אינפורמטיקה - מערכת מספרים. סוגי מערכות מספרים

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

בקורס מדעי המחשב, ללא קשר לבית ספר או אוניברסיטה, ניתן מקום מיוחד למושג כמו מערכות מספרים. ככלל, מוקצים עבורו מספר שיעורים או תרגילים מעשיים. המטרה העיקרית היא לא רק ללמוד את המושגים הבסיסיים של הנושא, ללמוד את סוגי מערכות המספרים, אלא גם היכרות עם חשבון בינארי, אוקטלי והקסדצימלי.

מה זה אומר?

בוא נתחיל בהגדרת המושג הבסיסי. כפי שמציין ספר הלימוד במדעי המחשב, מערכת מספרים היא מערכת של כתיבת מספרים המשתמשת באלפבית מיוחד או קבוצה מסוימת של מספרים.

בהתאם לשאלה אם הערך של ספרה משתנה ממיקומה במספר, יש להבחין בין שתיים: מערכות מספרים מיקוםיות ולא-מיקוםיות.

במערכות מיקום, ערכה של ספרה משתנה עם מיקומה במספר. אז, אם ניקח את המספר 234, אז המספר 4 בו אומר יחידות, אבל אם ניקח בחשבון את המספר 243, אז כאן זה כבר אומר עשרות, לא יחידות.

במערכות לא-מיקוםהערך של ספרה הוא סטטי, ללא קשר למיקומה במספר. הדוגמה הבולטת ביותר היא מערכת המקל, שבה כל יחידה מסומנת באמצעות מקף. לא משנה לאן תקצה את השרביט, הערך של המספר ישתנה רק באחד.

מערכות לא-מיקום

מערכות מספרים לא-מיקום כוללות:

1. מערכת יחידה, הנחשבת לאחת הראשונות. הוא השתמש במקלות במקום במספרים. ככל שהיו יותר, כך גדל הערך של המספר. ניתן לפגוש דוגמה למספרים שנכתבו כך בסרטים שבהם מדברים על אנשים אבודים בים, אסירים שמסמנים כל יום בעזרת חריצים על אבן או עץ.
2. רומית, שבה נעשה שימוש באותיות לטיניות במקום מספרים. באמצעותם, אתה יכול לכתוב כל מספר. במקביל, ערכו נקבע באמצעות הסכום וההפרש של הספרות שהרכיבו את המספר. אם היה מספר קטן יותר משמאל לספרה, אז הספרה השמאלית הופחתה מהספרה הימנית, ואם הספרה מימין הייתה קטנה או שווה לספרה משמאל, אז ערכיהם סוכמו לְמַעלָה. לדוגמה, המספר 11 נכתב כ-XI, ו-9 כ-IX.
3. אלפביתי, שבו מסומנים מספרים באמצעות האלפבית של שפה מסוימת. אחת מהן היא השיטה הסלאבית, שבה למספר אותיות היה לא רק ערך פונטי, אלא גם מספרי.
4. מערכת המספרים הבבלית, שהשתמשה רק בשני סמלים לכתיבה - טריזים וחצים.
5. Egypt השתמשה גם בתווים מיוחדים כדי לייצג מספרים. בעת כתיבת מספר, ניתן היה להשתמש בכל תו לא יותר מתשע פעמים.

מערכות מיקום

תשומת לב רבה מוקדשת במדעי המחשב למערכות מספרי מיקום. אלה כוללים את הדברים הבאים:

• binary;
• octal;
• עשרוני;
• הקסדצימלי;
• הקסדצימלי, בשימוש בעת ספירת זמן (לדוגמה, בדקה - 60 שניות, בשעה - 60 דקות).

לכל אחד מהם יש אלפבית משלו לכתיבה, כללי תרגום ופעולות אריתמטיות.

שיטה עשרונית

המערכת הזו היא המוכרת לנו ביותר. הוא משתמש במספרים מ-0 עד 9 כדי לכתוב מספרים. הם נקראים גם ערבית. בהתאם למיקום הספרה במספר, היא יכולה לסמן ספרות שונות - יחידות, עשרות, מאות, אלפים או מיליונים. אנו משתמשים בו בכל מקום, אנו מכירים את הכללים הבסיסיים שלפיהם מבצעים פעולות אריתמטיות במספרים.

מערכת בינארית

אחת ממערכות המספרים העיקריות במדעי המחשב היא בינארית. הפשטות שלו מאפשרת למחשב לבצע חישובים מסורבלים פי כמה מהר יותר מאשר במערכת העשרונית.

כדי לכתוב מספרים, משתמשים רק בשתי ספרות - 0 ו-1. במקביל, בהתאם למיקום של 0 או 1 במספר, הערך שלו ישתנה.

בתחילה, זה היה בעזרת קוד בינארי שמחשבים קיבלו את כל המידע הדרוש. יחד עם זאת, אחד התכוון לנוכחות של אות המועבר באמצעות מתח, ואפס התכוון להיעדרו.

אוקטאלsystem

עוד מערכת מספרי מחשב ידועה שבה משתמשים במספרים מ-0 עד 7. היא שימשה בעיקר באותם תחומי ידע הקשורים למכשירים דיגיטליים. אבל לאחרונה נעשה בו שימוש הרבה פחות, מכיוון שהוא הוחלף במערכת המספרים ההקסדצימליים.

BCD

ייצוג של מספרים גדולים במערכת הבינארית עבור אדם הוא תהליך מסובך למדי. כדי לפשט זאת, פותחה מערכת מספרים בינאריים-עשרוניים. זה משמש בדרך כלל בשעונים אלקטרוניים, מחשבונים. במערכת זו, לא המספר השלם מומר מהשיטה העשרונית לבינארי, אלא כל ספרה מתורגמת לקבוצת האפסים והאחדות המקבילה במערכת הבינארית. אותו דבר לגבי המרה מבינארי לעשרוני. כל ספרה, המיוצגת כקבוצה בת ארבע ספרות של אפסים ואחדות, מתורגמת לספרה במערכת המספרים העשרונית. באופן עקרוני, אין שום דבר מסובך.

כדי לעבוד עם מספרים, במקרה זה, שימושי טבלה של מערכות מספרים, שתציין את ההתאמה בין המספרים והקוד הבינארי שלהם.

הקסדצימלי

לאחרונה, מערכת המספרים ההקסדצימליים הפכה לפופולרית יותר ויותר בתכנות ובמדעי המחשב. הוא משתמש לא רק במספרים מ-0 עד 9, אלא גם במספר אותיות לטיניות - A, B, C, D, E, F.

יחד עם זאת, לכל אחת מהאותיות יש משמעות משלה, אז A=10, B=11, C=12 וכן הלאה. כל מספר מיוצג כקבוצה של ארבעה תווים:001F.

המרת מספר: מעשרוני לבינארי

תרגום במערכות מספרים מתרחש על פי כללים מסוימים. ההמרה הנפוצה ביותר מבינארי לעשרוני ולהיפך.

כדי להמיר מספר מעשרוני לבינארי, יש צורך לחלק אותו באופן עקבי בבסיס מערכת המספרים, כלומר, המספר שתיים. במקרה זה, יש לתקן את יתרת כל חלוקה. פעולה זו תימשך עד ששאר החלוקה תהיה קטנה או שווה לאחד. עדיף לבצע חישובים בעמודה. ואז השאריות שהתקבלו מהחלוקה נכתבות למחרוזת בסדר הפוך.

לדוגמה, בואו נמיר את המספר 9 לבינארי:

נחלק 9, מכיוון שהמספר אינו מתחלק באופן שווה, אז ניקח את המספר 8, השאר יהיה 9 - 1=1.

לאחר חלוקה של 8 ב-2, נקבל 4. נחלק אותו שוב, מכיוון שהמספר מתחלק באופן שווה - נקבל את היתרה 4 - 4=0.

בצע את אותה פעולה עם 2. היתרה היא 0.

כתוצאה מחלוקה, נקבל 1.

לאחר מכן, אנו רושמים את כל היתרות שקיבלנו בסדר הפוך, החל מסכום החלוקה: 1001.

ללא קשר למערכת המספרים הסופית, ההמרה של מספרים מעשרוני לכל אחר תתרחש על פי עקרון חלוקת המספר בבסיס המערכת המיקוםית.

תרגם מספרים: מבינארי לעשרוני

די קל להמיר מספרים לעשרוניים מבינאריים. כדי לעשות זאת, מספיק להכיר את הכללים להעלאת מספרים לחזקה. בזהמקרה, בחזקת שתיים.

אלגוריתם התרגום הוא כדלקמן: יש להכפיל כל ספרה מקוד המספר הבינארי בשתיים, והשניים הראשונים יהיו בחזקת m-1, השני - m-2 וכן הלאה, כאשר m הוא מספר הספרות בקוד. לאחר מכן הוסף את תוצאות החיבור, מקבל מספר שלם.

עבור תלמידי בית ספר, ניתן להסביר את האלגוריתם הזה בצורה פשוטה יותר:

להתחלה, אנחנו לוקחים ורושמים כל ספרה כפול שתיים, ואז מניחים את החזקה של שתיים מהסוף, מתחילים מאפס. לאחר מכן הוסף את המספר המתקבל.

לדוגמה, בואו נסתכל על המספר שהושג קודם לכן 1001, נמיר אותו למערכת העשרונית, ובמקביל נבדוק את נכונות החישובים שלנו.

זה ייראה כך:

12³ + 02²+02¹+ 12^0=8+0+0+1=9.

כאשר לומדים נושא זה, נוח להשתמש בטבלה עם חזקה של שתיים. זה יקצר מאוד את משך הזמן הנדרש להשלמת החישובים.

תרגומים אחרים

במקרים מסוימים, ניתן לבצע תרגום בין בינארי לאוקטלי, בינארי והקסדצימלי. במקרה זה, אתה יכול להשתמש בטבלאות מיוחדות או להפעיל את יישום המחשבון במחשב שלך על ידי בחירה באפשרות "מתכנת" בלשונית תצוגה.

פעולות אריתמטיות

ללא קשר לצורה שבה מוצג מספר, אפשר לבצע איתו את החישובים הרגילים. זה יכול להיות חילוק וכפל, חיסור וחיבור במערכת המספרים,אשר בחרת. כמובן, לכל אחד מהם חוקים משלו.

לכן עבור המערכת הבינארית פיתח טבלאות משלה עבור כל אחת מהפעולות. אותן טבלאות משמשות במערכות מיקום אחרות.

אין צורך לשנן אותם - פשוט הדפיסו אותם והחזיקו אותם בהישג יד. אתה יכול גם להשתמש במחשבון במחשב שלך.

אחד הנושאים החשובים ביותר במדעי המחשב הוא מערכת המספרים. הכרת נושא זה, הבנת האלגוריתמים להעברת מספרים ממערכת אחת לאחרת היא ערובה לכך שתוכל להבין נושאים מורכבים יותר, כגון אלגוריתמיזציה ותכנות, ותוכל לכתוב את התוכנית הראשונה שלך בעצמך.