גיאומטריה מרחבית, שהקורס שלה נלמד בכיתות י'-יא' בבית הספר, מתחשב בתכונות של דמויות תלת מימדיות. המאמר נותן הגדרה גיאומטרית של גליל, מספק נוסחה לחישוב נפחו, וגם פותר בעיה פיזיקלית שבה חשוב לדעת את הנפח הזה.
מהו צילינדר?
מנקודת מבט של סטריאומטריה, ניתן לתת את ההגדרה של גליל באופן הבא: זהו דמות שנוצרת כתוצאה מתזוזה מקבילה של קטע ישר לאורך עקומה סגורה שטוחה מסוימת. המקטע הנקוב לא חייב להיות שייך לאותו מישור כמו העקומה. אם העקומה היא עיגול, והקטע מאונך אליו, אז הגליל שנוצר בצורה המתוארת נקרא ישר ועגול. זה מוצג בתמונה למטה.
לא קשה לנחש שאפשר להשיג את הצורה הזו על ידי סיבוב מלבן סביב כל אחת מהצדדים שלו.
לגליל שני בסיסים זהים, שהם עיגולים, וצדמשטח גלילי. מעגל הבסיס נקרא ה-directrix, והקטע הניצב המחבר בין עיגולי הבסיסים השונים הוא המחולל של הדמות.
איך למצוא את הנפח של גליל עגול ישר?
לאחר שהכרנו את ההגדרה של צילינדר, בואו נחשוב אילו פרמטרים אתם צריכים לדעת כדי לתאר מתמטית את המאפיינים שלו.
המרחק בין שני הבסיסים הוא גובה הדמות. ברור שהוא שווה לאורך של הגנרטורטריקס. נסמן את הגובה באות הלטינית h. רדיוס המעגל בבסיס מסומן באות r. זה נקרא גם רדיוס הגליל. די בשני הפרמטרים שהוצגו כדי לתאר באופן חד משמעי את כל המאפיינים של הדמות המדוברת.
בהינתן ההגדרה הגיאומטרית של גליל, ניתן לחשב את נפחו באמצעות הנוסחה הבאה:
V=Sh
כאן S הוא שטח הבסיס. שימו לב שלכל צילינדר ולכל פריזמה, הנוסחה הכתובה תקפה. עם זאת, עבור גליל ישר עגול, זה די נוח להשתמש בו, מכיוון שהגובה הוא גנטריקס, וניתן לקבוע את שטח S של הבסיס על ידי זכירת הנוסחה של שטח המעגל:
S=pir2
לפיכך, נוסחת העבודה עבור הכרך V של הדמות הנידונה תיכתב כך:
V=pir2h
כוח ציפה
כל תלמיד יודע שאם חפץ טובל במים, אז משקלו יפחת. הסיבה לעובדה זוהוא הופעתו של כוח צף, או כוח ארכימדאי. הוא פועל על כל גוף, ללא קשר לצורתם ולחומר ממנו הם עשויים. ניתן לקבוע את החוזק של ארכימדס לפי הנוסחה:
FA=ρlgVl
כאן ρl ו-Vl הם צפיפות הנוזל ונפחו שנעקר על ידי הגוף. חשוב לא לבלבל בין נפח זה לנפח הגוף. הם יתאימו רק אם הגוף שקוע לחלוטין בנוזל. עבור כל טבילה חלקית, Vl תמיד קטן מ-V של הגוף.
כוח הציפה FA נקרא בגלל שהוא מכוון אנכית כלפי מעלה, כלומר, הוא מנוגד בכיוון לכוח המשיכה. כיוונים שונים של וקטורי הכוח מובילים לכך שמשקל הגוף בכל נוזל קטן מאשר באוויר. למען ההגינות, נציין שבאוויר, כל הגופים מושפעים גם מכוח ציפה, אולם הוא זניח בהשוואה לכוח הארכימדאי במים (פי 800 פחות).
ההבדל במשקל הגופים בנוזל ובאוויר משמש לקביעת הצפיפות של חומרים מוצקים ונוזליים. שיטה זו נקראת שקילה הידרוסטטית. לפי האגדה, הוא שימש לראשונה את ארכימדס כדי לקבוע את צפיפות המתכת שממנה נוצר הכתר.
השתמש בנוסחה לעיל כדי לקבוע את כוח הציפה הפועל על גליל פליז.
הבעיה של חישוב כוח ארכימדס הפועל על גליל פליז
ידוע שלגליל פליז יש גובה של 20 ס"מ וקוטר של 10 ס"מ. מה יהיה הכוח הארכימדאי,שיתחיל לפעול עליו אם הגליל יושלך למים מזוקקים.
כדי לקבוע את כוח הציפה על גליל פליז, קודם כל, הסתכלו על צפיפות הפליז בטבלה. זה שווה ל-8600 kg/m3 (זהו הערך הממוצע של הצפיפות שלו). מכיוון שערך זה גדול מצפיפות המים (1000 ק"ג/מ"ר3), האובייקט ישקע.
כדי לקבוע את כוח ארכימדס, מספיק למצוא את נפח הגליל, ולאחר מכן להשתמש בנוסחה לעיל עבור FA. יש לנו:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
החלפנו את ערך הרדיוס של 5 ס מ בנוסחה, מכיוון שהוא קטן פי שניים מהנתון במצב של בעיית הקוטר.
עבור כוח הציפה אנחנו מקבלים:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
כאן המרנו את כרך V ל-m3.
לפיכך, כוח כלפי מעלה של 15.4 N יפעל על גליל פליז בעל ממדים ידועים, שקוע במים.
