומדת בתנאים אלה שנקראת התפתחות הפולידרון. לכל אחד מהגופים הללו יש כמה מהם. כך, למשל, לקובייה יש 11 כאלה.
