פיתגורס טען שהמספר עומד בבסיס העולם יחד עם האלמנטים הבסיסיים. אפלטון האמין שהמספר מחבר את התופעה והנומן, ועוזר להכרה, למדוד ולהסיק מסקנות. חשבון בא מהמילה "אריתמוס" - מספר, תחילתן של התחלות במתמטיקה. זה יכול לתאר כל אובייקט - מתפוח יסודי ועד חללים מופשטים.
צרכים כגורם פיתוח
בשלבים המוקדמים של היווצרות החברה, צרכי האנשים הוגבלו לצורך בשמירה על הספירה - שק תבואה אחד, שני שקי תבואה וכו'. לשם כך הספיקו מספרים טבעיים, שקבוצתם היא רצף חיובי אינסופי של מספרים שלמים N.
מאוחר יותר, עם התפתחות המתמטיקה כמדע, היה צורך בשדה נפרד של מספרים שלמים Z - הוא כולל ערכים שליליים ואפס. הופעתה ברמת משק הבית עוררה את העובדה שבחשבונאות הראשונית היה צורך איכשהו לתקןחובות והפסדים. ברמה המדעית, מספרים שליליים אפשרו לפתור את המשוואות הליניאריות הפשוטות ביותר. בין היתר התאפשר כעת הדימוי של מערכת קואורדינטות טריוויאלית, מאז הופיעה נקודת ייחוס.
השלב הבא היה הצורך להציג מספרים שברים, מכיוון שהמדע לא עמד מלכת, יותר ויותר תגליות דרשו בסיס תיאורטי לתנופת צמיחה חדשה. כך הופיע תחום המספרים הרציונליים ש.
לבסוף, הרציונליות חדלה לספק בקשות, כי כל המסקנות החדשות דרשו הצדקה. שם הופיע השדה של המספרים הממשיים R, יצירותיו של אוקלידס על אי-ההתאמה של כמויות מסוימות בשל חוסר ההיגיון שלהן. כלומר, מתמטיקאים יווניים עתיקים מיקמו את המספר לא רק כקבוע, אלא גם ככמות מופשטת, המתאפיינת ביחס של כמויות שאינן ניתנות להשוואה. בשל העובדה שמספרים ממשיים הופיעו, כמויות כמו "pi" ו-"e" "ראו את האור", שבלעדיהם המתמטיקה המודרנית לא יכלה להתקיים.
החידוש האחרון היה המספר המרוכב C. הוא ענה על מספר שאלות והפריך את ההנחות שהוצגו קודם לכן. בשל ההתפתחות המהירה של האלגברה, התוצאה הייתה צפויה - עם מספרים אמיתיים, פתרון בעיות רבות היה בלתי אפשרי. לדוגמה, הודות למספרים מרוכבים, תורת המיתרים והכאוס בלטה, ומשוואות ההידרודינמיקה התרחבו.
תורת הקבוצות. חזן
מושג האינסוף בכל עתעורר מחלוקת, שכן לא ניתן היה להוכיח ולא להפריך. בהקשר של מתמטיקה, שפעלה עם ניסוחים מאומתים בקפדנות, זה בא לידי ביטוי בצורה הברורה ביותר, במיוחד מאחר שההיבט התיאולוגי עדיין היה בעל משקל במדע.
עם זאת, הודות לעבודתו של המתמטיקאי גאורג קנטור, הכל נפל על מקומו עם הזמן. הוא הוכיח שיש מספר אינסופי של קבוצות אינסופיות, ושהשדה R גדול מהשדה N, גם אם לשניהם אין סוף. באמצע המאה ה-19, הרעיונות שלו נקראו בקול רם שטויות ופשע נגד קאנונים קלאסיים ובלתי מעורערים, אבל הזמן שם הכל במקומו.
מאפיינים בסיסיים של השדה R
למספרים האמיתיים יש לא רק אותם מאפיינים כמו קבוצות המשנה הכלולות בהם, אלא גם מתווספים על ידי אחרים בשל קנה המידה של האלמנטים שלהם:
- אפס קיים ושייך לשדה R. c + 0=c עבור כל c מ-R.
- אפס קיים ושייך לשדה R. c x 0=0 עבור כל c מ-R.
- היחס c: d עבור d ≠ 0 קיים והוא תקף עבור כל c, d מ-R.
- השדה R מסודר, כלומר אם c ≦ d, d ≦ c, אז c=d עבור כל c, d מ-R.
- הוספה בשדה R היא קומוטטיבית, כלומר c + d=d + c עבור כל c, d מ-R.
- הכפלה בשדה R היא קומוטטיבית, כלומר c x d=d x c עבור כל c, d מ-R.
- הוספה בשדה R היא אסוציאטיבית, כלומר (c + d) + f=c + (d + f) עבור כל c, d, f מ-R.
- הכפלה בשדה R היא אסוציאטיבית, כלומר (c x d) x f=c x (d x f) עבור כל c, d, f מ-R.
- לכל מספר בשדה R, יש הפוך, כך ש-c + (-c)=0, כאשר c, -c הוא מ-R.
- לכל מספר מהשדה R יש היפוך שלו, כך ש-c x c-1 =1, כאשר c, c-1 מ-R.
- היחידה קיימת ושייכת ל-R, אז c x 1=c, עבור כל c מ-R.
- חוק ההפצה תקף, אז c x (d + f)=c x d + c x f, עבור כל c, d, f מ-R.
- בשדה R, אפס אינו שווה לאחד.
- השדה R הוא טרנזיטיבי: אם c ≦ d, d ≦ f, אז c ≦ f עבור כל c, d, f מ-R.
- בשדה R, סדר ותוספת קשורים: אם c ≦ d, אז c + f ≦ d + f עבור כל c, d, f מ-R.
- בשדה R, סדר וכפל קשורים זה לזה: אם 0 ≦ c, 0 ≦ d, אז 0 ≦ c x d עבור כל c, d מ-R.
- הן מספרים ממשיים שליליים וחיוביים הם רציפים, כלומר, עבור כל c, d מ-R, יש f מ-R כך ש-c ≦ f ≦ d.
מודול בשדה R
המספרים האמיתיים כוללים מודולוס.
מסומן בתור |f| לכל ו' מ-ר |פ|=f אם 0 ≦ f ו- |f|=-f if 0 > f. אם ניקח בחשבון את המודולוס ככמות גיאומטרית, אז זה המרחק שעברת - זה לא משנה אם "עברת" אפס למינוס או קדימה לפלוס.
מספרים מורכבים וממשיים. מהם קווי הדמיון ומהם ההבדלים?
בגדול, מספרים מרוכבים וממשיים הם זהים, חוץ מזהיחידה דמיונית i, שהריבוע שלה הוא -1. ניתן לייצג את הרכיבים של השדות R ו-C בנוסחה הבאה:
c=d + f x i, כאשר d, f שייכים לשדה R ו-i היא היחידה הדמיונית
כדי לקבל c מ-R במקרה זה, f פשוט מוגדר שווה לאפס, כלומר נשאר רק החלק האמיתי של המספר. בשל העובדה שלשדה של מספרים מרוכבים יש קבוצת מאפיינים זהה לשדה של מספרים ממשיים, f x i=0 אם f=0.
לגבי הבדלים מעשיים, למשל, בשדה R, המשוואה הריבועית לא נפתרת אם המבחין שלילי, בעוד ששדה C אינו מטיל הגבלה כזו עקב הכנסת היחידה הדמיונית i.
תוצאות
ה"לבנים" של האקסיומות וההנחות שעליהן מתבססת המתמטיקה אינן משתנות. עקב הגידול במידע והכנסת תיאוריות חדשות, על חלקן מוצבות ה"לבנים" הבאות, אשר בעתיד יכולות להוות בסיס לשלב הבא. לדוגמה, מספרים טבעיים, למרות היותם תת-קבוצה של השדה האמיתי R, אינם מאבדים את הרלוונטיות שלהם. עליהם מבוססת כל החשבון היסודי, שאיתם מתחיל הידע האנושי על העולם.
מנקודת מבט מעשית, מספרים אמיתיים נראים כמו קו ישר. על זה אתה יכול לבחור את הכיוון, לייעד את המקור ואת הצעד. ישר מורכב ממספר אינסופי של נקודות, שכל אחת מהן מתאימה למספר ממשי בודד, ללא קשר אם הוא רציונלי או לא. מהתיאור ברור שמדובר במושג שעליו בנויים גם המתמטיקה בכלל וגם הניתוח המתמטי בכלל.מיוחד.
