מטריקס הוא אובייקט מיוחד במתמטיקה. הוא מתואר בצורה של טבלה מלבנית או מרובעת, המורכבת ממספר מסוים של שורות ועמודות. במתמטיקה קיים מגוון רחב של סוגי מטריצות, הנבדלים בגודלם או בתוכן. המספרים של השורות והעמודות שלו נקראים סדרים. אובייקטים אלה משמשים במתמטיקה כדי לארגן את הכתיבה של מערכות של משוואות ליניאריות ולחפש בנוחות את התוצאות שלהן. משוואות באמצעות מטריצה נפתרות בשיטת קרל גאוס, גבריאל קרימר, מינורים ותוספות אלגבריות, ועוד דרכים רבות אחרות. המיומנות הבסיסית בעבודה עם מטריצות היא להביאן לצורה סטנדרטית. עם זאת, ראשית, בואו נבין אילו סוגי מטריצות מבדילים על ידי מתמטיקאים.
סוג ריק
כל הרכיבים של סוג זה של מטריצה הם אפסים. בינתיים, מספר השורות והעמודות שלו שונה לחלוטין.
סוג ריבוע
מספר העמודות והשורות של סוג זה של מטריצה זהה. במילים אחרות, זוהי שולחן צורות "מרובע". מספר העמודות (או השורות) שלו נקרא הסדר. מקרים מיוחדים הם קיומה של מטריצה מהסדר השני (מטריקס 2x2), הסדר הרביעי (4x4), העשירי (10x10), השבע עשרה (17x17) וכן הלאה.
וקטור עמודה
זהו אחד מסוגי המטריצות הפשוטים ביותר, המכיל רק עמודה אחת, הכוללת שלושה ערכים מספריים. הוא מייצג סדרה של איברים חופשיים (מספרים בלתי תלויים במשתנים) במערכות של משוואות לינאריות.
וקטור שורה
תצוגה דומה לקודמתה. מורכב משלושה אלמנטים מספריים, בתורם מאורגנים בשורה אחת.
סוג אלכסוני
רק רכיבים של האלכסון הראשי (מסומנים בירוק) מקבלים ערכים מספריים בצורה האלכסונית של המטריצה. האלכסון הראשי מתחיל באלמנט בפינה השמאלית העליונה ומסתיים באלמנט בפינה הימנית התחתונה, בהתאמה. שאר הרכיבים הם אפס. הסוג האלכסוני הוא רק מטריצה מרובעת בסדר מסוים. בין מטריצות של הצורה האלכסונית, ניתן לייחד אחת סקלרית. כל הרכיבים שלו מקבלים אותם ערכים.
מטריצת זהות
תת-מין של המטריצה האלכסונית. כל הערכים המספריים שלו הם יחידות. באמצעות סוג יחיד של טבלאות מטריצה, בצע את ההמרות הבסיסיות שלה או מצא מטריצה הפוכה לזו המקורית.
סוג קנוני
הצורה הקנונית של מטריצה נחשבת לאחת העיקריות שבהן; ליהוק אליו נדרש לעתים קרובות כדי לעבוד. מספר השורות והעמודות במטריצה הקנונית שונה, זה לא בהכרח שייך לסוג הריבוע. הוא דומה במקצת למטריצת הזהות, אולם במקרה שלו, לא כל מרכיבי האלכסון הראשי מקבלים ערך השווה לאחד. יכולות להיות שתיים או ארבע יחידות אלכסוניות עיקריות (הכל תלוי באורך וברוחב המטריצה). או שאולי אין יחידות בכלל (ואז זה נחשב לאפס). שאר הרכיבים מהסוג הקנוני, כמו גם מרכיבי האלכסון והזהות, שווים לאפס.
סוג משולש
אחד מסוגי המטריצה החשובים ביותר, המשמש בעת חיפוש אחר הקובע שלה ובעת ביצוע פעולות פשוטות. הסוג המשולש מגיע מהסוג האלכסוני, ולכן המטריצה היא גם מרובעת. המבט המשולש של המטריצה מחולק למשולש עליון ומשולש תחתון.
במטריקס המשולש העליון (איור 1), רק אלמנטים שנמצאים מעל האלכסון הראשי מקבלים ערך השווה לאפס. מרכיבי האלכסון עצמו והחלק של המטריצה שמתחתיו מכילים ערכים מספריים.
במטריצה המשולשת התחתונה (איור 2), להיפך, האלמנטים הממוקמים בחלק התחתון של המטריצה שווים לאפס.
Step Matrix
התצוגה נחוצה למציאת הדרגה של מטריצה, כמו גם לפעולות יסודיות עליהן (יחד עם הסוג המשולש). מטריצת השלבים נקראת כך מכיוון שהיא מכילה "צעדים" אופייניים של אפסים (כפי שמוצג באיור). בסוג המדורג נוצר אלכסון של אפסים (לאו דווקא הראשי), ולכל האלמנטים מתחת לאלכסון הזה יש גם ערכים השווים לאפס. תנאי מוקדם הוא הבא: אם יש שורה אפס במטריצת הצעדים, אז גם השורות הנותרות מתחתיה אינן מכילות ערכים מספריים.
לפיכך, שקלנו את סוגי המטריצות החשובות ביותר הדרושים לעבודה איתן. כעת נתמודד עם המשימה של המרת מטריצה לצורה הנדרשת.
צמצם לצורה משולשת
איך מביאים את המטריצה לצורת משולש? לרוב, במטלות, אתה צריך להמיר מטריצה לצורה משולשת כדי למצוא את הקובע שלה, המכונה אחרת הקובע. בעת ביצוע הליך זה, חשוב ביותר "לשמור" על האלכסון הראשי של המטריצה, כי הקובע של מטריצה משולשת הוא בדיוק המכפלה של מרכיבי האלכסון הראשי שלה. הרשו לי להזכיר לכם גם שיטות חלופיות למציאת הקובע. הקובע מסוג הריבוע נמצא באמצעות נוסחאות מיוחדות. לדוגמה, אתה יכול להשתמש בשיטת המשולש. עבור מטריצות אחרות, נעשה שימוש בשיטת הפירוק לפי שורה, עמודה או אלמנטים שלהן. אתה יכול גם ליישם את השיטה של מינורים ושל משלים אלגבריים של המטריצה.
פרטיםבואו ננתח את התהליך של הבאת מטריצה לצורה משולשת באמצעות דוגמאות של כמה משימות.
משימה 1
יש צורך למצוא את הקובע של המטריצה המוצגת, בשיטת הבאתה לצורה משולשת.
המטריקס שניתנה לנו היא מטריצה מרובעת מהסדר השלישי. לכן, כדי להפוך אותו לצורה משולשת, עלינו לבטל שני מרכיבים של העמודה הראשונה ורכיב אחד של השני.
כדי להביא אותו לצורה משולשת, התחל את ההמרה מהפינה השמאלית התחתונה של המטריצה - מהמספר 6. כדי להפוך אותו לאפס, הכפל את השורה הראשונה בשלוש והוריד אותה מהשורה האחרונה.
חשוב! השורה העליונה אינה משתנה, אלא נשארת כמו במטריצה המקורית. אין צורך לכתוב מחרוזת פי ארבע מהמקורי. אבל הערכים של המחרוזות שצריך לבטל את מרכיביהן משתנים ללא הרף.
לאחר מכן, בואו נעסוק בערך הבא - האלמנט של השורה השנייה של העמודה הראשונה, מספר 8. הכפלו את השורה הראשונה בארבע והורידו אותה מהשורה השנייה. נקבל אפס.
רק הערך האחרון נשאר - האלמנט של השורה השלישית של העמודה השנייה. זה המספר (-1). כדי להפוך אותו לאפס, החסר את השני מהשורה הראשונה.
בואו נבדוק:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
אז התשובה למשימה היא -22.
משימה 2
אנחנו צריכים למצוא את הקובע של המטריצה על ידי הבאתה לצורה משולשת.
מטריקס מיוצגשייך לסוג הריבוע ומהווה מטריצה מהסדר הרביעי. משמעות הדבר היא ששלושה מרכיבים של העמודה הראשונה, שני רכיבים של העמודה השנייה ורכיב אחד של העמודה השלישית חייבים להיות מאופסים.
בוא נתחיל את ההפחתה שלו מהאלמנט שנמצא בפינה השמאלית התחתונה - מהמספר 4. אנחנו צריכים להפוך את המספר הזה לאפס. הדרך הקלה ביותר לעשות זאת היא להכפיל את השורה העליונה בארבע ולאחר מכן להחסיר אותה מהשורה הרביעית. בואו נרשום את התוצאה של השלב הראשון של הטרנספורמציה.
אז, הרכיב של השורה הרביעית מוגדר לאפס. נעבור לאלמנט הראשון של השורה השלישית, למספר 3. אנו מבצעים פעולה דומה. הכפל בשלוש את השורה הראשונה, החסר אותה מהשורה השלישית וכתוב את התוצאה.
לאחר מכן, אנו רואים את הספרה 2 בשורה השנייה. אנו חוזרים על הפעולה: מכפילים את השורה העליונה בשניים ומחסירים אותה מהשנייה.
הצלחנו לאפס את כל הרכיבים של העמודה הראשונה של המטריצה הריבועית הזו, מלבד המספר 1, אלמנט האלכסון הראשי שאינו דורש טרנספורמציה. כעת חשוב לשמור על האפסים המתקבלים, אז נבצע טרנספורמציות עם שורות, לא עמודות. נעבור לעמודה השנייה של המטריצה המוצגת.
בוא נתחיל שוב מלמטה - מהאלמנט של העמודה השנייה של השורה האחרונה. זה המספר (-7). עם זאת, במקרה זה נוח יותר להתחיל במספר (-1) - האלמנט של העמודה השנייה של השורה השלישית. כדי להפוך אותו לאפס, החסר את השורה השנייה מהשורה השלישית. לאחר מכן נכפיל את השורה השנייה בשבע ונחסיר אותה מהרביעית. קיבלנו אפס במקום האלמנט שנמצא בשורה הרביעית של העמודה השנייה. עכשיו נעבור לשלישיעמודה.
בעמודה הזו, אנחנו צריכים לפנות לאפס רק מספר אחד - 4. זה קל לעשות: פשוט הוסף את השלישית לשורה האחרונה וראה את האפס שאנחנו צריכים.
לאחר כל השינויים, הבאנו את המטריצה המוצעת לצורה משולשת. כעת, כדי למצוא את הקובע שלו, אתה רק צריך להכפיל את האלמנטים המתקבלים של האלכסון הראשי. נקבל: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. לכן, הפתרון הוא המספר 160.
אז, עכשיו השאלה של הבאת המטריצה לצורה משולשת לא תקשה עליך.
הפחתה לטופס מדורג
בפעולות יסודיות על מטריצות, הצורה המדורגת פחות "נדרשת" מהצורה המשולשת. הוא משמש לרוב למציאת הדרגה של מטריצה (כלומר, מספר השורות שאינן אפס) או לקביעת שורות תלויות ליניאריות ובלתי תלויות. עם זאת, תצוגת המטריצה המדורגת צדדית יותר, מכיוון שהיא מתאימה לא רק לסוג הריבוע, אלא לכל השאר.
כדי לצמצם מטריצה לצורה מדורגת, תחילה עליך למצוא את הקובע שלה. לשם כך, השיטות לעיל מתאימות. מטרת מציאת הקובע היא לברר האם ניתן להמירו למטריצת צעדים. אם הקובע גדול או קטן מאפס, אז אתה יכול להמשיך בבטחה למשימה. אם זה שווה לאפס, זה לא יעבוד כדי לצמצם את המטריצה לצורה מדורגת. במקרה זה, עליך לבדוק אם יש שגיאות ברשומה או בטרנספורמציות המטריצות. אם אין אי דיוקים כאלה, לא ניתן לפתור את המשימה.
בוא נראה איךהבא את המטריצה לצורה מדורגת תוך שימוש בדוגמאות של מספר משימות.
משימה 1. מצא את הדרגה של טבלת המטריצה הנתונה.
לפנינו מטריצה מרובעת מהסדר השלישי (3x3). אנו יודעים שכדי למצוא את הדרגה יש צורך לצמצם אותה לצורה מדורגת. לכן, ראשית עלינו למצוא את הקובע של המטריצה. שימוש בשיטת המשולש: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
קובע=12. הוא גדול מאפס, מה שאומר שניתן לצמצם את המטריצה לצורה מדורגת. בואו נתחיל את השינויים שלו.
בוא נתחיל עם האלמנט של העמודה השמאלית של השורה השלישית - המספר 2. נכפיל את השורה העליונה בשניים ונחסיר אותה מהשלישית. הודות לפעולה זו, גם האלמנט שאנחנו צריכים וגם המספר 4 - האלמנט של העמודה השנייה בשורה השלישית - הפכו לאפס.
לאחר מכן, סובבו לאפס את האלמנט של השורה השנייה של העמודה הראשונה - המספר 3. לשם כך, הכפילו את השורה העליונה בשלוש והורידו אותה מהשנייה.
אנו רואים שההפחתה הביאה למטריצה משולשת. במקרה שלנו, לא ניתן להמשיך את הטרנספורמציה, מכיוון שלא ניתן להפוך את הרכיבים הנותרים לאפס.
לכן, אנו מסיקים שמספר השורות המכילות ערכים מספריים במטריצה זו (או בדרגתה) הוא 3. תשובה למשימה: 3.
משימה 2. קבע את מספר השורות הבלתי תלויות באופן ליניארי של המטריצה הזו.
אנחנו צריכים למצוא מחרוזות שלא ניתן להפוך אותן באמצעות טרנספורמציות כלשהןלאפס. למעשה, עלינו למצוא את מספר השורות שאינן אפס, או את הדרגה של המטריצה המיוצגת. כדי לעשות זאת, בואו נפשט את זה.
אנו רואים מטריצה שאינה שייכת לסוג הריבוע. יש לו מידות 3x4. בואו נתחיל את הקאסט גם מהאלמנט של הפינה השמאלית התחתונה - המספר (-1).
הוסף את השורה הראשונה לשורה השלישית. לאחר מכן, החסר ממנו את השני כדי להפוך את המספר 5 לאפס.
טרנספורמציות נוספות בלתי אפשריות. לכן, אנו מסיקים שמספר הקווים הבלתי תלויים באופן ליניארי בו והתשובה למשימה היא 3.
עכשיו הבאת המטריצה לצורה מדורגת היא לא משימה בלתי אפשרית עבורך.
על הדוגמאות של משימות אלה, ניתחנו את ההפחתה של מטריצה לצורה משולשת וצורה מדורגת. על מנת לבטל את הערכים הרצויים של טבלאות מטריצה, במקרים מסוימים נדרש להראות דמיון ולשנות בצורה נכונה את העמודות או השורות שלהם. בהצלחה במתמטיקה ובעבודה עם מטריצות!
