כדי להבין מהן נקודות הקיצון של פונקציה, אין צורך כלל לדעת על נוכחותן של הנגזרת הראשונה והשנייה ולהבין את משמעותן הפיזית. ראשית עליך להבין את הדברים הבאים:
- פונקציה קיצונית למקסם או, להיפך, למזער את הערך של הפונקציה בשכונה קטנה באופן שרירותי;
- לא אמור להיות הפסקת פונקציה בנקודת הקיצון.
ועכשיו אותו דבר, רק בשפה פשוטה. תסתכל על קצהו של עט כדורי. אם העט ממוקם בצורה אנכית, כשהכתובת בסופו של דבר, אז האמצע של הכדור יהיה הנקודה הקיצונית - הנקודה הגבוהה ביותר. במקרה זה, אנו מדברים על המקסימום. עכשיו, אם תסובב את העט עם קצה הכתיבה כלפי מטה, אז באמצע הכדור כבר יהיה מינימום של הפונקציה. בעזרת הדמות שניתנה כאן, אתה יכול לדמיין את המניפולציות המפורטות עבור עיפרון נייר מכתבים. אז, הקיצוניות של פונקציה הן תמיד נקודות קריטיות: המקסימום או המינימום שלה. הקטע הסמוך של התרשים יכול להיות חד או חלק באופן שרירותי, אבל הוא חייב להתקיים משני הצדדים, רק שבמקרה זה הנקודה היא קיצון. אם התרשים קיים רק בצד אחד, נקודה זו לא תהיה קיצונית גם אם בצד אחדמתקיימים תנאים קיצוניים. עכשיו בואו נלמד את הקיצוניות של הפונקציה מנקודת מבט מדעית. על מנת שנקודה תיחשב נקודת קיצון, יש צורך ומספיק ש:
- הנגזרת הראשונה הייתה שווה לאפס או לא הייתה קיימת בנקודה;
- הנגזרת הראשונה שינתה את הסימן שלה בשלב זה.
התנאי מתפרש קצת אחרת מנקודת המבט של נגזרות מסדר גבוה: לפונקציה הניתנת להבדלה בנקודה, מספיק שתהיה נגזרת מסדר אי זוגי שאינה שווה לאפס, בעוד שכל נגזרות מסדר נמוך חייבות להתקיים ולהיות שוות לאפס. זוהי הפרשנות הפשוטה ביותר של משפטים מספרי לימוד של מתמטיקה גבוהה יותר. אבל עבור האנשים הרגילים ביותר, כדאי להסביר את הנקודה הזו באמצעות דוגמה. הבסיס הוא פרבולה רגילה. בצע הזמנה מיד, בנקודת האפס יש לזה מינימום. רק קצת מתמטיקה:
- נגזרת ראשונה (X2)|=2X, עבור נקודת אפס 2X=0;
- נגזרת שנייה (2X)|=2, עבור נקודת אפס 2=2.
זוהי המחשה פשוטה של התנאים הקובעים את נקודות הקיצון של הפונקציה הן עבור נגזרות מסדר ראשון והן עבור נגזרות מסדר גבוה יותר. אפשר להוסיף לכך שהנגזרת השנייה היא בדיוק אותה נגזרת מסדר אי זוגי, לא שווה לאפס, שנדון קצת יותר גבוה. כאשר מדובר בקיצוניות של פונקציה של שני משתנים, יש לעמוד בתנאים עבור שני הארגומנטים. מתימתרחשת הכללה, ואז משתמשים בנגזרות חלקיות. כלומר, יש צורך בנוכחות קיצון בנקודה ששתי הנגזרות מסדר ראשון שוות לאפס, או שלפחות אחת מהן אינה קיימת. להסתפקות בנוכחות קיצון נבדק ביטוי שהוא ההבדל בין מכפלת נגזרות מסדר שני לריבוע של נגזרת מסדר שני מעורבת של הפונקציה. אם הביטוי הזה גדול מאפס, אז יש נקודת קיצון, ואם יש אפס, אז השאלה נשארת פתוחה, ויש צורך במחקר נוסף.
