משולש הוא הדמות הפשוטה ביותר הסגורה במישור, המורכבת משלושה קטעים מחוברים בלבד. בבעיות גיאומטריה, לעתים קרובות יש צורך לקבוע את השטח של דמות זו. מה אתה צריך לדעת בשביל זה? במאמר נענה על השאלה כיצד למצוא שטח של משולש בשלוש צלעות.
נוסחה כללית
כל תלמיד יודע ששטחו של משולש מחושב כמכפלה של אורך כל אחת מהצלעות שלו - a בחצי הגובה - h, מונמך לצלע הנבחרת. להלן הנוסחה המתאימה: S=ah/2.
ניתן להשתמש בביטוי זה אם ידועים לפחות שתי צלעות וערך הזווית ביניהן. במקרה זה, קל לחשב את הגובה h באמצעות פונקציות טריגונומטריות, כגון סינוס. אבל לא כולם יודעים איך למצוא את השטח בשלוש צלעות של משולש.
הנוסחה של הרון
נוסחה זו היא התשובה לשאלה כיצדשלוש צלעות מוצאות את שטח המשולש. לפני שנכתוב אותו, נסמן את אורכי המקטעים של דמות שרירותית כ-a, b ו-c. הנוסחה של הרון כתובה כך: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
כאשר p הוא חצי ההיקף של הדמות, כלומר: p=(a+b+c)/2.
למרות הסרבול לכאורה, קל לזכור את הביטוי לעיל עבור אזור S. כדי לעשות זאת, תחילה עליך לחשב את חצי ההיקף של המשולש, ואז להחסיר ממנו באורך אחד של הצלע של הדמות, להכפיל את כל ההפרשים שהתקבלו ואת חצי ההיקף עצמו. לבסוף, קח את השורש הריבועי של המוצר.
נוסחה זו נקראת על שמו של אנפה מאלכסנדריה, שחי בראשית תקופתנו. ההיסטוריה המודרנית מאמינה שהפילוסוף הזה הוא שיישם לראשונה את הביטוי הזה כדי לבצע את החישובים המתאימים. נוסחה זו מתפרסמת ב-Metrica שלו, שראשיתה בשנת 60 לספירה. שימו לב שחלק מיצירותיו של ארכימדס, שחי מאתיים שנה לפני הרון, מכילות סימנים לכך שהפילוסוף היווני כבר הכיר את הנוסחה. בנוסף, הסינים הקדמונים ידעו גם למצוא שטח של משולש, בידיעת שלוש צלעות.
חשוב לציין שניתן לפתור את הבעיה מבלי לדעת את קיומה של הנוסחה של הרון. לשם כך, צייר כמה גבהים במשולש והשתמש בנוסחה הכללית מהפסקה הקודמת, מרכיב את מערכת המשוואות המתאימה.
ניתן להשתמש בביטוי של Heron כדי לחשב את השטחים של מצולעים שרירותיים, לאחר פיצולם למשולשים וחישוב אורכי האלכסונים המתקבלים.
דוגמה לפתרון בעיות
לדעת למצוא שטח של משולש בשלושה צלעות, בואו נאחד את הידע שלנו על ידי פתרון הבעיה הבאה. תן לצידי הדמות להיות 5 ס"מ, 4 ס"מ ו-3 ס"מ. מצא את השטח.
שלוש צלעות של משולש ידועות, אז אתה יכול להשתמש בנוסחה של הרון. אנו מחשבים את חצי ההיקף ואת ההפרשים הדרושים, יש לנו:
- p=(a+b+c)/2=6 ס"מ;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 ס"מ.
אז נקבל את השטח: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
המשולש שניתן במצב הבעיה הוא ישר זווית, שקל לבדוק אם משתמשים במשפט פיתגורס. מכיוון ששטחו של משולש כזה הוא מחצית המכפלה של הרגליים, נקבל: S=43/2=6 ס מ2.
הערך המתקבל זהה לנוסחה של הרון, המאשרת את תקפותה של האחרונה.
