משולש היא אחת הצורות הגיאומטריות הנפוצות ביותר, שאנו מכירים כבר בבית הספר היסודי. השאלה כיצד למצוא את השטח של משולש מתמודדת עם כל תלמיד בשיעורי גיאומטריה. אז מהן התכונות של מציאת השטח של דמות נתונה ניתן להבחין? במאמר זה נשקול את הנוסחאות הבסיסיות הדרושות להשלמת משימה כזו, וכן ננתח את סוגי המשולשים.
סוגי משולשים
אתה יכול למצוא את השטח של משולש בדרכים שונות לחלוטין, כי בגיאומטריה יש יותר מסוג אחד של דמות המכילה שלוש זוויות. מינים אלה כוללים:
- משולש חריף.
- Obt-angled.
- שוויצלע (נכון).
- משולש ימני.
- שוניים.
בואו נסתכל מקרוב על כל אחד מסוגי המשולשים הקיימים.
חריףמשולש
דמות גיאומטרית כזו נחשבת לנפוצה ביותר בפתרון בעיות גיאומטריות. כשיהיה צורך לצייר משולש שרירותי, אפשרות זו באה להציל.
במשולש חד, כפי שהשם מרמז, כל הזוויות חדות ומצטברות ל-180°.
משולש בעל זווית
משולש זה נפוץ מאוד, אבל הוא מעט פחות נפוץ מהמשולש החד. לדוגמה, כאשר פותרים משולשים (כלומר, מכירים כמה מהצלעות והזוויות שלו וצריך למצוא את האלמנטים הנותרים), לפעמים צריך לקבוע אם הזווית קהה או לא. הקוסינוס של זווית קהה הוא מספר שלילי.
במשולש קהה, הערך של אחת מהזוויות עולה על 90°, כך ששתי הזוויות הנותרות יכולות לקבל ערכים קטנים (לדוגמה, 15° או אפילו 3°).
כדי למצוא את השטח של משולש מסוג זה, אתה צריך לדעת כמה ניואנסים, עליהם נדבר בהמשך.
משולשים רגילים ושו-צלעים
מצולע רגיל הוא דמות הכוללת n זוויות וכל הצלעות והזוויות שוות. זה המשולש הימני. מכיוון שסכום כל הזוויות של משולש הוא 180°, כל אחת משלוש הזוויות היא 60°.
משולש רגיל, בשל תכונתו, נקרא גם דמות שווה צלעות.
כדאי לציין גם שבבמשולש רגיל ניתן לרשום רק עיגול אחד ורק עיגול אחד ניתן לתחום סביבו, והמרכזים שלהם ממוקמים בנקודה אחת.
מלבד הסוג שווה הצלעות, אפשר לבחור גם משולש שווה שוקיים, השונה ממנו מעט. במשולש כזה, שתי צלעות ושתי זוויות שוות זו לזו, והצלע השלישית (שאליה צמודות זוויות שוות) היא הבסיס.
האיור מציג משולש שווה שוקיים DEF, שהזוויות D ו-F שלו שוות, ו-DF הוא הבסיס.
משולש ימני
משולש ישר זווית נקרא כך מכיוון שאחת מהזוויות שלו היא זווית ישרה, כלומר שווה ל-90°. שתי הזוויות האחרות מסתכמות ב-90°.
הצלע הגדולה ביותר של משולש כזה, השוכנת מול הזווית של 90°, היא התחתון, בעוד ששתי צלעותיו האחרות הן הרגליים. עבור סוג זה של משולשים, משפט פיתגורס ישים:
סכום הריבועים של אורכי הרגליים שווה לריבוע אורך התת התחתון.
האיור מציג משולש ישר זווית BAC עם תחתון AC ורגליים AB ו-BC.
כדי למצוא את השטח של משולש עם זווית ישרה, עליך לדעת את הערכים המספריים של רגליו.
בוא נעבור לנוסחאות למציאת השטח של הדמות הזו.
נוסחאות אזור בסיסיות
בגיאומטריה, ישנן שתי נוסחאות שמתאימות למציאת השטח של רוב סוגי המשולשים, כלומר לזוית חדה, קהה, רגילה ומשולשים שווי שוקיים. בואו ננתח כל אחד מהם.
לצד ובגובה
נוסחה זו היא אוניברסלית למציאת השטח של הדמות שאנו שוקלים. כדי לעשות זאת, מספיק לדעת את אורך הצלע ואת אורך הגובה הנמשך אליו. הנוסחה עצמה (חצי מכפלת הבסיס והגובה) נראית כך:
S=½AH, כאשר A היא הצלע של המשולש הנתון ו-H הוא גובה המשולש.
לדוגמה, כדי למצוא את השטח של משולש חד זווית ACB, עליך להכפיל את הצלע AB שלו ב-CD הגובה ולחלק את הערך המתקבל בשניים.
עם זאת, לא תמיד קל למצוא את השטח של משולש בדרך זו. לדוגמה, כדי להשתמש בנוסחה זו עבור משולש בעל זווית קהה, עליך להמשיך את אחת מהצלעות שלו ורק לאחר מכן לצייר לו גובה.
בפועל, משתמשים בנוסחה זו לעתים קרובות יותר מאחרות.
בשני צדדים ופינה
נוסחה זו, כמו הקודמת, מתאימה לרוב המשולשים ובמשמעותה היא תולדה של הנוסחה למציאת השטח בצידו ובגובהו של משולש. כלומר, ניתן לגזור בקלות את הנוסחה הנידונה מהקודמת. הניסוח שלה נראה כך:
S=½sinOAB, כאשר A ו-B הם צלעות של משולש ו-O היא הזווית בין הצלעות A ו-B.
נזכיר שניתן לראות את הסינוס של זווית בטבלה מיוחדת על שם המתמטיקאי הסובייטי המצטיין V. M. Bradis.
ועכשיו בואו נעבור לנוסחאות אחרות,מתאים רק לסוגים יוצאי דופן של משולשים.
שטח של משולש ישר זווית
בנוסף לנוסחה האוניברסלית, הכוללת את הצורך לצייר גובה במשולש, ניתן למצוא את שטחו של משולש המכיל זווית ישרה לפי רגליו.
לפיכך, שטחו של משולש המכיל זווית ישרה הוא מחצית המכפלה של רגליו, או:
S=½ab, כאשר a ו-b הן רגליו של משולש ישר זווית.
משולש רגיל
סוג זה של דמויות גיאומטריות נבדל בכך שניתן למצוא את השטח שלו עם הערך המצוין של אחת מצלעותיו בלבד (שכן כל צלעותיו של משולש רגיל שוות). אז, לאחר שנפגשת עם המשימה של "מצא את השטח של משולש כאשר הצלעות שוות", עליך להשתמש בנוסחה הבאה:
S=A2√3 / 4, כאשר A היא הצלע של משולש שווה צלעות.
הנוסחה של הרון
האפשרות האחרונה למציאת שטח משולש היא הנוסחה של הרון. כדי להשתמש בו, אתה צריך לדעת את האורכים של שלושת הצדדים של הדמות. הנוסחה של הרון נראית כך:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), כאשר a, b ו-c הן הצלעות של המשולש הזה.
לפעמים המשימה שניתנה: "השטח של משולש רגיל - מצא את אורך הצלע שלו." במקרה זה, עליך להשתמש בנוסחה הידועה כבר למציאת שטחו של משולש רגיל ולהסיק ממנו את ערך הצלע (או הריבוע שלה):
A2=4S / √3.
בעיות בחינות
במשימות GIAיש הרבה נוסחאות במתמטיקה. בנוסף, לעתים קרובות יש צורך למצוא את השטח של משולש על נייר משובץ.
במקרה זה, הכי נוח לצייר את הגובה לאחת מצלעות הדמות, לקבוע את אורכו לפי תאים ולהשתמש בנוסחה האוניברסלית למציאת השטח:
S=½AH.
לכן, לאחר לימוד הנוסחאות המוצגות במאמר, לא תהיה לך בעיה למצוא את השטח של משולש מכל סוג שהוא.
