מתמטיקה היא כמו פאזל. זה נכון במיוחד לחילוק וכפל בעמודה. בבית הספר, פעולות אלו נלמדות מפשוטות למורכבות. לכן, בהחלט יש צורך לשלוט באלגוריתם לביצוע הפעולות לעיל באמצעות דוגמאות פשוטות. כך שבהמשך לא יהיו קשיים בחלוקת שברים עשרוניים לעמודה. אחרי הכל, זו הגרסה הקשה ביותר של משימות כאלה.
עצה למי שרוצה להיות טוב במתמטיקה
נושא זה דורש לימוד עקבי. פערים בידע אינם מקובלים כאן. את העיקרון הזה צריך ללמוד כל תלמיד כבר בכיתה א'. לכן, אם תדלגו על מספר שיעורים ברצף, תצטרכו לשלוט בחומר בעצמכם. אחרת, בהמשך יהיו בעיות לא רק במתמטיקה, אלא גם בנושאים אחרים הקשורים לזה.
תנאי הסף השני ללימוד מוצלח של מתמטיקה הוא לעבור לדוגמאות לחלוקה ארוכות רק לאחר שליטה בחיבור, חיסור וכפל.
ילדיהיה קשה לחלק אם הוא לא למד את לוח הכפל. אגב, עדיף ללמוד את זה מהטבלה הפיתגורית. אין שום דבר מיותר, והכפל קל יותר לעיכול במקרה הזה.
איך מכפילים מספרים טבעיים בעמודה?
אם יש קושי בפתרון דוגמאות בעמודה לחילוק וכפל, אז יש צורך להתחיל לפתור את הבעיה בכפל. כי החלוקה היא היפוך של הכפל:
- לפני שאתה מכפיל שני מספרים, עליך להסתכל עליהם היטב. בחר את זה עם יותר ספרות (ארוך יותר), רשום אותו קודם. מניחים את השני מתחתיו. יתר על כן, המספרים של הקטגוריה המתאימה צריכים להיות תחת אותה קטגוריה. כלומר, הספרה הימנית ביותר של המספר הראשון צריכה להיות מעל הספרה הימנית ביותר של השני.
- כפל את הספרה הימנית ביותר של המספר התחתון בכל ספרה של המספר העליון, החל מימין. כתוב את התשובה מתחת לשורה כך שהספרה האחרונה שלה תהיה מתחת לזו שבה הכפלת.
- חזור על אותו הדבר עם הספרה השנייה של המספר התחתון. אבל את תוצאת הכפל יש להזיז ספרה אחת שמאלה. במקרה זה, הספרה האחרונה שלו תהיה מתחת לספרה שבה הוא הוכפל.
המשך את הכפל הזה בעמודה עד שיגמרו המספרים במכפיל השני. עכשיו צריך לקפל אותם. זו תהיה התשובה הרצויה.
אלגוריתם להכפלה לעמודה של שברים עשרוניים
ראשית, הוא אמור לדמיין שלא ניתנים שברים עשרוניים, אלא טבעיים. כלומר, הסר מהם פסיקים ולאחר מכן המשך כמתואר בקודםמקרה.
ההבדל מתחיל כשהתשובה מתועדת. בשלב זה, יש צורך לספור את כל המספרים שנמצאים אחרי הנקודות העשרוניות בשני השברים. זה כמה מהם אתה צריך לספור מסוף התשובה ולשים שם פסיק.
נוח להמחיש את האלגוריתם הזה עם דוגמה: 0.25 x 0.33:
- כתוב את השברים האלה כך שהמספר 33 יהיה מתחת ל-25.
- עכשיו יש להכפיל את השלשה הימנית ב-25. יוצא 75. זה אמור להיכתב כך שהחמש נמצא מתחת לשלשה שבה בוצעה הכפל.
- אז תכפילו 25 ב-3 הראשונים. שוב זה יהיה 75, אבל זה ייכתב כך ש-5 הוא מתחת ל-7 מהמספר הקודם.
- לאחר הוספת שני המספרים הללו, נקבל 825. בשברים עשרוניים, 4 ספרות מופרדות בפסיקים. לכן, בתשובה יש להפריד גם 4 ספרות בפסיק. אבל יש רק שלושה מהם. כדי לעשות זאת, תצטרך לכתוב 0 לפני 8, לשים פסיק, לפניו עוד 0.
- התשובה בדוגמה תהיה המספר 0, 0825.
איך להתחיל ללמוד לחלק?
לפני פתרון דוגמאות לחלוקה ארוכה, עליך לזכור את שמות המספרים המשמשים בדוגמה לחלוקה. הראשון שבהם (המתחלק) הוא המתחלק. השני (המחולק לתוכו) הוא מחלק. התשובה היא מנה.
לאחר מכן, בעזרת דוגמה יומיומית פשוטה, נסביר את מהות הפעולה המתמטית הזו. לדוגמה, אם אתה לוקח 10 ממתקים, אז קל לחלק אותם שווה בשווה בין אמא לאבא. אבל מה אם תצטרך להפיץ אותם להוריך ולאחיך?
לאחר מכן, תוכלו להכיר את הכלליםחטיבות ולשלוט בהן עם דוגמאות ספציפיות. תחילה פשוטים, ולאחר מכן עוברים למורכבים יותר ויותר.
אלגוריתם לחלוקת מספרים לעמודה
ראשית, אנו מציגים את ההליך למספרים טבעיים המתחלקים בספרה אחת. הם גם יהיו הבסיס למחלקים רב ספרתיים או שברים עשרוניים. רק אז אמורים להתבצע שינויים קטנים, אבל על כך בהמשך:
- לפני ביצוע חלוקה ארוכה, אתה צריך להבין היכן הדיבידנד והמחלק נמצאים.
- כתוב את הדיבידנד. מימין לו נמצא המחלק.
- צייר שמאלה ולמטה ליד הפינה האחרונה.
- קבעו את הדיבידנד הלא שלם, כלומר המספר שיהיה המינימום לחלוקה. בדרך כלל הוא מורכב מספרה אחת, מקסימום שתיים.
- בחר את המספר שיהיה הראשון שנכתב בתשובה. זה חייב להיות מספר הפעמים שהמחלק מתאים לדיווידנד.
- רשום את התוצאה של הכפלת מספר זה במחלק.
- כתוב את זה תחת המחלק הלא שלם. הורידו.
- הסר את הספרה הראשונה אחרי החלק שכבר מחולק.
- אסוף שוב את התשובה.
- חזור על כפל וחיסור. אם היתרה היא אפס והדיבידנד נגמר, אז הדוגמה נעשית. אחרת, חזור על השלבים: להרוס את המספר, להרים את המספר, להכפיל, להחסיר.
איך פותרים חלוקה ארוכה אם למחלק יש יותר מספרה אחת?
האלגוריתם עצמו תואם לחלוטין למה שתואר לעיל. ההפרש יהיה מספר הספרות בדיבידנד הלא שלם. אוֹתָםעכשיו צריך להיות לפחות שניים, אבל אם יתברר שהם קטנים מהמחלק, אז זה אמור לעבוד עם שלוש הספרות הראשונות.
יש עוד ניואנס אחד בחלוקה זו. העובדה היא שהשארית והדמות הנישאת אליה לפעמים לא ניתנות לחלוקה במחלק. ואז זה אמור לייחס עוד דמות אחת לפי הסדר. אבל יחד עם זאת, התשובה חייבת להיות אפס. אם מספרים תלת ספרתיים מחולקים לעמודה, ייתכן שיהיה צורך להרוס יותר משתי ספרות. לאחר מכן הוכנס כלל: צריך להיות מספר אפסים אחד פחות בתשובה ממספר הספרות שהורדו.
תוכל לשקול חלוקה כזו באמצעות הדוגמה - 12082: 863.
- ניתן לחלק לא שלם בו הוא המספר 1208. המספר 863 ממוקם בו פעם אחת בלבד. לכן, בתגובה, הוא אמור לשים 1, ומתחת ל-1208 לכתוב 863.
- לאחר חיסור, היתרה היא 345.
- עליך להרוס את המספר 2 אליו.
- המספר 3452 מתאים ארבע פעמים 863.
- יש לכתוב את הארבעה בתגובה. יתרה מכך, כאשר מכפילים ב-4, מתקבל מספר זה.
- השארית לאחר החיסור היא אפס. כלומר החלוקה הסתיימה.
התשובה בדוגמה תהיה המספר 14.
מה אם הדיבידנד יסתיים באפס?
או כמה אפסים? במקרה זה, מתקבלת שארית אפס, ועדיין יש אפסים בדיבידנד. אל תתייאשו, הכל קל יותר ממה שזה נראה. מספיק רק להוסיף לתשובה את כל האפסים שנותרו בלתי מחולקים.
לדוגמה, אתה צריך לחלק 400 ב-5. הדיבידנד הלא שלם הוא 40. חמש מונחות בו 8 פעמים. זה אומר שהתשובה אמורה להיות כתובה 8. מתיאין שארית להחסיר. כלומר החלוקה הסתיימה, אבל נשאר אפס בדיבידנד. יהיה צורך להוסיף את זה לתשובה. אז 400 חלקי 5 זה 80.
מה אם אתה צריך לחלק עשרוני?
שוב, מספר זה נראה כמו מספר טבעי, למעט הפסיק המפריד בין החלק השלם לחלק השבר. זה מצביע על כך שהחלוקה הארוכה של עשרוניות דומה לזו שתוארה לעיל.
ההבדל היחיד יהיה נקודה-פסיק. זה אמור להיענות מיד, ברגע שמורדים את הספרה הראשונה מהחלק השברי. בדרך אחרת אפשר לומר כך: הסתיימה החלוקה של החלק השלם - שים פסיק והמשיכו את הפתרון הלאה
כאשר פותרים דוגמאות לחלוקה לעמודה עם שברים עשרוניים, עליך לזכור שניתן להקצות כל מספר של אפסים לחלק שאחרי הנקודה העשרונית. לפעמים זה נחוץ כדי להשלים את המספרים עד הסוף.
חלוקה של שני עשרוניות
זה אולי נראה מסובך. אבל רק בהתחלה. אחרי הכל, כבר ברור איך לבצע חלוקה בעמודת שברים במספר טבעי. לכן, עלינו לצמצם את הדוגמה הזו לצורה המוכרת כבר.
זה קל לעשות. אתה צריך להכפיל את שני השברים ב-10, 100, 1,000 או 10,000, או אולי מיליון אם המשימה דורשת זאת. המכפיל אמור להיבחר על סמך כמה אפסים נמצאים בחלק העשרוני של המחלק. כלומר, כתוצאה מכך, מתברר שתצטרך לחלק את השבר במספר טבעי.
וזהיהיה במקרה הגרוע ביותר. הרי אולי יתברר שהדיבידנד מהפעולה הזו הופך למספר שלם. ואז הפתרון של הדוגמה עם חלוקה לעמוד שברים יצטמצם לאפשרות הפשוטה ביותר: פעולות עם מספרים טבעיים.
כדוגמה: 28, 4 חלקי 3, 2:
- ראשית, יש להכפיל אותם ב-10, מכיוון שלמספר השני יש רק ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית. הכפלה תיתן 284 ו-32.
- הם אמורים להיות מופרדים. ובבת אחת המספר השלם 284 על 32.
- המספר הראשון המותאם לתשובה הוא 8. הכפלה נותן 256. היתרה היא 28.
- הסתיימה החלוקה של החלק השלם, ואמור לשים פסיק בתשובה.
- דש לאזן 0.
- קח שוב 8.
- שארית: 24. הוסף לזה עוד 0.
- עכשיו אתה צריך לקחת 7.
- תוצאת הכפל היא 224, היתרה היא 16.
- הרוס עוד 0. קח 5 כל אחד וקבל בדיוק 160. השאר הוא 0.
החלוקה הסתיימה. התוצאה של דוגמה 28, 4:3, 2 היא 8, 875.
מה אם המחלק הוא 10, 100, 0, 1 או 0.01?
כמו בכפל, כאן אין צורך בחלוקה ארוכה. זה מספיק רק כדי להזיז את הפסיק בכיוון הנכון עבור מספר מסוים של ספרות. יתרה מכך, לפי עיקרון זה, ניתן לפתור דוגמאות הן במספרים שלמים והן בשברים עשרוניים.
אז, אם אתה צריך לחלק ב-10, 100 או 1000, אז הפסיק יזוז שמאלה במספר ספרות כמו שיש אפסים במחלק. כלומר, כאשר מספר מתחלק ב-100, הפסיקצריך להזיז שתי ספרות שמאלה. אם הדיבידנד הוא מספר טבעי, ההנחה היא שהפסיק נמצא בסוף שלו.
פעולה זו מפיקה את אותה תוצאה כאילו המספר היה מוכפל ב-0, 1, 0, 01 או 0.001. בדוגמאות אלה, הפסיק מועבר גם שמאלה במספר ספרות השווה ל- אורך החלק השבר.
כאשר מחלקים ב-0, 1 (וכו') או מכפלים ב-10 (וכו'), הפסיק צריך לזוז ימינה בספרה אחת (או שתיים, שלוש, תלוי במספר האפסים או באורך של החלקים השברים).
כדאי לציין שמספר הספרות שניתן בדיבידנד עשוי שלא להספיק. לאחר מכן ניתן להוסיף את האפסים החסרים לשמאל (בחלק השלם) או לימין (אחרי הנקודה העשרונית).
חלוקת שברים חוזרת
במקרה זה, לא תוכל לקבל את התשובה המדויקת בעת חלוקה לעמודה. איך פותרים דוגמה אם נתקלים בשבר עם נקודה? כאן יש צורך לעבור לשברים רגילים. ולאחר מכן בצע את החלוקה שלהם לפי הכללים שנלמדו קודם לכן.
לדוגמה, עליך לחלק את 0, (3) ב-0, 6. השבר הראשון הוא תקופתי. הוא מומר לשבר 3/9, שלאחר צמצום ייתן 1/3. השבר השני הוא העשרוני הסופי. זה אפילו יותר קל לרשום אחד רגיל: 6/10, ששווה ל-3/5. הכלל לחלוקת שברים רגילים קובע להחליף את החלוקה בכפל ואת המחלק בהדדיות. כלומר, הדוגמה מסתכמת בהכפלה של 1/3 ב-5/3. התשובה תהיה 5/9.
אם לדוגמא יש שברים שונים…
אז יש כמה פתרונות אפשריים. ראשית, שבר רגיל יכול להיותנסה להמיר לעשרוני. לאחר מכן חלקו כבר שני עשרונים לפי האלגוריתם שלמעלה.
שנית, ניתן לכתוב כל שבר עשרוני סופי כשבר רגיל. זה פשוט לא תמיד נוח. לרוב, שברים כאלה מתבררים כעצומים. כן, והתשובות מסורבלות. לכן, הגישה הראשונה נחשבת עדיפה יותר.
